圧力と浮力

圧力とせん断応力

面に働く力を考え, 圧力とせん断応力を導入する. ただし, せん断応力は高校物理では取り扱われず, 圧力が主な議論の対象となる.

まず, 流体に接触しているようなある(仮想的な)面を考えてみる^[3]”仮想的”という括弧書きを加えたが, 流体に具体的な物質が接している場合でなくとも, … Continue reading. ”接触している”ということは, 流体と面は互いに力を及ぼしあっていることになる. 流体が単位面積あたりに面に及ぼす力のうち, 面に対して垂直方向の成分を圧力, 面に沿った方向の法線成分をせん断応力という.

ある微小な面積 \( \Delta S\, \mathrm{m^2} \) の面に加えられている力を \( \Delta \vb*{F} \, \mathrm{N} \) とする. 流体から面に向かって垂直な方向の単位ベクトルを \( \vb*{n} \) , それに対して垂直な方向の単位ベクトルを \( \vb*{t} \) とする.

力 \( \Delta \vb*{F} \) の \( \vb*{n} \) 方向の成分を \( \Delta F_{n} = \Delta \vb*{F} \cdot \vb*{n} \) , 力 \( \Delta \vb*{F} \) の \( \vb*{t} \) 方向の成分を \( \Delta F_{t} = \Delta \vb*{F} \cdot \vb*{t} \) とすると, 力 \( \Delta \vb*{F} \) は \[\begin{aligned} \Delta \vb*{F} &= \qty( \Delta \vb*{F} \cdot \vb*{n} ) \vb*{n} + \qty( \Delta \vb*{F} \cdot \vb*{t} ) \vb*{t} \\ &= \Delta F_{n} \vb*{n} + \Delta F_{t} \vb*{t} \end{aligned}\] と表すことができる.

このとき, 単位面積あたりの力は \[\begin{aligned} \frac{\Delta \vb*{F}}{\Delta S} &= \frac{\Delta F_{n}}{\Delta S } \vb*{n} + \frac{\Delta F_{t} }{\Delta S } \vb*{t} \end{aligned}\] となる.

ここで, 圧力 \( P \) とせん断応力 \( \tau \) (タウ)をそれぞれ次式で定義するのである. \[\left\{\begin{aligned} P & \coloneqq \lim_{\Delta S \to 0} \frac{\Delta F_{n} }{\Delta S } = \dv{F_{n}}{S}\\ \tau & \coloneqq \lim_{\Delta S \to 0} \frac{\Delta F_{t} }{\Delta S } = \dv{F_{t}}{S} \end{aligned} \right.\] ここで, 単位は \( \mathrm{Pa} \coloneqq \mathrm{N}/\mathrm{m^2} \) である. このように圧力とせん断応力を定義しておくことで, 非常に小さな点に対して働く単位面積当たりの力は \[\therefore \ \lim_{\Delta S \to 0} \frac{\Delta \vb*{F}}{\Delta S} = P\vb*{n} + \tau\vb*{t}\] とあらわすことができる.

このように定義された \( P \) や \( \tau \) は一般的には場所によって異なる値を持つが, 面積 \( S \) にわたって均等な値であるならば, その値を面全体にわたって積分したものが力であり, \[\left\{\begin{aligned} F_{n} & = \int_{S} p \dd{S}= pS \\ F_{t} & = \int_{S} \tau \dd{S}= \tau S \end{aligned} \right.\] となる.

再度確認しておくと, 圧力は流体が面を面に対して垂直な方向に押す(または引く)力の成分であり, せん断応力は流体の流れによってある面を面に沿った方向へずらすような力の成分であり, 高校物理で扱うような流れを無視した静止流体においてはせん断応力を考慮する必要はない.

静止流体流での圧力の等方性

圧力の重要な性質の一つ, ある点に働く圧力による力はその向きに関係がないことを議論する^[4]念をおしておくが, 圧力は力ではない. ”力”という字があてがわれていて紛らわしいが, 圧力はあくまで各場所に割り振られたスカラー量であり, … Continue reading.

いま, 密度 \( \rho \) の静止流体の中で静止した下図のような仮想的な微小直角三角柱を考えてみよう. この直角三角柱は接触している静止流体から力を受けており, 各面ごとに及ぼす圧力は一定とする.

まず, \( x \) 方向の運動方程式を考えると, \[\begin{aligned} 0 &= p_{x} \dd{y} \dd{z} – p \dd{y}\sqrt{\qty( \dd{x} )^2 + \qty( \dd{z} )^{2}} \sin{\theta} \\ \to \ p_{x}\dd{z}&= p\sqrt{\qty( \dd{x} )^2 + \qty( \dd{z} )^{2}} \sin{\theta} \\ p_{x} &= p \underbrace{\frac{\sqrt{\qty( \dd{x} )^2 + \qty( \dd{z} )^{2}}}{\dd{z}}}_{=\frac{1}{\sin{\theta}}} \sin{\theta} \\ \therefore \ p_{x} &= p \end{aligned}\] \( z \) 方向の運動方程式は三角柱の密度を \( \rho^{\prime } \) とすると, 三角柱の質量 \( m \) は \( \displaystyle{m = \frac{1}{2} \rho \dd{x}\dd{y}\dd{z}}\) であることに注意すると, \[\begin{aligned} 0& = p_{z} \dd{x}\dd{y} – p \dd{y}\sqrt{\qty( \dd{x} )^2 + \qty( \dd{z} )^{2}} \cos{\theta} – m g \\ 0& = p_{z} \dd{x}\dd{y} – p \dd{y}\sqrt{\qty( \dd{x} )^2 + \qty( \dd{z} )^{2}} \cos{\theta} – \qty( \frac{1}{2} \rho \dd{x} \dd{y} \dd{z}) g \\ \to \ p_{z} \dd{x}&= p \sqrt{\qty( \dd{x} )^2 + \qty( \dd{z} )^{2}} \cos{\theta} + \frac{1}{2} \rho g \dd{x}\dd{z}\\ &= p \underbrace{\frac{\sqrt{\qty( \dd{x} )^2 + \qty( \dd{z} )^{2}}}{\dd{x}}}_{=\frac{1}{\cos{\theta}}} \cos{\theta} + \frac{1}{2} \rho g \dd{z}\\ &= p + \frac{1}{2} \rho g \dd{z}\end{aligned}\] ここで, \( \dd{x}, \dd{y}, \dd{z} \) は微小量であり, 右辺第2項は第1項に比べて無視できるので, \[\therefore \ p_{z} = p\] となる. 以上より, ある点に対して働く圧力について, \( p = p_{x} = p_{z} \) が成立することになる.

この三角形の3次元的な向きを変えると, \( y \) 方向の圧力も \( p \) に等しいことは明らかであり, \[p = p_{x} = p_{y} = p_{z}\] という, 圧力の等方性を示すことができた.

静止流体流での圧力の高さ依存性

続いて, 密度 \( \rho \) の一様な静止流体について, その各点で圧力がどのような値をとるのかを考えよう.

流体の表面を基準にし, 流体の表面から鉛直下向きを \( z \) 軸として, 深さ \( [z, z+\Delta z] \) に上面及び下面の面積が \( S \) の微小な円柱を考えてみよう.

深さ \( z \) での圧力の値を \( P(z) \) , 深さ \( z+\Delta z \) の圧力の値を \( P\qty( z+\Delta z ) \) と深さの関数としてあらわし, この円柱が静止していることから運動方程式は次のようになる. \[\begin{aligned} \dv[2]{z}{t} &= 0\\ &= P(z)S – P(z+\Delta z)S + \rho S \, \Delta z \, g \\ \to \ & \frac{P(z + \Delta z ) – P(z) }{\Delta z} = \rho g \quad . \end{aligned}\] ここで, \( \Delta z \to 0 \) の極限を考えると, \[\lim_{\Delta z \to 0} \frac{P(z + \Delta z) – P(z) }{\Delta z} = \dv{P}{z} = \rho g\] が得られるので, 位置 \( z \) の圧力 \( P \) は \[\begin{aligned} P &= \int^{z}_{0} \qty( \dv{P}{z} ) \dd{z^{\prime}} \\ &= \int^{z}_{0} \rho g \dd{z^{\prime}} \\ &= \rho g z + C \end{aligned}\] となる. \( C \) は積分定数であるが, 流体の表面( \( z=0 \) )での圧力の値を \( P_{0} \) とすると \( P(z) \) は次式のように計算することができる^[5]圧力という物理量が, 2点間の圧力差だけが重要な意味を持つのであったならば, 積分定数 \( C \) をこの段階で決めておく必要はない. しかし, … Continue reading. \[\begin{aligned} P_{0} &= \rho g \cdot 0 + C \ \to C = P_{0} \\ \therefore \ P &= P_{0} + \rho g z \quad . \end{aligned}\] 以上より, 流体の表面から深さ \( h \) の点での圧力 \( P \) は, 流体表面での圧力を \( P_{0} \) として, \[P = P_{0} + \rho h g\] とあらわすことができる. この流体が水ならば \( \rho \) は水の密度であり, 海水面での圧力 \( P_{0} \) のことを大気圧, \( \rho h g \) を水圧, という.

大気の場合の圧力の位置依存性

流体が液体の場合の圧力は先に計算したものでいいのであるが, 大気の場合には高さ毎の密度の違いが顕著であること, 気体の状態方程式を利用した立式が必要であることなどから多少複雑となる.

詳しい計算は断熱変化のページで気温逓減率として紹介しているので, 興味がある人は各自で確認してもらいたい.