周期関数のラプラス変換

周期 \( T \ (>0) \) をもつ区分的に連続な関数 \( f(t) \) のラプラス変換 \( \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\} \) は次式で与えられる. \[ \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\} = \frac{1}{1-e^{-sT}} \int_{0}^{T} e^{-s\tau} f(\tau) \, d\tau \quad . \notag \]

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周期関数のラプラス変換

周期 \( T \ (>0) \) をもつ区分的に連続な関数 \( f(t) \) のラプラス変換について考えよう. 以下の議論では, \( f(t) \) は周期関数であることから次の性質. \[f\left( t \right) = f\left( t + T\right) = f\left( t + 2T\right) = \cdots \quad . \label{ftperiodic}\] を満たすことに注意して欲しい

周期関数 \( f(t) \) について,ラプラス変換の定義より, \[\begin{aligned} \mathcal{L}\left\{ f(t)\right\} &= \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) \, dt \notag \\ &= \int_{0}^{T} e^{-st} f(t) \, dt + \int_{T}^{2T} e^{-st} f(t) \, dt + \int_{2T}^{3T} e^{-st} f(t) \, dt + \cdots \notag \end{aligned}\] となる. ここで, 上式右辺第 \( 1 \) 項の \( t \) を \( \tau \) と置き, 右辺第 \( 2 \) 項に対して \( \tau=t-T \) , 右辺第 \( 3 \) 項に対して \( \tau = t -2T \) といった置換を各項に適用すれば, \[\begin{aligned} \mathcal{L}\left\{ f(t)\right\} &= \int_{0}^{T} e^{-st} f \left( t \right) \, dt + \int_{0}^{T} e^{-s\left( T + \tau \right)} f \left( \tau + T \right) \, dt + \int_{0}^{T} e^{-s\left( 2T + \tau \right)} f\left( t + 2T \right) \, dt + \cdots \notag \\ &= \int_{0}^{T} e^{-st} f \left( t \right) \, dt + e^{-sT}\int_{0}^{T} e^{-s \tau} f \left( \tau + T \right) \, dt + e^{-2sT} \int_{0}^{T} e^{-s \tau } f\left( t + 2T \right) \, dt + \cdots \notag \end{aligned}\] となり, 各項の積分範囲を \( 0 \) から \( T \) に揃えることができる. また, 式\eqref{ftperiodic}より, \[\begin{aligned} \mathcal{L}\left\{ f(t)\right\} &= \int_{0}^{T} e^{-st} f \left( t \right) \, dt + e^{-sT}\int_{0}^{T} e^{-s \tau} f \left( \tau \right) \, dt + e^{-2sT} \int_{0}^{T} e^{-s \tau } f\left( t \right) \, dt + \cdots \notag \\ &= \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^{n} \left\{ e^{-ksT} \int_{0}^{T} e^{-s\tau} f(\tau) \, d\tau \right\} \notag \\ &= \left\{ \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^{n} e^{-ksT} \right\} \int_{0}^{T} e^{-s\tau} f(\tau) \, d\tau \notag \end{aligned}\] となる. 上式における \( \displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^{n} e^{-ksT} } \) は初項 \( 1 \) , 公比 \( e^{-sT} \ (<1) \) の無限等比級数であるので, \( \left( 1 – e^{-sT} \right)^{-1} \) に収束する. したがって, 周期 \( T \) の周期関数 \( f(t) \) のラプラス変換として次式を得る. \[\mathcal{L}\left\{ f(t) \right\} = \frac{1}{1-e^{-sT}} \int_{0}^{T} e^{-s\tau} f(\tau) \, d\tau \quad . \notag\]

別証明

周期関数 \( f(t) \) のラプラス変換 \( F(s) = \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\} \) が存在することがわかっている場合, 次のように周期関数のラプラス変換を求めることができる. \[\begin{aligned} F(s) &= \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) \, dt \notag \\ &= \int_{0}^{T} e^{-st} f(t) \, dt + \int_{T}^{\infty} e^{-st} f(t) \, dt \quad . \notag \end{aligned}\] ここで, 右辺第 \( 2 \) 項に対して \( \tau = t – T \) と置換し, さらに式\eqref{ftperiodic}を用いると, \[\begin{aligned} F(s) &= \int_{0}^{T} e^{-st} f(t) \, dt + \int_{T}^{\infty} e^{-st} f(t) \, dt \notag \\ &= \int_{0}^{T} e^{-st} f(t) \, dt + \int_{0}^{\infty} e^{-s\left( \tau + T \right) } f(\tau + T) \, d\tau \notag \\ &= \int_{0}^{T} e^{-st} f(t) \, dt + e^{-sT} \int_{0}^{\infty} e^{-s\tau} f(\tau) \, d\tau \notag \\ &= \int_{0}^{T} e^{-st} f(t) \, dt + e^{-sT} F(s) \notag \end{aligned}\] \[\therefore \quad F(s) = \frac{1}{1-e^{-sT}} \int_{0}^{T} e^{-st} f(t) \,dt \notag\]

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