オームの法則

電流の速さ

電流の項目では導線中の自由電子が動くことで電流が生じることを議論した. 電流とは, 導線中の自由電子に電気力が働くことで電子の集団が移動したものであった. この立場を延長することでオームの法則を導出する.

電気力に加えて抗力が働く場合

電流を電子の流れとして説明するためのモデルについても様々語りたいことがあるのだが, 古典物理学の範囲内で妥当なモデルを紹介しておこう.

そのモデルとは, “自由電子が電位差のある物質内を運動しようとしている時に, 原子核との衝突^[2]この場合の衝突とは力学的な衝突を意味するものではなく, 互いの電気力による反発が主であり, 散乱という.によってその運動が阻害されるというモデル”であり, 電子の速度に比例する抵抗力を運動方程式につけ加える. 抵抗に関わる比例係数を \( k \) とすれば, 電子の平均運動を表す運動方程式は次式のように書くことができる. \[ \begin{aligned} & m_{e} \dv{ \bar{\vb*{v}} }{t} = – e \vb*{E} – k \bar{\vb*{v}} \\ \to \ & \dv{ \bar{\vb*{v}} }{t} = – \frac{k}{m_e} \qty( \bar{\vb*{v}} + \frac{e \vb*{E}}{k} ) \quad . \end{aligned} \] これは物理でよく登場する形の微分方程式の形である. 実際, 空気抵抗を受けながら落下する物体の問題と全く同じ形式となっている.

この微分方程式を解く計算過程は単に数学の問題であるので脚注に回すことにするが, 計算結果は \[ \bar{\vb*{v}} = \frac{-e \vb*{E}}{k} \qty( 1 – e^{ – \frac{k}{m_e} t} ) \quad . \] となる^[3]この微分方程式は, 適切な式変形を行った後で時間積分を行うことで \( \bar{\vb*{v}} \) について整理することができる. \[ \begin{aligned} & \dv{ … Continue reading. この速度 \( v \) は下図に示すような振る舞いをし, 十分な時間が十分経過する( \( t \to \infty \) )と \( \displaystyle{\dv{ \bar{\vb*{v}} }{t } = 0} \) を満たすことになる. この時の速度を \( \bar{\vb*{v}}_{\infty} \) と書けば, \[ \bar{\vb*{v}}_{\infty} = \frac{-e \vb*{E}}{k} \] となるので, 速度の時間変化は \[ \bar{\vb*{v}} = \bar{\vb*{v}}_{\infty} \qty( 1 – e^{ – \frac{k}{m_e} t} ) \] と表すことができる^[4] … Continue reading. ただし, 実際には \( v \to v_{\infty} \) になるために, 通常の状況下では1秒もかかることはなく, 高校物理の範囲内では電子の平均速度はすぐさま \( v_{\infty} \) になるとしてよい.

オームの法則の導出

導線の内部を流れる電流についてわかっていることをまとめてみよう.

断面積が \( S \) , 電子の数密度が \( n \) の導線内部の電子の平均の速さを \( \bar{v} \) とすると, 電流の大きさ \( I \) は素電荷 \( e \) を用いて, \[ I = \frac{\Delta Q }{\Delta t } = enS \bar{v} \] と表すことができた.

また, 大きさ \( E \) の電場に置かれた電子の集団が最終的に落ち着く速さ \( \bar{v}_{\infty} \) は定数 \( k \) を用いて, \[ \bar{v}_{\infty} = \frac{e E}{k} \] であった.

さらに, 電位差 \( V \) と電場 \( E \) は互いに微分積分の関係にあることから両者の間で成立する関係式を求めておこう.

導線中の低電位側の位置を \( x_{B} \) (電位 \( \phi_{B} \) ), 高電位側の位置を \( x_{A} \) (電位 \( \phi_{A} \) )とする. 位置 \( x_{B} \) に対する位置 \( x_{A} \) の電位 \( V_{AB} \) は電場の線積分で求めることができる. 線積分を行う時に, 電場 \( \vb*{E} \) の向きと \( x_{B} \) から \( x_{A} \) へ向かう微小変位 \(\dd{\vb*{l}}\) の向きが反対であることに注意すると, \[ \begin{aligned} V_{AB} &= \phi_{A} – \phi_{B} \\ &= \int_{x_{A}}^{x_{B}} \underbrace{\vb*{E} \cdot\dd{\vb*{l}}}_{= – E \dd{l} } \\ &= \int_{x_{B}}^{x_{A}} E \dd{l}\\ &= E \qty( x_{A} – x_{B} ) \end{aligned} \] と求めることができる. 抵抗を担う導線の長さを \( l = x_{A} – x_{B} \) とすれば, \[ V = E l \] という関係式が成立する.

以上の結果を用いて電流と電位の関係を求めると, \[ \begin{aligned} I &= e n S \underbrace{\bar{v} }_{\to \bar{v}_{\infty} = \frac{e E}{k} } \\ &= \frac{e^2 n }{k} S \underbrace{E }_{= \frac{V}{l}} \\ &= \frac{e^2 n }{k} \frac{S}{l} V \end{aligned} \] \[ \therefore \ V = \frac{k }{e^2 n } \frac{l}{S} I \] となり, 電流は電位に比例することがわかる. 導線の物質ごとにきまる定数 \( \displaystyle{\frac{k}{e^2 n} } \) を抵抗率 \[ \rho = \frac{k}{e^2 n} \] と定義して, 導線の形状を含めた値を抵抗 \[ R = \rho \frac{l}{S} \] と定義することで, 最終的にオームの法則 \[ \begin{aligned} & V = \frac{k }{e^2 n } \frac{l}{S} I = \rho \frac{l}{S} I = R I \\ \therefore \ & V = RI \end{aligned} \] を導くことができる.

抵抗の温度依存性

オームの法則に従うような抵抗の内部で起きていることを説明するモデルとして, 自由電子の運動が抵抗を構成している陽イオンによって妨げられることを紹介した. このモデルはそれなりに正しいモデルではあるものの, 電子などのミクロな現象を説明するには限界がある. ミクロな世界の物理学である量子力学は大学以降で学ぶことになるが, 少し先取りして面白い結論を一つ紹介しよう.

量子力学によると”原子(陽イオン)の配列が完全に規則的な場合, 自由電子は抵抗を受けない”ということが知られている. では, 自由電子を妨げる要因は何かといえば, ”規則的な原子配列からのズレ(=不規則性)”が導体内部の電子の運動を妨げているのである.

原子配列の不規則性は様々な原因から生じるが, その一つが原子の熱運動である. 気体分子運動論で紹介したように, 物体の温度が高いことはその構成原子の運動が激しいことを表している. これは固体についても成立しており, 温度が高い物体は規則的な原子配列位置の周りで振動等の熱運動を行っており, 原子配列の不規則性を生むことになる.

温度が上昇することで電気抵抗の抵抗値もおおきくなることから, 最も単純には抵抗と温度が比例することが考えられる. そこで, 比例係数を \( \kappa \) とすれば, \[ R = \kappa T \] とおくことができる. ここで \( T \) は絶対温度の値を表す. 絶対温度 \( T \ \mathrm{K} \) とセルシウス温度 \( t \ \mathrm{C^{\circ}} \) の関係は \[ T = 273.15 + t \] であるので, セルシウス温度で表すと \[ R = \kappa \qty( 273.15 + t ) \] となる.

\( t = 0 \ \mathrm{C^{\circ}} \) の時の抵抗値を \( R_{0} \) とすると, \[ R_{0} = 273.15 \kappa \ \Leftrightarrow \ \kappa = \frac{R_{0} }{273.15} \] であり, \( R \) を \( R_{0} \) で表し, 抵抗の温度係数 \( \alpha \) を \[ \begin{aligned} \alpha &= \frac{1}{273.15} \\ & \approx 3.66 \times 10^{-3} \ {\mathrm{C^{\circ}} }^{-1} \end{aligned} \] とすると, 抵抗は最終的に次式で表すことができる. \[ \begin{aligned} R &= R_{0} \qty( 1 + \frac{1}{273.15} t ) \\ \to \ R &= R_{0} \qty( 1 + \alpha t ) \end{aligned} \] ただし, 抵抗の温度係数 \( \alpha \) は厳密に \( \displaystyle{\frac{1}{273.15}} \) というわけではない. 原子配列の不規則性は熱運動だけでなく, 原子が欠けているなどの要因からも現れるので, 実際にどうなっているかは実験によってのみ知ることができる.

以上の議論より, 抵抗の値 \( R \ \mathrm{\Omega} \) が温度 \( t \ \mathrm{C^{\circ}} \) (あるいは \( T \ \mathrm{K} \) )の関数であり, \( R = R(t) \) であるので, \[ V = R(t) I \] と表すことができる. 抵抗が一定の値を持たず, 電流 \( I \) を縦軸, 電圧 \( V \) を横軸にして描いた \( I-V \) 図が直線になっていないという意味で, 非線形抵抗などと呼ばれる.

特性曲線

非線形抵抗は様々な例が知られており, 抵抗値が電流や電圧の値によって変化する場合も含まれる. 抵抗が電流や電圧の関数である場合には, 電圧が電流に比例せず, \[ V \propto I \] を満たさないことになる. これは, 電圧が電流の大きさに比例するというオームの法則を満たさない抵抗なので, 非オーム抵抗などと呼ばれる^[5]この場合の”十分な時間”を表す量として, 緩和時間 \( \tau \) (タウ)というものを考える. 電子の平均の速さ \[ \begin{aligned} v = \frac{eE}{k} \qty( 1 – … Continue reading.

非線形抵抗の詳細については高校物理の電磁気では扱われない. そのかわりに, 非線形抵抗に流れる電流 \( I \) とかけられた電圧 \( V \) を \( I-V \) 図に描いた( \( I-V \) )特性曲線が問題に与えられることになる(下図参照).

高校物理では, 非線形回路に流れる電流 \( I \) と電圧 \( V \) の2つが未知数として, 特性曲線が既に得られたものとしてグラフが与えられる. 特性曲線は電流と電圧の対応関係を与える図であるので未知数を消去するための式が1つ与えられたことに等しい. 未知数2つを消去するために, 電流と電圧についての関係式が残り1つ必要となる. それはキルヒホッフの法則と呼ばれ, 回路について成立する法則で求めることができ, 別にページを設けて紹介することにする.

特性曲線と回路について成立する関係式 \[ a I + b V = c \qq{ \( a, b, c \) は定数} \] がわかれば, 回路の式を電流について整理して \[ I = – \frac{b}{a}V + \frac{c}{a} \] として, 特性曲線に一緒に書き込めばその交点が非線形抵抗の実際の電流と電圧を知ることができる.