質点系の運動方程式

全質量が \( M \) の多数の質点からなる系の個々の運動方程式を足し合わせると, 系の重心 \( \boldsymbol{r}_{G} \) と外力 \( \boldsymbol{F}_{\mathrm{ext}} \) との間に次式が成立する. \[ M \frac{d^{2}\boldsymbol{r}_{G}}{dt^{2}} = \boldsymbol{F}_{\mathrm{ext}} \quad .\notag \]

系の全運動量 \( \boldsymbol{P} \) は系の重心の運動量 \( \boldsymbol{P}_{G} = M \boldsymbol{v}_{G} \) と一致する. \[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{P}_{G} \quad . \notag \]

系の全運動量(=系の重心の運動量)の時間変化率は外力のみに依存する. したがって, 外力がゼロのときには系の全運動量は一定に保たれる. \[ \frac{d\boldsymbol{P}}{dt} = \frac{d\boldsymbol{P}_{G}}{dt} =\boldsymbol{F}_{\mathrm{ext}} \quad . \notag \]

ここでは, 多数の質点からなる系について考えることにする. その主な目的は, 質点に対する力学法則を多数の質点からなる系に当てはめることで, 質点系全体に対する力学法則がどのように記述されるのかを調べることである.

実は, 幾つかの重要な性質は他の各ページでも既に紹介している. ここではそれらの知識は仮定しないが, 重心および運動量保存則について知っていると理解に役立つであろう. また, 質点系の中でも2つの質点からなる2質点系の議論は2体問題でも取り扱っているので参考にして欲しい.

以下, 特に断りのない限り, 系は \( N \) 個の質点によって成り立つ \( N \) 質点系であり, \( i \) 番目の質点の質量を \( m_{i} \) , その位置ベクトルを \( \boldsymbol{r}_{i} \) , 速度ベクトルを \( \displaystyle{\boldsymbol{v}_{i}=\frac{d\boldsymbol{r}_{i}}{dt} } \) , 運動量を \( \boldsymbol{p}_{i}= m_{i}\boldsymbol{v}_{i} \) とする. ( \( i = 1 ,2, \cdots , N \) )

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重心
質点の運動方程式
質点系の運動方程式
質点系の運動量


重心

後述するように, 系の運動を代表する特別な点として重心がある.

系の全質量 \( M \) を \[M \mathrel{\mathop:}= \sum_{i=1}^{N} m_{i} \notag\] で定義すると, 系の重心 \( \boldsymbol{r}_{G} \) は次式で定義される. \[\boldsymbol{r}_{G} \mathrel{\mathop:}= \frac{1}{M}\sum_{i=1}^{N}m_{i}\boldsymbol{r}_{i} \ \iff \ M \boldsymbol{r}_{G} = \sum_{i=1}^{N}m_{i}\boldsymbol{r}_{i} \quad . \label{nbprG}\]

質点の運動方程式

系に属する \( i \) 番目の質点が同じ系に属する \( j\ ( \neq i) \) 番目の質点から受ける力を \( \boldsymbol{f}_{ij} \) とする. 作用反作用の法則により, \( i \) 番目の質点が \( j \) 番目の質点から受ける力 \( \boldsymbol{f}_{ij} \) と \( j \) 番目の質点が \( i \) 番目の質点から受ける力 \( \boldsymbol{f}_{ji} \) との間に次式が成立している. \[\boldsymbol{f}_{ij} = – \boldsymbol{f}_{ji} \quad \left( i \neq j\right) \quad . \notag\] このような, 系内部の物体が互いに及ぼし合う力を内力といい, \( i \) 番目の質点が受ける内力の合力は \( \displaystyle{ \sum_{j\neq i}^{N} \boldsymbol{f}_{ij} } \) で与えられる. ここで, 記号 \( \displaystyle{ \sum_{j\neq i}^{N} } \) は, \( j =1 , 2, \cdots , N \) の総和計算を, \( j = i \) のみを除いた範囲で行うことを意味している.

そして, \( i \) 番目の質点が系の外部から受ける外力(の合力)を \( \boldsymbol{F}_{i} \) とすると, \( i \) 番目の質点の運動方程式は次式で与えられる. \[m_{i} \frac{d^{2}\boldsymbol{r}_{i}}{dt^{2}} = \boldsymbol{F}_{i} + \sum_{j\neq i}^{N}\boldsymbol{f}_{ij} \quad . \label{nbpeomi}\]

質点系の運動方程式

質点系に属する各質点に対して成立する運動方程式(式\eqref{nbpeomi})が得られたので, 今度はそれらを全て合わせたときにどんな結論が得られるのかに興味を移そう.

\( i \) 番目の質点に対する運動方程式\eqref{nbpeomi}を \( i=1 \) から \( N \) まで和を取ると, \[\sum_{i=1}^{N} m_{i} \frac{d^{2}\boldsymbol{r}_{i}}{dt^{2}} = \sum_{i=1}^{N} \frac{d\boldsymbol{p}_{i}}{dt} = \sum_{i=1}^{N} \boldsymbol{F}_{i} + \sum_{i=1}^{N} \sum_{j\neq i}^{N} \boldsymbol{f}_{ij} \label{nbpeomsum}\] となる. 以下では式\eqref{nbpeomsum}の各項をできる限り整理しよう.

まず, 式\eqref{nbpeomsum}の左辺と式\eqref{nbprG}の第2式右辺が似通っていることに注目し, 式\eqref{nbprG}の2階導関数を求めると \[\begin{aligned} & \frac{d^{2}}{dt^{2}} \left( M \boldsymbol{r}_{G}\right) = \frac{d^{2}}{dt^{2}} \left( \sum_{i=1}^{N} m_{i} \boldsymbol{r}_{i}\right) \notag \\ \to \ & M \frac{d^{2}\boldsymbol{r}_{G}}{dt^{2}} = \sum_{i=1}^{N} m_{i} \frac{d^{2}\boldsymbol{r}_{i}}{dt^{2}} \notag \end{aligned}\] であるので, 式\eqref{nbpeomsum}は \[M \frac{d^{2}\boldsymbol{r}_{G}}{dt^{2}} = \sum_{i=1}^{N} \boldsymbol{F}_{i} + \sum_{i=1}^{N} \sum_{j\neq i}^{N}\boldsymbol{f}_{ij} \label{nbpeomsum2}\] と書き換えることができる.

次に, 式\eqref{nbpeomsum2}の右辺第2項について考える. この項は \[\sum_{i=1}^{N} \sum_{j\neq i}^{N}\boldsymbol{f}_{ij} = \sum_{i=1}^{N} \left( \sum_{j < i}^{N}\boldsymbol{f}_{ij} + \sum_{j > i}^{N}\boldsymbol{f}_{ij} \right) \notag\] と書くことができる. ここで, 記号 \( \displaystyle{ \sum_{j< i}^{N} } \) \( j =1 , 2, \cdots , N \) の総和計算を, \( j \) が \( i \) 未満の範囲で行うことを意味し, 記号 \( \displaystyle{ \sum_{j> i}^{N} } \) \( j =1 , 2, \cdots , N \) の総和計算を, \( j \) が \( i \) より大きな範囲で行うことを意味する.

途中, 作用反作用の法則 \( \boldsymbol{f}_{ij} = -\boldsymbol{f}_{ji} \) を用いると, \[\begin{aligned} \sum_{i=1}^{N} \sum_{j\neq i}^{N}\boldsymbol{f}_{ij} &= \sum_{i=1}^{N} \left( \sum_{j < i}^{N}\boldsymbol{f}_{ij} + \sum_{j > i}^{N}\boldsymbol{f}_{ij} \right) \notag \\ &= \sum_{i=1}^{N} \sum_{j < i}^{N}\boldsymbol{f}_{ij} – \sum_{i=1}^{N} \sum_{j > i}^{N}\boldsymbol{f}_{ji} \notag \\ &= \sum_{i=1}^{N} \sum_{j < i}^{N}\boldsymbol{f}_{ij} – \sum_{j=1}^{N} \sum_{i > j}^{N}\boldsymbol{f}_{ij} \notag \\ &= \sum_{i=1}^{N} \sum_{j < i}^{N}\boldsymbol{f}_{ij} – \sum_{i=1}^{N} \sum_{j > i}^{N}\boldsymbol{f}_{ij} \notag \\ &= \boldsymbol{0} \notag \end{aligned}\] となり, 内力は互いに打ち消し合うことがわかる[1][2].

さらに, 質点系に働く全外力 \( \boldsymbol{F}_{\mathrm{ext}} \) を \[\boldsymbol{F}_{\mathrm{ext}} \mathrel{\mathop:}= \sum_{i=1}^{N}\boldsymbol{F}_{i} \notag\] と書くことにすると, 式\eqref{nbpeomsum2}は次式のように書くことができる. \[M \frac{d^{2}\boldsymbol{r}_{G}}{dt^{2}} = \boldsymbol{F}_{\mathrm{ext}} \quad . \label{nbpeomsum3}\] この式\eqref{nbpeomsum3}は, 系の重心 \( \boldsymbol{r}_{G} \) の運動は, 系の全質量 \( M \) が系の重心 \( \boldsymbol{r}_{G} \) に集中した質点に全外力 \( \boldsymbol{F}_\mathrm{ext} \) が働いているときの運動方程式を解くことで理解できるということを主張している.

質点系の運動量

質点系の運動量

質点系の中でも重心は特別な点であることがわかった. 続いては系の全運動量 \[\boldsymbol{P} \mathrel{\mathop:}= \sum_{i=1}^{N} m_{i} \boldsymbol{v}_{i} \notag\] と重心の運動量 \[\boldsymbol{P}_{G} \mathrel{\mathop:}= M \boldsymbol{v}_{G} \notag\] との関係を明らかにしておこう.

これは非常に明快で, 式\eqref{nbprG}の第2式の両辺を時間微分すると, \[\begin{align} & \frac{d}{dt} \left( M \boldsymbol{r}_{G} \right) = \frac{d}{dt} \left( \sum_{i=1}^{N} m_{i} \boldsymbol{r}_{i} \right) \notag \\ \to \ & M \boldsymbol{v}_{G} = \sum_{i=1}^{N} m_{i} \boldsymbol{v}_{i} \notag \\ \to \ & \boldsymbol{P}_{G} = \boldsymbol{P} \label{psyseqpg} \end{align}\] となり, 系の全運動量 \( \boldsymbol{P} \) と重心の運動量 \( \boldsymbol{P}_{G} \) とは等価であることが示された.

質点系の運動量保存則

質点系の全運動量の時間微分を計算すると, \[\frac{d\boldsymbol{P}}{dt} \overset{\text{式\eqref{psyseqpg}}}{=} \frac{d\boldsymbol{P}_{G}}{dt} = M \frac{d\boldsymbol{v}_{G}}{dt} \overset{\text{式\eqref{nbpeomsum3}}}{=} \boldsymbol{F}_{\mathrm{ext}} \notag\] が得られる. これにより, 系に働く外力がゼロであれば系の全運動量(=重心の運動量)は変化しないことが示された. これを質点系の運動量保存則という.

最終更新日
回転座標系の運動方程式 質点系の回転運動方程式



補足    (↵ 本文へ)
  1. 最後から2番目の等式変形に躓いたひともいるであろうから補足しておく. \( \displaystyle{ \sum_{j=1}^{N} \sum_{i > j}^{N} } \) という総和計算は結局のところ, \( i \) と \( j \) という2つの添字で指定される組 \( ( i, j ) = (1, 1), (1, 2), \cdots (1, N) \) , \( (2, 1), (2, 2), \cdots (2, N) \) , \( \cdots , (N, 1), (N, 2), \cdots (N,N) \) の中から \( i > j \) を満たすものの総和計算を行うことを意味している. この組の選び方は \( i \) と \( j \) の総和計算の順序に依存せず, 総和計算の順序を入れ換えてもその計算結果は変わらないことになる.

  2. この証明は他にも幾つかの証明方法がある. その別証を与えておこう. 非常にシンプルなものとしては, 次のような証明がある. \[\begin{aligned} \sum_{i=1}^{N} \sum_{j\neq i}^{N}\boldsymbol{f}_{ij} &= \frac{1}{2}\sum_{i=1}^{N} \sum_{j\neq i}^{N} \left( \boldsymbol{f}_{ij} + \boldsymbol{f}_{ij} \right) \notag \\ &= \frac{1}{2} \left( \sum_{i=1}^{N} \sum_{j\neq i}^{N} \boldsymbol{f}_{ij} – \sum_{i=1}^{N} \sum_{j\neq i}^{N} \boldsymbol{f}_{ji} \right) \notag \\ &= \frac{1}{2} \left( \sum_{i=1}^{N} \sum_{j\neq i}^{N} \boldsymbol{f}_{ij} – \sum_{j=1}^{N} \sum_{i\neq j}^{N} \boldsymbol{f}_{ij} \right) \notag \\ &= \boldsymbol{0} \notag \end{aligned}\] 他にも, 量 \( \displaystyle{ \sum_{i=1}^{N} \sum_{j\neq i}^{N}\boldsymbol{f}_{ij} } \) は \( i \) 及び \( j \) について総和計算を行っているので, その値は \( i \) や \( j \) に依存しない量である. そこで, この量を \( \displaystyle{\boldsymbol{A} \mathrel{\mathop:} = \sum_{i=1}^{N} \sum_{j\neq i}^{N}\boldsymbol{f}_{ij} } \) と定義し, \( \boldsymbol{A} \) に対して次のような式変形を行なっていくと, \[\begin{aligned} \boldsymbol{A} &= \sum_{i=1}^{N} \sum_{j\neq i}^{N} \boldsymbol{f}_{ij} = – \sum_{i=1}^{N} \sum_{j\neq i}^{N} \left( – \boldsymbol{f}_{ij} \right) \notag \\ &= – \sum_{i=1}^{N} \sum_{j\neq i}^{N} \boldsymbol{f}_{ji} \quad \left( \ \because \boldsymbol{f}_{ji} = – \boldsymbol{f}_{ij} \right)\notag \\ &= – \sum_{j=1}^{N} \sum_{i=1,i\neq j}^{N} \boldsymbol{f}_{ji} \notag \\ \therefore \ \boldsymbol{A} &= – \boldsymbol{A} \notag \end{aligned}\] となり, \( \boldsymbol{A} = \boldsymbol{0} \) であることが示された.

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