質点系の運動の分離

系の全角運動量 \( \boldsymbol{P} \) は系の重心の運動量 \( \boldsymbol{P}_{G} \) と各質点の重心に対する運動量の総和 \( \boldsymbol{P}^{\prime} \) とに分離でき, \( \boldsymbol{P}^{\prime} \) はゼロである. \[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{P}_{G} + \boldsymbol{P}^{\prime} = \boldsymbol{P}_{G} \notag \]

系の全運動エネルギー \( K \) は系の重心の運動エネルギー \( K_{G} \) と各質点の重心に対する相対運動の運動エネルギーの総和 \( K^{\prime} \) とに分離できる. \[ K = K_{G} + K^{\prime} \notag \]

系の全角運動量 \( \boldsymbol{L} \) は系の重心の角運動量 \( \boldsymbol{L}_{G} \) と各質点の重心に対する角運動量の総和 \( \boldsymbol{L}^{\prime} \) とに分離できる. \[ \boldsymbol{L} = \boldsymbol{L}_{G} + \boldsymbol{L}^{\prime} \notag \]

系のモーメント \( \boldsymbol{N} \) は系の重心に全外力が働いたとみなした原点まわりのモーメント \( \boldsymbol{L}_{G} \) と各質点の外力による重心まわりのモーメントの総和 \( \boldsymbol{N}^{\prime} \) とに分離できる. \[ \boldsymbol{N} = \boldsymbol{N}_{G} + \boldsymbol{N}^{\prime} \notag \]

質点系の角運動量 \( \boldsymbol{L} \) とモーメント \( \boldsymbol{N} \) の間に成立する回転運動方程式は, 重心の原点まわりの回転運動方程式と重心まわりの回転運動方程式とに分離できる. \[ \frac{d\boldsymbol{L}}{dt} = \boldsymbol{N} \ \iff \ \left\{ \begin{aligned} \frac{d\boldsymbol{L}_{G}}{dt} &= \boldsymbol{N}_{G} = \boldsymbol{r}_{G} \times \boldsymbol{F}_{\mathrm{ext}} \notag \\ \frac{d\boldsymbol{L}^{\prime}}{dt} &= \boldsymbol{N}^{\prime} = \sum_{i=1}^{N} \boldsymbol{r}_{i}^{\prime} \times \boldsymbol{F}_{i}\notag \end{aligned} \right. \notag \]

質点系の運動方程式では, 系の全質量が重心に集中した仮想的な質点の運動量と系の全運動量とが一致することを示し, 系に働く全外力 \( \boldsymbol{F}_{\mathrm{ext}} \) が重心に集中したとみなした運動方程式 \[M \frac{d^{2}\boldsymbol{r}_{G}}{dt^{2}} = \boldsymbol{F}_{\mathrm{ext}} \notag\] で重心の時間発展が理解できることを学んだ. ほかにも数多の議論を通して, 重心が質点系を特徴づける特別な点であることは明白であろう. 実際, 2体問題の項では2物体の運動エネルギーは重心運動エネルギー相対運動エネルギーとに分離可能なことを示した.

そこで, 系の持つ重要な物理量(運動量運動エネルギー, 角運動量など)が重心の運動重心に対する相対的な運動とに分離可能であることを示す.

以下, 特に断りのない限り, 系は \( N \) 個の質点によって成り立つ \( N \) 質点系であり, \( i \) 番目の質点の質量を \( m_{i} \) , その位置ベクトルを \( \boldsymbol{r}_{i} \) , 速度ベクトルを \( \displaystyle{\boldsymbol{v}_{i}=\frac{d\boldsymbol{r}_{i}}{dt} } \) , 運動量を \( \boldsymbol{p}_{i}= m_{i}\boldsymbol{v}_{i} \) とする. ( \( i = 1 ,2, \cdots , N \) )


重心
重心に対する運動の表記法
重心に対する位置および速度の性質
重心運動と相対運動との分離 : 運動量
重心運動と相対運動との分離 : 運動エネルギー
重心運動と相対運動との分離 : 角運動量
重心運動と相対運動との分離 : 力のモーメント
回転運動方程式の分離


重心

系の全質量 \( M \) および系の重心 \( \boldsymbol{r}_{G} \) は次のように書くことができる. \[M = \sum_{i=1}^{N} m_{i} , \quad M \boldsymbol{r}_{G} = \sum_{i=1}^{N}m_{i}\boldsymbol{r}_{i} \quad . \label{nbprestocmmrg}\]

重心に対する運動の表記法

重心に対する各物理量には記号 \( \prime \) をつけて区別することとする.

たとえば, (ある原点 \( O \) に対する)位置ベクトル \( \boldsymbol{r}_{i} \) を重心 \( \boldsymbol{r}_{G} \) からみた位置ベクトルを \( \boldsymbol{r}_{i}^{\prime} \) とする. \[\boldsymbol{r}_{i} = \boldsymbol{r}_{G} + \boldsymbol{r}_{i}^{\prime} \quad . \label{rrgrcm}\] 他にも, (ある原点 \( O \) に対する)速度 \( \boldsymbol{v}_{i} \) を重心からみたものを \( \boldsymbol{v}_{i}^{\prime} \) といった具合にあらわす. \[\boldsymbol{v}_{i} = \boldsymbol{v}_{G} + \boldsymbol{v}_{i}^{\prime} \quad . \label{vvgvcm}\]

重心に対する位置および速度の性質

続く議論を円滑に進めるため, 重心に対する位置と速度に対して成立する2つの公式を証明しておく.

式\eqref{rrgrcm}の両辺に \( m_{i} \) を乗じ, \( i=1 \) から \( N \) までの総和をとったものに対し, 式\eqref{nbprestocmmrg}を適宜用いると \[\begin{aligned} & \sum_{i=1}^{N} m_{i} \boldsymbol{r}_{i} = \sum_{i=1}^{N} m_{i} \boldsymbol{r}_{G} + \sum_{i=1}^{N} m_{i} \boldsymbol{r}_{i}^{\prime} \notag \\ \to \ & M \boldsymbol{r}_{G} = M \boldsymbol{r}_{G} + \sum_{i=1}^{N} m_{i} \boldsymbol{r}_{i}^{\prime} \notag \end{aligned}\] となる. したがって, 重心からみた位置 \( \boldsymbol{r}_{i}^{\prime} \) について次式が成立することが示された. \[\sum_{i=1}^{N} m_{i} \boldsymbol{r}_{i}^{\prime} = \boldsymbol{0} \quad . \label{rprimesumzero}\] また, 式\eqref{rprimesumzero}の両辺を微分すると重心からみた速度 \( \boldsymbol{v}_{i}^{\prime} \) について次式が成立することが示された. \[\sum_{i=1}^{N} m_{i} \boldsymbol{v}_{i}^{\prime} = \boldsymbol{0} \quad . \label{vprimesumzero}\] 重心に対する位置・速度について成立する式\eqref{rprimesumzero}および式\eqref{vprimesumzero}は以下の議論で頻繁に用いることになる.

重心運動と相対運動との分離 : 運動量

系の全運動量 \[\boldsymbol{P} = \sum_{i=1}^{N} \boldsymbol{p}_{i} = \sum_{i=1}^{N} m_{i} \boldsymbol{v}_{i} \notag\] が系の重心の運動量 \( \boldsymbol{P}_{G} \) と重心に対する系の運動量 \( \boldsymbol{P}^{\prime} \) とに分離可能なことを示そう. ここで, \( \boldsymbol{P}_{G} \) と \( \boldsymbol{P}^{\prime} \) はそれぞれ次式で定義される. \[\begin{aligned} \boldsymbol{P}_{G} &\mathrel{\mathop:}= M \boldsymbol{v}_{G} \quad . \notag \\ \boldsymbol{P}^{\prime} &\mathrel{\mathop:}= \sum_{i=1}^{N} \boldsymbol{p}^{\prime} = \sum_{i=1}^{N} m_{i} \boldsymbol{v}_{i}^{\prime} \quad . \notag \end{aligned}\] 質点の運動量 \( \boldsymbol{p}_{i} \) に式\eqref{vvgvcm}を適用し, 重心速度 \( \boldsymbol{v}_{G} \) と各質点の重心に対する速度 \( \boldsymbol{v}_{i}^{\prime} \) とを用いて表現すると, \[\begin{aligned} \boldsymbol{P} &= \sum_{i=1}^{N} m_{i} \left( \boldsymbol{v}_{G} + \boldsymbol{v}_{i}^{\prime} \right) \notag \\ &= \left( \sum_{i=1}^{N} m_{i} \right) \boldsymbol{v}_{G} + \sum_{i=1}^{N} m_{i} \boldsymbol{v}_{i}^{\prime} \notag \\ &= M \boldsymbol{v}_{G} + \sum_{i=1}^{N} \boldsymbol{p}_{i}^{\prime} \notag \\ \therefore \ \boldsymbol{P} &= \boldsymbol{P}_{G} + \boldsymbol{P}^{\prime} \quad . \notag \end{aligned}\] となる. したがって, 系の全運動量 \( \boldsymbol{P} \) は系の重心の運動量重心に対する系の運動量とに分離可能であることが示された. さらに, 重心に対する系の運動量 \( \boldsymbol{P}^{\prime} \) は式\eqref{vprimesumzero}より, \[\boldsymbol{P}^{\prime} = \sum_{i=1}^{N} m_{i} \boldsymbol{v}_{i}^{\prime} = \boldsymbol{0} \notag\] が成立するので, 最終的に次式を得る. \[\boldsymbol{P} = \boldsymbol{P}_{G} \quad . \notag\] この結論は既に質点系の運動方程式で導いたものと一致している.

重心運動と相対運動との分離 : 運動エネルギー

2体問題の項では2物体の運動エネルギーの総和が重心運動エネルギー相対運動エネルギーとに分離可能なことを示した. この議論の類似が \( N \) 質点系についても成立し, 系の全運動エネルギーが重心の運動エネルギー \( K_{G} \) と重心に対する相対的な運動の運動エネルギー \( K^{\prime} \) とに分離可能なことを示そう. ここで, \( K_{G} \) と \( K^{\prime} \) はそれぞれ次式で定義される. \[\begin{aligned} K_{G} & \mathrel{\mathop:}= \frac{1}{2} M \boldsymbol{v}_{G}^{2} \quad . \notag \\ K^{\prime} & \mathrel{\mathop:}= \sum_{i=1}^{N} K_{i}^{\prime} \mathrel{\mathop:}= \sum_{i=1}^{N}\frac{1}{2}m_{i}{\boldsymbol{v}_{i}^{\prime}}^{2} \quad . \notag \end{aligned}\] 質点系の全運動エネルギー \( K \) は各粒子の運動エネルギー \( K_{i}= \frac{1}{2}m_{i}\boldsymbol{v}_{i}^{2} \) の総和である. この \( K_{i} \) に式\eqref{vvgvcm}を適用し, 重心速度 \( \boldsymbol{v}_{G} \) と各質点の重心に対する速度 \( \boldsymbol{v}_{i}^{\prime} \) とを用いて表現すると, \[\begin{aligned} K &= \sum_{i=1}^{N} K_{i} = \sum_{i=1}^{N} \frac{1}{2} m_{i}\boldsymbol{v}_{i}^{2} \notag \\ &= \sum_{i=1}^{N} \frac{1}{2} m_{i} \left( \boldsymbol{v}_{G} + \boldsymbol{v}^{\prime}_{i} \right)^{2} \notag \\ &= \sum_{i=1}^{N} \frac{1}{2} m_{i} \boldsymbol{v}_{G}^{2} + \sum_{i=1}^{N} \frac{1}{2} m_{i} {\boldsymbol{v}^{\prime}_{i}}^{2} + \sum_{i=1}^{N} m_{i} \boldsymbol{v}_{G} \cdot \boldsymbol{v}^{\prime}_{i} \notag \\ &= \frac{1}{2} M \boldsymbol{v}_{G}^{2} + \sum_{i=1}^{N} \frac{1}{2} m_{i} {\boldsymbol{v}^{\prime}_{i}}^{2} + \boldsymbol{v}_{G} \cdot \left( \sum_{i=1}^{N} m_{i} \boldsymbol{v}^{\prime}_{i} \right) \notag \end{aligned}\] となる. 最右辺の第3項は式\eqref{vprimesumzero}よりゼロであるので, 最終的に次式を得る. \[K = K_{G} + K^{\prime} \quad . \notag\] 以上より, 系の全運動エネルギーは重心の運動エネルギー重心に対する相対運動の運動エネルギーとに分離可能であることが示された.

質点の数 \( N \) が \( 2 \) である場合の2質点系の議論は2体問題で具体的に掘り下げているのでそちらも参照して欲しい.

重心運動と相対運動との分離 : 角運動量

系の原点 \( O \) まわりの全角運動量が, 重心の原点 \( O \) まわりの角運動量 \( \boldsymbol{L}_{G} \) と各質点の重心まわりの角運動量 \( \boldsymbol{L}^{\prime} \) とに分離可能なことを示そう. ここで, \( L_{G} \) と \( \boldsymbol{L}^{\prime} \) はそれぞれ次式で定義される. \[\begin{aligned} \boldsymbol{L}_{G} & \mathrel{\mathop:}= \boldsymbol{r}_{G} \times \boldsymbol{P}_{G} = M \boldsymbol{r}_{G} \times \boldsymbol{v}_{G} \notag \\ \boldsymbol{L}^{\prime} & \mathrel{\mathop:}= \sum_{i=1}^{N} \boldsymbol{L}_{i}^{\prime} \mathrel{\mathop:}= \sum_{i=1}^{N} \boldsymbol{r}_{i}^{\prime} \times \boldsymbol{p}_{i}^{\prime} = \sum_{i=1}^{N} m_{i} \boldsymbol{r}_{i}^{\prime} \times \boldsymbol{v}_{i}^{\prime} \notag \end{aligned}\] 質点系の原点 \( O \) まわりの全角運動量 \( \boldsymbol{L} \) は各質点の原点 \( O \) まわりの角運動量 \( \boldsymbol{L}_{i}= \boldsymbol{r}_{i} \times m_{i} \boldsymbol{v}_{i} \) の総和である. \( \boldsymbol{L}_{i} \) に式\eqref{rrgrcm}および式\eqref{vvgvcm}を適用し, 重心に関する量と重心に対する相対的な量とをわけて表現すると, \[\begin{aligned} \boldsymbol{L} &= \sum_{i=1}^{N} m_{i} \boldsymbol{r}_{i} \times \boldsymbol{v}_{i} \notag \\ &= \sum_{i=1}^{N} m_{i} \left( \boldsymbol{r}_{G} + \boldsymbol{r}_{i}^{\prime} \right) \times \left( \boldsymbol{v}_{G} + \boldsymbol{v}_{i}^{\prime} \right) \notag \\ &= \sum_{i=1}^{N} m_{i} \left\{ \boldsymbol{r}_{G} \times \boldsymbol{v}_{G} + \boldsymbol{r}_{G} \times \boldsymbol{v}_{i}^{\prime} + \boldsymbol{r}_{i}^{\prime} \times \boldsymbol{v}_{G} + \boldsymbol{r}_{i}^{\prime} \times \boldsymbol{v}_{i}^{\prime} \right\} \notag \\ &= \underbrace{ \left( \sum_{i=1}^{N} m_{i} \right) }_{=M} \boldsymbol{r}_{G} \times \boldsymbol{v}_{G} + \boldsymbol{r}_{G} \times \underbrace{\left( \sum_{i=1}^{N} m_{i} \boldsymbol{v}_{i}^{\prime} \right)}_{=0 \ ( \ \because \ \text{式\ref{vprimesumzero}})} + \underbrace{ \left( \sum_{i=1}^{N} m_{i} \boldsymbol{r}_{i}^{\prime} \right) }_{=0 \ ( \ \because \ \text{式\ref{rprimesumzero}})}\times \boldsymbol{v}_{G} + \sum_{i=1}^{N} m_{i} \boldsymbol{r}_{i}^{\prime} \times \boldsymbol{v}_{i}^{\prime} \notag \\ &= M \boldsymbol{r}_{G} \times \boldsymbol{v}_{G} + \sum_{i=1}^{N} m_{i} \boldsymbol{r}_{i}^{\prime} \times \boldsymbol{v}_{i}^{\prime} \notag \end{aligned}\] となる. したがって, 次式が成立する. \[\therefore \ \boldsymbol{L} = \boldsymbol{L}_{G} + \boldsymbol{L}^{\prime} \quad . \notag\] 以上より, 系の原点 \( O \) まわりの全角運動量は重心の原点 \( O \) まわりの角運動量重心まわりの角運動量とに分離可能であることが示された.

重心運動と相対運動との分離 : 力のモーメント

系の原点 \( O \) まわりの力のモーメントが, 重心の原点 \( O \) まわりの外力によるモーメントと各質点の重心まわりの外力によるモーメントとに分離可能なことを示そう.

\( i \) 番目の質点に働く外力を \( \boldsymbol{F}_{i} \) , \( j \) 番目の質点が \( i \) 番目の質点に及ぼす内力を \( \boldsymbol{f}_{ij} \) とすると, \( i \) 番目の質点が受ける合力は \( \displaystyle{ \left( \boldsymbol{F}_{i}+\sum_{j\neq i}^{N} \boldsymbol{f}_{ij} \right)} \) と表すことができる. このとき, 系の原点 \( O \) まわりの力のモーメント \( \boldsymbol{N} \) は \[\boldsymbol{N} = \sum_{i=1}^{N} \left\{ \boldsymbol{r}_{i} \times \left( \boldsymbol{F}_{i} + \sum_{j\neq i}^{N}\boldsymbol{f}_{ij} \right) \right\} \notag\] で与えられる.

上式に対して式\eqref{rrgrcm}を適用し, 重心 \( \boldsymbol{r}_{G} \) と各質点の重心に対する位置 \( \boldsymbol{r}^{\prime} \) とを用いて表現すると, \[\begin{aligned} \boldsymbol{N} &= \sum_{i=1}^{N} \left\{ \boldsymbol{r}_{i} \times \left( \boldsymbol{F}_{i} + \sum_{j\neq i}^{N}\boldsymbol{f}_{ij} \right) \right\} \notag \\ &= \sum_{i=1}^{N} \left\{ \left( \boldsymbol{r}_{G} + \boldsymbol{r}_{i}^{\prime} \right) \times \left( \boldsymbol{F}_{i} + \sum_{j\neq i}^{N}\boldsymbol{f}_{ij} \right) \right\} \notag \\ &= \sum_{i=1}^{N} \boldsymbol{r}_{G} \times \boldsymbol{F}_{i} + \boldsymbol{r}_{G} \times \left( \sum_{i=1}^{N} \sum_{j\neq i}^{N} \boldsymbol{f}_{ij} \right) + \sum_{i=1}^{N} \boldsymbol{r}_{i}^{\prime} \times \boldsymbol{F}_{i} + \sum_{i=1}^{N} \sum_{j\neq i}^{N} \left( \boldsymbol{r}_{i}^{\prime} \times \boldsymbol{f}_{ij} \right) \notag \end{aligned}\] となる. ここで, 系の内力の総和はゼロであること \[\sum_{i=1}^{N} \sum_{j\neq i}^{N} \boldsymbol{f}_{ij} = \boldsymbol{0} \quad , \notag\] 系の内力によるモーメントの総和はゼロであること \[\sum_{i=1}^{N} \sum_{j\neq i}^{N} \left( \boldsymbol{r}_{i}^{\prime} \times \boldsymbol{f}_{ij} \right) = \boldsymbol{0} \notag\] を用いると, 第2項と第3項はそれぞれゼロとなる[1]. 最終的に次式が得られる. \[\boldsymbol{N} =\boldsymbol{r}_{G} \times \left( \sum_{i=1}^{N} \boldsymbol{F}_{i} \right) + \sum_{i=1}^{N} \boldsymbol{r}_{i}^{\prime} \times \sum_{j=1}^{N}\boldsymbol{f}_{ij} \label{nngnrcmsub}\] ここで, 系に働く外力の合力 \[\boldsymbol{F}_{\mathrm{ext}} = \sum_{i=1}^{N} \boldsymbol{F}_{i} \quad , \notag\] を用いて, 系に働く全外力による重心の原点 \( O \) まわりの力のモーメントを \[\boldsymbol{N}_{G} \mathrel{\mathop:}= \boldsymbol{r}_{G} \times \boldsymbol{F}_{\mathrm{ext}} \quad , \notag\] 系の重心まわりの外力によるモーメントを \[\boldsymbol{N}^{\prime} \mathrel{\mathop:} = \sum_{i=1}^{N} \boldsymbol{r}_{i}^{\prime} \times \boldsymbol{F}_{i} \notag\] と定義すると, 系の原点 \( O \) まわりの力のモーメント(式\eqref{nngnrcmsub})は \[\boldsymbol{N} = \boldsymbol{N}_{G} + \boldsymbol{N}^{\prime} \quad . \notag\] のように書くことができ, 系の原点 \( O \) まわりの力のモーメントが, 重心の原点 \( O \) まわりの外力によるモーメントと各質点の重心まわりの外力によるモーメントとに分離可能なことが示された.

回転運動方程式の分離

質点系の角運動量 \( \boldsymbol{L} \) と力のモーメント \( \boldsymbol{N} \) との間に成立する回転運動方程式 \[\frac{d\boldsymbol{L}}{dt} = \boldsymbol{N} \notag\] について考えよう. ただし, この式で用いたモーメント \( N \) は系に含まれる各質点に働く外力によるモーメントの総和である.(質点系の回転運動方程式)

いま, 角運動量 \( \boldsymbol{L} \) と(外力による)力のモーメント \( \boldsymbol{N} \) はそれぞれ, 重心の原点まわりの量と重心まわりの量とに分離できること \[\begin{aligned} \boldsymbol{L} &= \boldsymbol{L}_{G} + \boldsymbol{L}^{\prime} = M \boldsymbol{r}_{G} \times \boldsymbol{v}_{G} + \sum_{i=1}^{N} m_{i} \boldsymbol{r}_{i}^{\prime} \times \boldsymbol{v}_{i}^{\prime} \notag \\ \boldsymbol{N} &= \boldsymbol{N}_{G} + \boldsymbol{N}^{\prime} = \boldsymbol{r}_{G} \times \boldsymbol{F}_{\mathrm{ext}} + \sum_{i=1}^{N} \boldsymbol{r}^{\prime} \times \boldsymbol{F} \notag \end{aligned}\] を学んだので, 系の回転を表す量について \[\frac{d\boldsymbol{L}_{G}}{dt} + \frac{d\boldsymbol{L}^{\prime}}{dt} = \boldsymbol{N}_{G} + \boldsymbol{N}^{\prime} \label{divlnsub}\] が成立することがわかっている.

ここで, \[\begin{aligned} \frac{d\boldsymbol{L}_{G}}{dt} &= \frac{d}{dt} \left( M \boldsymbol{r}_{G} \times \boldsymbol{v}_{G} \right) \notag \\ &= M \underbrace{ \frac{d\boldsymbol{r}_{G}}{dt} \times \boldsymbol{v}_{G} }_{=\boldsymbol{0}} + M \boldsymbol{r}_{G} \times \frac{d\boldsymbol{v}_{G}}{dt} \notag \\ &= M \boldsymbol{r}_{G} \times \frac{d\boldsymbol{v}_{G}}{dt} \notag \end{aligned}\] に対して質点系に対して成立する運動方程式 \[M \frac{d\boldsymbol{v}_{G}}{dt} = \boldsymbol{F}_{\mathrm{ext}} \notag\] を代入すると \[\frac{d\boldsymbol{L}_{G}}{dt} = \boldsymbol{r}_{G} \times \boldsymbol{F}_{\mathrm{ext}} = \boldsymbol{N}_{G} \label{lgeq}\] が得られる.

したがって, 式\eqref{divlnsub}と式\eqref{lgeq}とを見比べると \[\frac{d\boldsymbol{L}^{\prime}}{dt} = \boldsymbol{N}^{\prime} \label{lreq}\] が得られる.

上記の議論をまとめると, 質点系の角運動量 \( \boldsymbol{L} \) とモーメント \( \boldsymbol{N} \) の間に成立する回転運動方程式\eqref{divlnsub}は, 重心の原点まわりの回転運動方程式\eqref{lgeq}重心まわりの回転運動方程式\eqref{lreq}とに分離可能なことが示された.

最終更新日
質点系の回転運動方程式 剛体と運動の自由度



補足    (↵ 本文へ)
  1. 作用反作用の法則により, \( \boldsymbol{r}_{i}^{\prime} \times \boldsymbol{f}_{ij} \) が存在すれば必ず \( \boldsymbol{r}_{j}^{\prime} \times \boldsymbol{f}_{ji} = \boldsymbol{r}_{j} \times \left( – \boldsymbol{f}_{ij} \right) \) も存在することになる. このとき, \[\boldsymbol{r}_{i}^{\prime} \times \boldsymbol{f}_{ij} + \boldsymbol{r}_{j}^{\prime} \times \boldsymbol{f}_{ji} = \left( \boldsymbol{r}_{i}^{\prime} – \boldsymbol{r}_{j}^{\prime} \right) \times \boldsymbol{f}_{ij} \notag\] は, \( \boldsymbol{f}_{ij} \) は \( \boldsymbol{r}_{i}^{\prime}-\boldsymbol{r}_{j}^{\prime}=\boldsymbol{r}_{i}-\boldsymbol{r}_{j} \) と平行である(作用反作用の法則)ので, 上式は \( \boldsymbol{0} \) となる. もちろん, これらの総和も \( \boldsymbol{0} \) であるので, \[\sum_{i=1}^{N} \sum_{j\neq i}^{N} \left( \boldsymbol{r}_{i}^{\prime} \times \boldsymbol{f}_{ij} \right) = \boldsymbol{0} \notag\]

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