位置・速度・加速度と微分

ベクトルの表記法

ある量 \( a \) がベクトル量であることを明示するときには太字の文字 \( \vb*{a} \) を用いることにする. すなわち, 高校数学で習うベクトルの表記法 \( \vec{a} \) と同じ意味で \( \vb*{a} \) と書く.

この表記法は物理分野で一般的に用いられており, 世の理工学書などではこの表記法が多く見受けられるので今のうちから慣れておくとよい.

このページで扱う太字アルファベットの書き方の例を下に示しておく. 太字のアルファベットを実際に書くときにはアルファベットの一部を二重線にすることで表現することがもっぱらである.
ベクトルの表記方法

1次元運動の変位

まずは簡単のため, 点 \( P \) の位置 \( \vb*{r}(t) \) の \( x \) 成分 \( x(t) \) に注目して( \( x \) 方向の)速度というものを定義しよう.

ある時刻 \( t = t_1 \) に位置 \( x(t_1) \) にいた点 \( P \) が, \( t=t_{2}\ (>t_{1}) \) に位置 \( x(t_{2}) \) に移動したとする. このとき, 時刻 \( t_{1} \) から \( t_{2} \) の間の位置の変化量 \[\Delta x \coloneqq x(t_{2}) – x(t_{1}) \label{x2tox1}\] を時刻 \( t_{1} \) から \( t_{2} \) の間の位置の変位という. ここで式\eqref{x2tox1}に用いた記号 \( \Delta \) (デルタ)は差分とか幅を表すときに用いられるギリシャ文字であり, \( \Delta x \) とかくことで \( x \) という量のある差分を意味することになる. また \( \Delta x \) は \( \Delta \) と \( x \) の積を意味しておらず, \( \Delta \) と \( x \) を一セットにかくことで変位を意味するものである.

1次元運動の平均の速度

時刻 \( t_{1} \) に位置 \( x(t_{1}) \) , 時刻 \( t_{2} \) に位置 \( x(t_{2}) \) にいた物体 \( P \) の平均の速度 \( \bar{v} \) とは, この間の変位を所要時間で割った量 \[\bar{v} \coloneqq \frac{x(t_{2}) – x(t_{1})}{t_{2} – t_{1}} \label{ave_v}\] で定義される.

この平均の速度は点 \( P \) の移動方向の向きまで加味された量であることに注意してほしい. たとえば, \( x(t_{2}) < x(t_{1}) \) の場合, 平均の速度の符号は負となり, \( x \) 軸方向とは反対方向へ運動したことをあらわしているのである.

1次元運動の速度

平均の速度というのは, 二つの時刻と位置を指定することで定まる量であった. しかしながら, その二点以外の情報は捨て去ってしまっているのである.

実際, 下図に示すように, 時刻 \( t_{1} \) において \( x(t_{1}) \) にいること, 時刻 \( t_{2} \) において \( x(t_{2}) \) にいることさえ同じならばどのような過程を経たとしてもこのあいだの平均の速度は同じことになる.

これでは, 物体の運動を常に追いかけて調べようとしている我々の立場としてはやや不満足であろう.

そこで, \( t_{1} \) から \( t_{2} \) の時間幅 \[\Delta t \coloneqq t_{2} – t_{1} \notag\] において, \( t_{2} \) を限りなく \( t_{1} \) に近づける, すなわち, \( \Delta t \) を限りなく \( 0 \) にするような極限操作を平均の速度の式\eqref{ave_v}に適用したものを, 時刻 \( t_{1} \) における瞬間の速度あるいは単に速度と呼び, \[\begin{align} v(t_{1}) & \coloneqq \lim_{t_{2} \to t_{1} }\frac{x(t_{2}) – x(t_{1})}{t_{2} – t_{1}} \\ & = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{x(t_{1}+\Delta t) – x(t_{1})}{\Delta t} \label{def_velocity1} \end{align} \] で定義する.

ここで, \( x \) を変数とする関数 \( f(x) \) の \( x_{1} \) における微分係数の定義式 \[\left. \dv{f}{x} \right|_{x=x_{1}} \coloneqq \lim_{\Delta x \to 0 }\frac{f(x_{1}+\Delta x) – f(x_{1})}{\Delta x} \label{def_diffx1}\] と瞬間の速度の定義式\eqref{def_velocity1}とを見比べると, 式\eqref{def_diffx1}において \( \Delta x \) を \( \Delta t \) に, \( x_{1} \) を \( t_{1} \) に, \( f \) を \( x \) に置き換えたものになっている. したがって, 時刻 \( t_{1} \) における瞬間の速度 \( v(t_{1}) \) は位置 \( x(t) \) の時刻 \( t_{1} \) における微分係数 \[v(t_{1}) = \left. \dv{x}{t} \right|_{t= t_{1}} \label{def_velocity2}\] で定義されることがわかる. これは下図のような \( x \) – \( t \) グラフで考えると時刻 \( t_{1} \) における曲線の傾きに相当している.

速度 \( v \) を時間の関数として知るためには, 式\eqref{def_velocity1}または式\eqref{def_velocity2}において \( t_{1} \) を \( t \) で置き換えた式を用いればよいことになる. すなわち, 位置 \( x(t) \) の導関数 \[v(t) = \dv{x(t)}{t} \notag\] を計算することで任意の時刻 \( t \) における物体の( \( x \) 方向の)速度が決定される.

3次元運動の速度

これまでに1次元方向の変位や速度について議論してきた. これらの議論は \( x \) , \( y \) , \( z \) 方向の全ての方向に対して等しく成立する.

3次元空間内のある点 \( P \) の時刻 \( t \) における位置座標 \( \vb*{r}(t) \) が3次元直交座標系で \( \vb*{r}=\qty( x, y, z ) \) とする.

時刻 \( t_{1} \) に \( \vb*{r}(t_{1}) \) にいた \( P \) が, 時間幅 \( \Delta t \) 経過後の時刻 \( t_{2} \) に位置 \( \vb*{r}(t_{2}) \) に移動したときの変位 \( \Delta \vb*{r} \) は \[\begin{aligned} & \Delta \vb*{r} = \vb*{r}(t_{2}) – \vb*{r}(t_{1}) \notag \\ & \left( \begin{aligned} &= \qty( x(t_{2}), y(t_{2}), z(t_{2}) ) – \qty( x(t_{1}), y(t_{1}), z(t_{1}) ) \notag \\ &= \qty( x(t_{2}) – x(t_{1}), y(t_{2}) -y(t_{1}), z(t_{2}) – z(t_{1}) ) \end{aligned} \right) \end{aligned}\] であり, 時刻 \( t_{1} \) における速度は \( t_{1} \) における位置 \( \vb*{r}(t) \) の微分係数 \[\vb*{v}(t_{1}) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\vb*{r}(t_{1} + \Delta t) – \vb*{r}(t_{1})}{\Delta t} = \left. \dv{ \vb*{r} }{t} \right|_{t=t_{1}} \notag\] で定まる.

また, 時刻 \( t \) における速度 \( \vb*{v}(t)=\qty( v_{x}, v_{y}, v_{z} ) \) は位置 \( \vb*{r}(t) \) の導関数 \[\vb*{v}(t) = \dv{ \vb*{r}(t) }{t} = \qty( \dv{x}{t}, \dv{y}{t}, \dv{z}{t} ) \label{def_velocity3d}\] で定まる.

1次元運動の平均の加速度

\( x \) 軸上を運動している物体 \( P \) について, 時刻 \( t_{1} \) における速度を \( v(t_{1}) \) , 時刻 \( t_{2} \) における速度を \( v(t_{2}) \) としたとき, \( P \) の平均の加速度 \( \bar{a} \) とは, この間の平均の速度を所要時間で割った量 \[\bar{a} \coloneqq \frac{v(t_{2}) – v(t_{1})}{t_{2} – t_{1}} \label{ave_a}\] で定義される. これは下図のような \( v \) – \( t \) グラフにおいて時刻 \( t_{1} \) から \( t_{2} \) の始点と終点における2点を結んだ直線の傾きに相当しており, 位置とは無関係に定義される.

1次元運動の加速度

速度のときと同じく, 瞬間の加速度あるいは単に加速度と呼ばれるものを考えよう.

ある物体 \( P \) の時刻 \( t_{1} \) における速度とは, 位置 \( x(t) \) を用いて, \[v(t_{1}) \coloneqq \lim_{\Delta t \to 0} \frac{x(t_{1}+\Delta t) – x(t_{1})}{\Delta t} = \left. \dv{x}{t} \right|_{t=t_{1}} \notag\] で定義されるのであった. このアナロジーを用いると, 時刻 \( t_{1} \) における物体 \( P \) の(瞬間の)加速度とは, 速度 \( v(t) \) の時刻 \( t_{1} \) における微分係数 \[a(t_{1}) \coloneqq \lim_{\Delta t \to 0} \frac{v(t_{1}+\Delta t) – v(t_{1})}{\Delta t} = \left. \dv{v}{t} \right|_{t=t_{1}} \label{def_acceleration2}\] で定義される. これは \( v \) – \( t \) グラフにおいて時刻 \( t_{1} \) における速度 \( v(t) \) の曲線の傾きに相当している.

また, 式\eqref{def_acceleration2}において \( t_{1} \) を \( t \) で置き換えた式, すなわち, 速度 \( v(t) \) の導関数 \[a(t) = \dv{v(t)}{t} = \dv[2]{x(t)}{t} \label{def_acceleration}\] で物体の( \( x \) 方向の)加速度を定義する.

3次元運動の加速度

加速度についても, 1次元での議論をそのまま3次元に拡張することができる.

3次元空間内のある点 \( P \) の時刻 \( t \) における速度 \( \vb*{v}(t) \) が \( \vb*{v}=\qty( v_{x}, v_{y}, v_{z} ) \) とする. このとき, 時刻 \( t_{1} \) における加速度は \[\vb*{a}(t_{1}) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\vb*{v}(t_{1} + \Delta t) – \vb*{v}(t_{1})}{\Delta t} = \left. \dv{ \vb*{v} }{t} \right|_{t=t_{1}} \notag\] で定義される. また, 時刻 \( t \) における加速度 \( \vb*{a}(t)=\qty( a_{x}, a_{y}, a_{z} ) \) は速度 \( \vb*{v}(t) \) の導関数 — 位置 \( \vb*{r}=\qty( x, y, z ) \) の第2次導関数 — \[\begin{aligned} \vb*{a}(t) &= \dv{ \vb*{v}(t)}{t} = \qty( \dv{v_{x}}{t}, \dv{v_{y}}{t}, \dv{v_{z}}{t} ) \notag \\ &= \dv[2]{\vb*{r}(t)}{t} = \qty( \dv[2]{x}{t}, \dv[2]{y}{t}, \dv[2]{z}{t} ) \notag \end{aligned}\] で定義される.

この加速度(ベクトル)は, 時々刻々と変化する速度(ベクトル)の変化を表すものである. したがって, ある瞬間の加速度を知ることは, その瞬間の前後で速度の向き・大きさの変化がどのようになっているのかを知ることに等しい.