初期値定理と最終値定理

初期値定理 \[ \lim_{t \to 0+ }f(t) = \lim_{s\to \infty}sF(s) \quad . \notag \]

最終値定理 \[ \lim_{t \to \infty} f(t) = \lim_{s\to0+} s F(s) \quad . \notag \]

ラプラス変換の微分法則 \[ \mathcal{L}\left\{ \frac{df(t)}{dt} \right\} = s F(s) – f(0+) \label{devforIntFinal} \] を用いることで, 初期値定理最終値定理を導こう.

この初期値定理と最終値定理によって, 像関数から原関数の初期値ないしは最終値を手早くに知ることができるようになる.

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初期値定理
最終値定理


初期値定理

微分法則(式\eqref{devforIntFinal})に対して, \( s\to \infty \) という極限を考えると, \[ \begin{aligned} & \lim_{s\to\infty}\mathcal{L}\left\{ \frac{df(t)}{dt} \right\} = \lim_{s\to\infty} \left\{ s F(s) – f(0+) \right\} \notag \\ \to \ & \lim_{s\to\infty} \int_{0}^{\infty} e^{-st} \frac{df(t)}{dt} \,dt = \lim_{s\to\infty} \left\{ s F(s) – f(0+) \right\} \notag \\ \to \ & \int_{0}^{\infty} \lim_{s\to\infty} \left[ e^{-st} \frac{df(t)}{dt} \right] \,dt = \lim_{s\to\infty} \left\{ s F(s) – f(0+) \right\} \notag \\ \to \ & 0 = \lim_{s\to\infty} \left\{ s F(s) – f(0+) \right\} \notag \end{aligned} \] したがって, \[ \begin{aligned} \lim_{s\to \infty}sF(s) &= \lim_{s\to \infty} \left[ \left\{ sF(s) – f(0+) \right\} + f(0+) \right] \notag \\ &= \lim_{s\to\infty} f(0+) = \lim_{t \to 0+ }f(t) \notag \end{aligned} \] が成立し, 次式で表されるラプラス変換の初期値定理が導かれた. \[ \lim_{t \to 0+ }f(t) = \lim_{s\to \infty}sF(s) \quad . \notag \]

最終値定理

微分法則(式\eqref{devforIntFinal})に対して, \( s\to 0+ \) という極限を考えると, \[ \begin{aligned} & \lim_{s\to0+}\mathcal{L}\left\{ \frac{df(t)}{dt} \right\} = \lim_{s\to0+} \left\{ s F(s) – f(0+) \right\} \notag \\ \to \ & \lim_{s\to0+} \int_{0}^{\infty} e^{-st} \frac{df(t)}{dt} \,dt = \lim_{s\to0+} \left\{ s F(s) – f(0+) \right\} \notag \\ \to \ & \int_{0}^{\infty} \lim_{s\to0+} \left[ e^{-st} \frac{df(t)}{dt} \right] \,dt = \lim_{s\to0+} \left\{ s F(s) – f(0+) \right\} \notag \\ \to \ & \int_{0}^{\infty} \frac{df(t)}{dt}\,dt = \lim_{s\to0+} \left\{ s F(s) – f(0+) \right\} \notag \\ \to \ & \lim_{t \to \infty} \left\{ f(t) – f(0+) \right\} = \lim_{s\to0+} \left\{ s F(s) – f(0+) \right\} \notag \end{aligned} \] したがって, 次式で表されるラプラス変換の最終値定理が導かれた. \[ \lim_{t \to \infty} f(t) = \lim_{s\to0+} s F(s) \quad . \notag \]


ただし, 最終値定理の適用には注意すべき点がいくつかある.

まず, 次のようなラプラス変換が問題となる. \[ \mathcal{L}\left\{ \sin{\left( \omega t \right)}\right\} = \frac{\omega}{s^{2}+\omega^{2}} \quad . \notag \] この関数 \( f(t)=\sin{\left(\omega t \right)} \) は \( \displaystyle{ \lim_{t \to \infty} f(t) } \) が振動し, 極限値が存在しないため, 最終値定理を適用することはできない.

次に, \( s \to 0+ \) という極限をとっていることである. ラプラス変換の存在定理などでも議論してきたように, ラプラス変換がどのような \( s \) の領域で存在しているのかはラプラス変換の対象となる関数に依存している. したがって, 収束座標 \( c \) が \( c\le0 \) を満たさない場合には \( s\to0+ \) という極限が意味を持たなくなり, 最終値定理を適用することはできない.

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