ベクトル解析の諸公式と証明

前提

1. 高校数学・物理については一通り学び終えた読者を対象とする

2. 3次元空間を対象とする．

3. 3次元空間の互いに直交した単位ベクトル \( \vb*{e}_{x}, \vb*{e}_{y}, \vb*{e}_{z}, \) をそれぞれ \( \vb*{e}_{1}, \vb*{e}_{2}, \vb*{e}_{3} \) とする．また，3次元ベクトル \( \vb*{A} \) のを \( \vb*{e}_{1}, \vb*{e}_{2}, \vb*{e}_{3} \) 方向成分をそれぞれ \( A_{1}, A_{2}, A_{3} \) とする． \[ \begin{aligned} \vb*{A} &= \sum_{i = 1}^{3} A_{i} \vb*{e}_{i} \\ &= A_{1} \vb*{e}_{1} + A_{2} \vb*{e}_{2} + A_{3} \vb*{e}_{3} \\ &= \pqty{ A_{1} , A_{2} , A_{3} } \quad. \end{aligned} \]

Einsteinの総和規約 (Einstein summation convention)

単項の中に二回以上同じ添字があらわれた時，その添字については和をとることを約束する．このとき， \( i \) の添字の和を取る範囲については，適宜適切な範囲とする．ここでは，3次元空間のみを扱うので, \[\begin{aligned} A_{i} \vb*{e}_{i} &= \sum_{i}^{} A_{i} \vb*{e}_{i} = A_{1}\vb*{e}_{1} + A_{2}\vb*{e}_{2} + A_{3}\vb*{e}_{3} \\ A_{i} B_{i} &= \sum_{i}^{} A_{i} B_{i} = A_{1}B_{1} + A_{2}B_{2} + A_{3}B_{3}\end{aligned}\] といった具合に， \( i \) は \( 1 \) から \( 3 \) まで走らせることになる. それ以外の場合にはその都度 \( i \) を走らせる範囲を明記することにする.

クロネッカーのデルタ (Kronecker delta)

クロネッカーのデルタ \( \delta_{ij} \) を導入する． \[ \delta_{ij} \coloneqq \begin{dcases} 1 & ( i = j ) \\ 0 & ( i \not = j) \end{dcases} \quad . \]

クロネッカーのデルタは， \[ \begin{aligned} \delta_{11} &=\delta_{22}=\delta_{33}=1 \quad .\\ \delta_{12} &=\delta_{13}=\delta_{21} \\ & = \delta_{23}=\delta_{31}=\delta_{32}=0 \quad . \end{aligned}\] をまとめ書きした記号ということである．

後に多用することになるが，3次元の直交した単位ベクトル同士の内積 \( \vb*{e}_{i} \vdot \vb*{e}_{j} \) というのはクロネッカーのデルタと同等の性質を持っており, \[ \vb*{e}_{i} \vdot \vb*{e}_{j} = \delta_{ij} \] が成立する.

クロネッカーのデルタは，次のような性質を持つ． \[ \begin{align} A_{i}\delta_{ij} &= A_{1} \delta_{1j} + A_{2} \delta_{2j} + A_{3} \delta_{3j} \notag \\ &= \begin{dcases} A_{1} & ( \text{\( j = 1 \)のとき} ) \\ A_{2} & ( \text{\( j = 2 \)のとき} ) \\ A_{3} & ( \text{\( j = 3 \)のとき} ) \end{dcases} \notag \\ \therefore \ A_{i} \delta_{ij} & = A_{j} \end{align} \]

レヴィ=チヴィタ記号 (Levi-Civita symbol)

次のような性質を持つレヴィ=チヴィタ記号 \( \epsilon_{ijk} \)を導入する． \[\begin{aligned} \epsilon_{ijk} \coloneqq \begin{dcases} 1 & (\text{ \( i \) , \( j \) , \( k \) の偶置換}) \\ -1 & (\text{ \( i \) , \( j \) , \( k \) の奇置換}) \\ 0 & (\text{それ以外}) \end{dcases} \quad. \end{aligned}\]

レヴィ=チヴィタ記号は，\[ \begin{aligned} \epsilon_{123} &=\epsilon_{231}=\epsilon_{312}=1 \quad .\\ \epsilon_{132} &=\epsilon_{213}=\epsilon_{321}= - 1 \quad .\\ \epsilon_{111} &=\epsilon_{112}=\epsilon_{113} \\ & = \epsilon_{121}=\epsilon_{122} \\ & = \epsilon_{131}=\epsilon_{133}=0 \quad .\\ \epsilon_{211} &=\epsilon_{212} \\ & = \epsilon_{221}=\epsilon_{222}=\epsilon_{223} \\ & = \epsilon_{232}=\epsilon_{233}=0 \quad .\\ \epsilon_{311} &=\epsilon_{313} \\ & = \epsilon_{322}=\epsilon_{323} \\ & = \epsilon_{331}=\epsilon_{332}=\epsilon_{333}=0 \quad .\\ \end{aligned}\] をまとめ書きした記号ということである．

レヴィ=チヴィタ記号も3次元の直交した単位ベクトルを用いて次のように表現できる． \[ \abs{\vb*{e}_{i} \ \vb*{e}_{j} \ \vb*{e}_{k} } \coloneqq \vb*{e}_{i} \vdot \pqty{ \vb*{e}_{j} \cross \vb*{e}_{k} } = \epsilon_{ijk} \quad . \] ここで， \( \cross \) は外積操作を表す演算子であり，最左辺の式はスカラー三重積と呼ばれるものである．

内積

基本演算の一つである内積は，クロネッカーのデルタを用いることで次のように表現できる．\[\begin{aligned} \vb*{A} \vdot \vb*{B} & \coloneqq \sum_{i} A_{i} \vb*{e}_{i} \vdot \sum_{j} B_{j} \vb*{e}_{j} \\ & = A_{i} B_{j} \vb*{e}_{i} \vdot \vb*{e}_{j} \\ & = A_{i} B_{j} \delta_{ij} \notag \\ & = A_{i} B_{i} \quad . \end{aligned}\]

外積

外積は，レヴィ＝チヴィタ記号を用いて表現できる．

記号 \( \bqty{ \vb*{A} }_{i} \) はベクトル量 \( \vb*{A} \) の \( i \) 成分を表すものであるとすれば，3次元のベクトル量 \( \vb*{A} \) , \( \vb*{B} \) に対し次式が成立する． \[ \begin{aligned} \bqty{ \vb*{A} \cross \vb*{B} }_{i} & \eqqcolon \sum_{j} A_{j} \vb*{e}_{j} \cross \sum_{k} B_{k} \vb*{e}_{k} \\ & = \sum_{j,k} A_{j} B_{k} \vb*{e}_{j} \cross \vb*{e}_{k} \\ & = \epsilon_{ijk} A_{j} B_{k} \quad. \end{aligned} \]

上式において， \( i \) の値を固定して1つの成分について具体的に示しておこう． \[\begin{aligned} \bqty{ \vb*{A} \cross \vb*{B} }_{1} &= \epsilon_{1jk} A_{j} B_{k} \\ &= \epsilon_{111} A_{1}B_{1} + \epsilon_{112} A_{1}B_{2} + \epsilon_{113} A_{1}B_{3} \\ & \phantom{=} + \epsilon_{121} A_{2}B_{1} + \epsilon_{122} A_{2}B_{2} + \epsilon_{123} A_{2}B_{3} \\ & \phantom{=} + \epsilon_{131} A_{3}B_{1} + \epsilon_{132} A_{3}B_{2} + \epsilon_{133} A_{3}B_{3} \\ &= 0 \vdot A_{1}B_{1} + 0 \vdot A_{1}B_{2} + 0 \vdot A_{1}B_{3} \\ & \phantom{=} + 0 \vdot A_{2}B_{1} + 0 \vdot A_{2}B_{2} + 1 \vdot A_{2}B_{3} \\ & \phantom{=} + 0 \vdot A_{3}B_{1} - 1 \vdot A_{3}B_{2} + 0 \vdot A_{3}B_{3} \\ &= A_{2}B_{3} - A_{3}B_{2} \\ &= \epsilon_{1jk} A_{j}B_{k} \end{aligned}\]

ナブラ演算子

次式で定義するような，偏微分演算を成分に持つと解釈できるナブラ演算子を導入する． \[ \begin{aligned} \grad &\coloneqq \pqty{ \pdv{x} , \pdv{y} , \pdv{z} } \\ &=\pqty{ \pdv{x_{1}} , \pdv{x_{2}} , \pdv{x_{3}} } \quad . \end{aligned}\]

ナブラ演算子は，スカラーやベクトルに作用することで初めて意味をなし，また，一般には可換でないことを注意しておく．すなわち，この演算子のすぐ右にかかるスカラー量ないしはベクトル量に作用するが，左の量には作用しない．

勾配 (gradient)

関数 \( f \) に対してナブラ演算子を左から作用させた量 \[ \grad f \coloneqq \pqty{ \pdv{f}{x_1}, \pdv{f}{x_2} , \pdv{f}{x_3} } \] を関数 \( f \) の勾配(グラディエント)と呼び， \[ \mathrm{grad} \ f \] などとも書く．

発散 (divergence)

ベクトル \( \vb*{A} \) に対してナブラ演算子を左から内積と同じように作用させた量 \( \div{ \vb*{A} } \) 又は \( \mathrm{div} \ \vb*{A} \) をベクトル \( \vb*{A} \) の発散と呼ぶ． \[\div{\vb*{A}} \coloneqq \nabla_i A_{i} = \pdv{A_{i}}{x_{i}} = \pdv{A_{1}}{x_{1}} + \pdv{A_{2}}{x_{2}} + \pdv{A_{3}}{x_{3}} \]

この量は, 物理的にはある点からの湧き出し量を記述している．

回転 (rotation)

ベクトル \( \vb*{A} \) に対してナブラ演算子を左から外積と同じように作用させた量 \( \curl{\vb*{A}} \) 又は \( \mathrm{rot} \ \vb*{A} \) をベクトル \( \vb*{A} \) の回転と呼ぶ．\[\curl{ \vb*{A} } \coloneqq \pqty{ \pdv{A_{3}}{x_{2}}-\pdv{A_{2}}{x_{3}}, \pdv{A_{1}}{x_{3}}-\pdv{A_{3}}{x_{1}}, \pdv{A_{2}}{x_{1}}-\pdv{A_{1}}{x_{2}} } \]

また，ベクトル \( \vb*{A} \) の回転の第 \( i \) 成分はレヴィ=チヴィタ記号を用いて次式で表すことが出来る．\[ \bqty{ \curl{\vb*{A}}}_{i} = \epsilon_{ijk} \nabla_j A_{k} = \epsilon_{ijk} \pdv{A_{k}}{x_{j}}\]

この量は，物理的にはある点周りの渦度を記述している．

レヴィ＝チヴィタ記号の積

レヴィ＝チヴィタ記号の積について考える.

レヴィ＝チヴィタ記号はスカラー三重積, すなわち行列式で表すことが出来た. 以下, ベクトル \( \vb*{e}_{i} \) の第 \( j \) 成分を \( \vb*{e}_{ij} \) と書くことにしておけば, \[\begin{aligned} \epsilon_{ijk}\epsilon_{pqr} &= \vmqty{ \vb*{e}_{i1} & \vb*{e}_{i2} & \vb*{e}_{i3} \\ \vb*{e}_{j1} & \vb*{e}_{j2} & \vb*{e}_{j3} \\ \vb*{e}_{k1} & \vb*{e}_{k2} & \vb*{e}_{k3} } \vmqty{ \vb*{e}_{p1} & \vb*{e}_{p2} & \vb*{e}_{p3} \\ \vb*{e}_{q1} & \vb*{e}_{q2} & \vb*{e}_{q3} \\ \vb*{e}_{r1} & \vb*{e}_{r2} & \vb*{e}_{r3} } \notag \\ &= \vmqty{ \vb*{e}_{i1} & \vb*{e}_{i2} & \vb*{e}_{i3} \\ \vb*{e}_{j1} & \vb*{e}_{j2} & \vb*{e}_{j3} \\ \vb*{e}_{k1} & \vb*{e}_{k2} & \vb*{e}_{k3} } \vmqty{ \vb*{e}_{p1} & \vb*{e}_{q1} & \vb*{e}_{r1} \\ \vb*{e}_{p2} & \vb*{e}_{q2} & \vb*{e}_{r2} \\ \vb*{e}_{p3} & \vb*{e}_{q3} & \vb*{e}_{r3} } \notag \\ &= \vmqty{ \vb*{e}_{i1} \vdot \vb*{e}_{p1}+\vb*{e}_{i2} \vdot \vb*{e}_{p2}+\vb*{e}_{i3} \vdot \vb*{e}_{p3} & \vb*{e}_{i1} \vdot \vb*{e}_{q1}+\vb*{e}_{i2} \vdot \vb*{e}_{q2}+\vb*{e}_{i3} \vdot \vb*{e}_{q3} & \vb*{e}_{i1} \vdot \vb*{e}_{r1}+\vb*{e}_{i2} \vdot \vb*{e}_{r2}+\vb*{e}_{i3} \vdot \vb*{e}_{r3} \\ \vb*{e}_{j1} \vdot \vb*{e}_{p1}+\vb*{e}_{j2} \vdot \vb*{e}_{p2}+\vb*{e}_{j3} \vdot \vb*{e}_{p3} & \vb*{e}_{j1} \vdot \vb*{e}_{q1}+\vb*{e}_{j2} \vdot \vb*{e}_{q2}+\vb*{e}_{j3} \vdot \vb*{e}_{q3} & \vb*{e}_{j1} \vdot \vb*{e}_{r1}+\vb*{e}_{j2} \vdot \vb*{e}_{r2}+\vb*{e}_{j3} \vdot \vb*{e}_{r3} \\ \vb*{e}_{k1} \vdot \vb*{e}_{p1}+\vb*{e}_{k2} \vdot \vb*{e}_{p2}+\vb*{e}_{k3} \vdot \vb*{e}_{p3} & \vb*{e}_{k1} \vdot \vb*{e}_{q1}+\vb*{e}_{k2} \vdot \vb*{e}_{q2}+\vb*{e}_{k3} \vdot \vb*{e}_{q3} & \vb*{e}_{k1} \vdot \vb*{e}_{r1}+\vb*{e}_{k2} \vdot \vb*{e}_{r2}+\vb*{e}_{k3} \vdot \vb*{e}_{r3} } \notag \\ &= \vmqty{ \vb*{e}_{i} \vdot \vb*{e}_{p} & \vb*{e}_{i} \vdot \vb*{e}_{q} & \vb*{e}_{i} \vdot \vb*{e}_{r}\\ \vb*{e}_{j} \vdot \vb*{e}_{p} & \vb*{e}_{j} \vdot \vb*{e}_{q} & \vb*{e}_{j} \vdot \vb*{e}_{r} \\ \vb*{e}_{k} \vdot \vb*{e}_{p} & \vb*{e}_{k} \vdot \vb*{e}_{q} & \vb*{e}_{k} \vdot \vb*{e}_{r} } \notag \\ &= \vmqty{ \delta_{ip} & \delta_{iq} & \delta_{ir} \\ \delta_{jp} & \delta_{jq} & \delta_{jr} \\ \delta_{kp} & \delta_{kq} & \delta_{kr} } \end{aligned} \notag \] と書くことができる．

ここで, \( i = p \) の場合, \[\begin{aligned} \epsilon_{ijk} \epsilon_{iqr} &= \vmqty{ \delta_{ii} & \delta_{iq} & \delta_{ir} \\ \delta_{ji} & \delta_{jq} & \delta_{jr} \\ \delta_{ki} & \delta_{kq} & \delta_{kr} } \\ &= \delta_{ii} \vmqty{ \delta_{jq} & \delta_{jr} \\ \delta_{kq} & \delta_{kr} } - \delta_{ji} \vmqty{ \delta_{iq} & \delta_{ir} \\ \delta_{kq} & \delta_{kr} } + \delta_{ki} \vmqty{ \delta_{iq} & \delta_{ir} \\ \delta_{jq} & \delta_{jr} } \notag \\ &= 3 \vmqty{ \delta_{jq} & \delta_{jr} \\ \delta_{kq} & \delta_{kr} } - \vmqty{ \delta_{jq} & \delta_{jr} \\ \delta_{kq} & \delta_{kr} } + \vmqty{ \delta_{kq} & \delta_{kr} \\ \delta_{jq} & \delta_{jr} } \notag \\ &= 3 \vmqty{ \delta_{jq} & \delta_{jr} \\ \delta_{kq} & \delta_{kr} } - \vmqty{ \delta_{jq} & \delta_{jr} \\ \delta_{kq} & \delta_{kr} } - \vmqty{ \delta_{jq} & \delta_{jr} \\ \delta_{kq} & \delta_{kr} } \\ &= \vmqty{ \delta_{jq} & \delta_{jr} \\ \delta_{kq} & \delta_{kr} } \notag \\ &= {\delta_{{j}{q}} \delta_{{k}{r}} - \delta_{{j}{r}} \delta_{{k}{q}} } \end{aligned}\]

さらに, \( j = q \) の場合, \[\epsilon_{ijk} \epsilon_{ijr} = {\delta_{{j}{j}} \delta_{{k}{r}} - \delta_{{j}{r}} \delta_{{k}{j}} } = 3\delta_{kr} - \delta_{kr} = 2\delta_{kr} \quad . \]

最後に \( k = r \) とすると最終的に次式を得る. \[\epsilon_{ijk}\epsilon_{ijk} = 2\delta_{kk} = 6 \quad.\]

レヴィ＝チヴィタ記号の積について重要なものを以下にまとめておく \[ \begin{align} \epsilon_{ijk} \epsilon_{iqr} & = \delta_{{j}{q}} \delta_{{k}{r}} - \delta_{{j}{r}} \delta_{{k}{q}} \\ \epsilon_{ijk} \epsilon_{ijr} & = 2\delta_{kr} \\ \epsilon_{ijk} \epsilon_{ijk} & = 6 \end{align} \]

クロネッカーのデルタやレヴィ＝チヴィタ記号について成り立つ公式のうち，特に重要な公式だけをあらためてまとめておこう. \[ \delta_{ij} \coloneqq \begin{dcases} 1 & ( i = j ) \\ 0 & ( i \not = j) \end{dcases}\] \[ \epsilon_{ijk} \coloneqq \begin{dcases} 1 & (\text{ \( i \) , \( j \) , \( k \) の偶置換}) \\ -1 & (\text{ \( i \) , \( j \) , \( k \) の奇置換}) \\ 0 & (\text{それ以外}) \\ \end{dcases} \quad. \] \[ \epsilon_{ijk} \epsilon_{iqr} = \delta_{{j}{q}} \delta_{{k}{r}} - \delta_{{j}{r}} \delta_{{k}{q}} \label{LeviCivitaの積1} \] \[ \epsilon_{ijk} \epsilon_{ijr} = 2\delta_{kr} \label{LeviCivitaの積2} \] \[ \epsilon_{ijk} \epsilon_{ijk} = 6 \label{LeviCivitaの積3} \]

ベクトル解析の公式一覧

\[ \vb*{A} \vdot \pqty{ \vb*{B} \cross \vb*{C} } = \pqty{ \vb*{A} \cross \vb*{B} } \vdot \vb*{C} = \vb*{B} \vdot \pqty{ \vb*{C} \cross \vb*{A} } = \vb*{C} \vdot \pqty{ \vb*{B} \cross \vb*{A} } = \vmqty{ A_1 & A_2 & A_3 \\ B_1 & B_2 & B_3 \\ C_1 & C_2 & C_3 } \] \[ \vb*{A} \cross \pqty{ \vb*{B} \cross \vb*{C} } = \pqty{ \vb*{A} \vdot \vb*{C} }\vb*{B} - \pqty{ \vb*{A} \vdot \vb*{B} }\vb*{C} \] \[ \vb*{A} \cross \pqty{ \vb*{B} \cross \vb*{C} } + \vb*{B} \cross \pqty{ \vb*{C} \cross \vb*{A} } + \vb*{C} \cross \pqty{ \vb*{A} \cross \vb*{B} } = \vb{0} \] \[ \pqty{ \vb*{A} \cross \vb*{B} } \vdot \pqty{ \vb*{C} \cross \vb*{D} } = \pqty{ \vb*{A} \vdot \vb*{C} } \pqty{ \vb*{B} \vdot \vb*{D} } - \pqty{ \vb*{B} \vdot \vb*{C} } \pqty{ \vb*{A} \vdot \vb*{D} } \] \[ \grad{f} = \mathrm{grad} \ f = \pqty{ \pdv{f}{x_{1}} , \pdv{f}{x_{2}} , \pdv{f}{x_{3}} } \] \[ \div{\vb*{A}} = \mathrm{div} \ \vb*{A} = \pdv{A_{1}}{x_{1}} + \pdv{A_{2}}{x_{2}} + \pdv{A_{3}}{x_{3}} \] \[ \curl{\vb*{A}} = \mathrm{rot} \ \vb*{A} = \vmqty{ \vb*{e}_{1} & \vb*{e}_{2} & \vb*{e}_{3} \\ \pdv{x_{1}} & \pdv{x_{2}} & \pdv{x_{3}} \\ A_{1} & A_{2} & A_{3} } \] \[ \laplacian \coloneqq \div{ \grad f} = \mathrm{div} \ \pqty{ \mathrm{grad} \ f } = \pdv[2]{f}{x_{1}} + \pdv[2]{f}{x_{2}} + \pdv[2]{f}{x_{3}} \] \[ \curl{ \grad f } = \mathrm{rot} \pqty{ \mathrm{grad} \ f } = \vb{0} \] \[ \div{\pqty{ \curl{ \vb*{A} } } } = \mathrm{div} \pqty{ \mathrm{rot} \ \vb*{A} } = 0 \] \[ \curl{ \pqty{ \curl{ \vb*{A} } } } = \mathrm{rot} \pqty{ \mathrm{rot} \ \vb*{A} } = \grad \pqty{ \div{\vb*{A} }} - \laplacian \vb*{A} \] \[ \grad \pqty{ f \vb*{A} } = f \div{\vb*{A}} + \vb*{A} \vdot \grad{f} \] \[ \curl{ \pqty{ f \vb*{A} } } = f \curl{ \vb*{A} } - \vb*{A} \cross \grad{f} \] \[ \div{\pqty{ \vb*{A} \cross \vb*{B} } } = \vb*{B} \vdot \pqty{ \curl{ \vb*{A} } } - \vb*{A} \vdot \pqty{ \curl{ \vb*{B} } } \] \[ \curl{ \pqty{ \vb*{A} \cross \vb*{B} } } = \pqty{ \vb*{B} \vdot \grad } \vb*{A} - \pqty{ \vb*{A} \vdot \grad } \vb*{B} - \vb*{B} \pqty{ \div{\vb*{A} } } + \vb*{A} \pqty{ \div{\vb*{B} } } \] \[ \grad{\pqty{ \vb*{A} \vdot \vb*{B} }} = \vb*{A} \cross \pqty{ \curl{ \vb*{B} } } + \pqty{ \vb*{A} \vdot \grad } \vb*{B} + \vb*{B} \cross \pqty{ \curl{ \vb*{A} } } + \pqty{ \vb*{B} \vdot \grad } \vb*{A} \] \[ \div{\pqty{ \grad{f} \cross \grad{g} } } = 0 \]

主なベクトル解析の公式の導出