電位

電位と電位差

電場内において試験電荷(電荷 \( q = 1 \ [\mathrm{C}] \) )を位置 \( \vb*{r}_P \) から基準点 \( \vb*{r}_{0} \) まで動かす間に電気力がした仕事を電位といい, \[ \phi (\vb*{r}_{P}) = \int_{\vb*{r}_{P}}^{\vb*{r}_{0}} \vb*{E} \cdot\dd{\vb*{l}}\] と定義する. また, この定義式を \[ \phi (\vb*{r}_{P}) = \int_{\vb*{r}_{0}}^{\vb*{r}_{P}} \qty( – \vb*{E} ) \cdot\dd{\vb*{l}}\] と書けば, 試験電荷が受ける電気力 \( \vb*{F} = 1 \cdot \vb*{E} \) と逆向きの外力 \[ \vb*{F}_{\mathrm{ex}} = – \vb*{F} = – \vb*{E} \] を加えて基準点 \( \vb*{r}_{0} \) から位置 \( \vb*{r}_{P} \) まで移動させる間ために必要な仕事をあらわしていることがわかる. つまり, 電位とは試験電荷が基準点からある点まで運ばれる時に電荷が獲得する位置エネルギーを意味している.

ここで, 電位を計算する時に電場(ベクトル)と微小変位(ベクトル)の内積を計算していることから電位はスカラー量であることに注意してほしい. したがって, 電位は向きという概念を持っていない. これは力学で言えば位置エネルギーが向きを持っていないことと全く同じである.

位置 \( \vb*{r}_{A} \) から位置 \( \vb*{r}_{B} \) まで電荷 \( q \) を動かす間に電気力がした仕事 \( W_{A \to B} \) は, \[ \begin{aligned} W_{A \to B} &= \int_{\vb*{r}_{A}}^{\vb*{r}_{B}} q \vb*{E}(\vb*{r}) \cdot\dd{\vb*{l}}\\ &= \int_{\vb*{r}_{A}}^{\vb*{r}_{0}} q \vb*{E}(\vb*{r}) \cdot\dd{\vb*{l}}+ \int_{\vb*{r}_{0}}^{\vb*{r}_{B}} q \vb*{E}(\vb*{r}) \cdot\dd{\vb*{l}}\\ &= q \left\{\int_{\vb*{r}_{A}}^{\vb*{r}_{0}} \vb*{E}(\vb*{r}) \cdot\dd{\vb*{l}} – \int_{\vb*{r}_{B}}^{\vb*{r}_{0}} \vb*{E}(\vb*{r}) \cdot\dd{\vb*{l}}\right\} \\ &= q ( \phi (\vb*{r}_{A}) – \phi (\vb*{r}_{B})) \end{aligned} \] となり, 位置 \( \vb*{r}_{A} \) における電位 \( \phi(\vb*{r}_{A}) \) と位置 \( \vb*{r}_{B} \) における電位 \( \phi(\vb*{r}_{B}) \) の差 \( \qty( \phi(\vb*{r}_{A}) – \phi(\vb*{r}_{B}) ) \) で表すことができる. このような二点間の電位の差を電位差といい, \[ V_{AB} = \phi(\vb*{r}_{A}) – \phi(\vb*{r}_{B}) \] と定義する. したがって, \[ W_{A \to B} = q V_{AB} \] と表すことができる.

電位差の計算例として, 真空中の原点 \( O \) に置かれた電荷 \( Q \) によって作られる電場 \[ \vb*{E} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{Q}{\abs{\vb*{r} }^3}\vb*{r} \] が満ちた空間における電位差を計算してみよう. この場合, 電場 \( \vb*{E} \) は \( \vb*{r} \) と平行であることに注意してほしい.

また, 上図に示したようにある位置 \( \vb*{r} \) における微小変位 \(\dd{\vb*{l}}\) との内積 \( \vb*{r} \cdot \dd{ \vb*{l}} \) は \( \vb*{r} \) 方向への微小変位 \( \dd{r} \) と \[ \begin{aligned} \vb*{r} \cdot\dd{\vb*{l}}&= r \dd{l} \cos{\theta} \\ &= r \dd{r} \end{aligned} \] という関係にあることに注意すると, \[ \begin{aligned} V_{AB} &= \int_{\vb*{r}_{A}}^{\vb*{r}_{B}} \vb*{E} \cdot \dd{ \vb*{l}} \\ &= \int_{\vb*{r}_{A}}^{\vb*{r}_{B}} \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{Q}{\abs{\vb*{r} }^3} \underbrace{\vb*{r} \cdot\dd{\vb*{l}}_{r}\dd{r}}\\ &= \int_{\vb*{r}_{A}}^{\vb*{r}_{B}} \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{Q}{r^2} \dd{r}\\ &= \qty[ – \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{Q}{r} ]_{r_{A}}^{r_{B}} \\ &= \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0}} \qty[ \frac{1}{r_{A}} – \frac{1}{r_{B}} ] \end{aligned} \] したがって, 位置 \( \vb*{r}_{B} \) に対する \( \vb*{r}_{A} \) の電位は \[ \begin{aligned} V_{AB} &= \phi_{A} – \phi_{B} \\ &= \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0}} \qty[ \frac{1}{r_{A}} – \frac{1}{r_{B}} ] \end{aligned} \] となる.

電位の重ね合わせ

原点に置かれた点電荷 \( Q \) によって静電場が形成されている時, 位置 \( \vb*{r} \) には電位 \( \phi(\vb*{r}) \) が存在することになる. そこで, 電位の基準点 \( \vb*{r}_{0} \) を無限遠に選ぶと \( \displaystyle{\frac{1}{r_0} \to 0} \) となるので, \( \phi(\vb*{r}_0) \to 0 \) であることから, \[ \begin{aligned} \int_{\vb*{r}}^{\vb*{r}_{0}} \vb*{E} \cdot \dd{ \vb*{l}} &= \phi(\vb*{r}) – \phi(\vb*{r}_{0}) \\ &= \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0}} \qty[ \frac{1}{r} – \frac{1}{r_0} ] \\ \to \ \phi(\vb*{r}) &= \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{Q}{r} \end{aligned} \] となる. これは電荷 \( Q \) から距離 \( r \) だけ離れた位置における電位が \[ \phi = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{Q}{r} \] であることをあらわしている.

ある位置 \( \vb*{r} \) から距離 \( r_{i}\ ( i = 1 \sim N) \) だけ離れた位置にある電荷 \( Q_{i} \) が \( \vb*{r} \) につくる電位について考える. 各電位によって位置 \( \vb*{r} \) に作られる各電場 \( \vb*{E}_{i} \) には重ね合わせの原理が成立し, \[ \begin{aligned} \vb*{E} &= \vb*{E}_{1} + \vb*{E}_{2} + \cdots + \vb*{E}_{N} \\ &= \sum_{i=1}^{N} \vb*{E}_{i} \end{aligned} \] となる. 電位は電場の積分計算であるが和の積分は各項の積分の和にすることができるので電位についても重ね合わせの原理が成立する. \[ \begin{aligned} \phi &= \phi_1 + \phi_2 + \cdots + \phi_N \\ &= \sum_{i=1}^{N} \phi_i \\ \end{aligned} \]

以上の議論により, 各点電荷の作る電位 \( \phi_{i} \) の合成された電位の値は \[ \begin{aligned} \phi &= \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \qty[ \frac{Q_1}{r_1} + \frac{Q_2}{r_2} + \cdots + \frac{Q_N}{r_N} ] \\ &= \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \sum_{i=1}^{N} \frac{Q_i}{r_i} \end{aligned} \] となる.

電位 : 点電荷

再度, 点電荷(電荷 \( Q \) )が作る電荷を求めよう. 座標原点に点電荷をおいた時, 点電荷が位置 \( \vb*{r} \) に作る電場はガウスの法則より \[ \vb*{E} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{Q}{\abs{\vb*{r} }^3}\vb*{r} \] であった. 位置 \( \vb*{r}_{P} \) における電位 \( \phi(\vb*{r}_{p}) \) は試験電荷 \( q=1 \ [\mathrm{C}] \) が位置 \( \vb*{r}_{P} \) から無限遠へ移動する間に電気力がする仕事(試験電荷の電気的な位置エネルギー)であったので, \[ \int_{\vb*{r}_{P}}^{\infty} \vb*{E} \cdot\dd{\vb*{l}}\] である. この積分結果は静電場の場合には積分経路に依存しないので, 計算を簡単にするために \( \vb*{r}_{P} \) から \( \vb*{r}_{P} \) 方向に無限に伸ばした無限遠へ移動する経路を考えよう( \(\dd{\vb*{l}}=\dd{\vb*{r}}\) ). この場合, 電場 \( \vb*{E} \) と電荷の微小変位ベクトル \(\dd{\vb*{l}}\) のなす角 \( \theta \) は常に \( \theta = 0 \) であるので, \[ \begin{aligned} \vb*{E} \cdot\dd{\vb*{l}}&= E \dd{l}\cos{0} \\ &= E \dd{r}\end{aligned} \] となる. したがって, \[ \begin{aligned} \int^{\infty}_{\vb*{r}_{P}} \vb*{E} \cdot\dd{\vb*{r}}&= \int_{r_{P}}^{\infty} E \dd{r}\\ &= \int_{r_{P}}^{\infty} \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{Q}{r^2} \dd{r}\notag \\ &= \qty[ – \frac{1}{4 \pi \epsilon} \frac{Q}{r} ]_{r_{P}}^{\infty} \\ &= \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{Q}{r_P} \end{aligned} \] \[ \therefore \ \phi(\vb*{r}) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\frac{Q}{r} \] と表すことができる^[3]数学が気になる人のために補足しておく. ここで \( \displaystyle{\int_{r_{P}}^{\infty} } \) は \( \displaystyle{\lim_{r_{0} \to \infty }\int^{r_0}_{r_P}} \) … Continue reading.

電位 : 帯電球

半径 \( a \) の内部に電荷 \( Q \) が電荷密度 \( \rho \) で一様に帯電している球( \( \displaystyle{Q = \rho \frac{4\pi}{3}a^3 } \) )による電位を求めよう.

下図にガウスの法則(帯電球)によって求められたことをまとめた.

帯電球の内部

帯電球の内部の位置 \( (r < a) \) では, ガウスの法則によりある位置 \( \vb*{r} \) の電場 \( \vb*{E}(\vb*{r}) \) は半径が \( r \) より小さい領域に存在する電荷の量に依存し, \[ \begin{aligned} & \therefore \ E_{\mathrm{in}}(\vb*{r}) = \frac{\rho r}{3 \epsilon_0} \\ & \qty( \vb*{E}_{\mathrm{in}}(\vb*{r}) = \frac{\rho}{3 \epsilon_0} \vb*{r} ) \end{aligned} \] となるのであった. さらに電場は \( r=a \) を境にして \( \vb*{E}_{\mathrm{out}} \) と \( \vb*{E}_{\mathrm{in}} \) に分かれることに注意すると, \[ \begin{aligned} \int_{\vb*{r}_{P}}^{\infty} \vb*{E} \cdot\dd{\vb*{r}}&= \int_{r_{P}}^{a} E_{\mathrm{in}} \dd{r}+ \int_{a}^{\infty} E_{\mathrm{out}} \dd{r}\\ &= \int_{r_{P}}^{a} \frac{\rho r }{3 \epsilon_{0}} \dd{r}+ \int_{a}^{\infty} \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{Q}{r^2} \dd{r}\\ &= \qty[ \frac{\rho r^2 }{6 \epsilon_{0}} ]_{r_{P}}^{a} + \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{Q}{a} \\ &= \frac{\rho }{6 \epsilon_{0}} \qty( a^2 – r_{P}^2 ) + \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{Q}{a} \\ & = \frac{\rho}{6 \epsilon_0} \qty( 3 a^2 – r_{P}^2 ) \end{aligned} \] \[ \therefore \ \phi_{\mathrm{in}}(\vb*{r}) = \frac{\rho}{6 \epsilon_0} \qty( 3 a^2 – r^2 ) \quad \qty( r < a ) \quad . \] 電場の場合と同じく, \( r=a \) において \( \phi_{\mathrm{out}} \) と \( \phi_{\mathrm{out}} \) が一致することに注意してほしい. \[ \begin{aligned} \phi_{\mathrm{out}} &= \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{Q}{a} = \frac{\rho}{3 \epsilon_0 } a^2 \\ \phi_{\mathrm{in}} &= \frac{\rho}{6 \epsilon_0} \qty( 3 a^2 – a^2 ) = \frac{\rho}{3 \epsilon_0} a^2 \\ \therefore \ \phi_{\mathrm{out}} &= \phi_{\mathrm{inh}} \end{aligned} \]

電位 : 無限に長い直線

無限に長い直線が単位長さあたりに \( \lambda \) (ラムダ)の電荷量をもっている(電荷の線密度が \( \lambda \) )場合に直線から \( r_P \) だけ離れた点での電位について考える. このような直線電流が距離 \( r \) だけ離れた位置に作る電場の大きさはガウスの法則(無限に長い直線)より \[ \begin{aligned} & E = \frac{1}{2 \pi \epsilon_0 } \frac{\lambda}{r} \\ & \qty( E = \frac{1}{2 \pi \epsilon_0 } \frac{\lambda}{r^2 } \vb*{r} ) \end{aligned} \] で与えられるのであった. この場合の電位を考えるが, 電位の基準 \( r_{0} \) を無限遠に選ぶと電位が発散してしまうので, そのような基準は採用しないことにすると^[4]そもそも電荷を携えた直線が無限の長さがあるので, … Continue reading, \[ \begin{aligned} \int_{\vb*{r}_{P} }^{\vb*{r}_{0} } \vb*{E} \cdot\dd{\vb*{r}}&= \int_{r_{P}}^{r_{0}} E \dd{r}\\ &= \int_{r_{P}}^{r_{0}} \frac{1}{2 \pi \epsilon_0 } \frac{\lambda}{r}\dd{r}\\ &= \qty[ \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0 } \log{r} ]_{r_{P}}^{r_{0}} \\ &= \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0 } \log{\qty( \frac{r_0}{r_P} ) } \end{aligned} \] \[ \therefore \ \phi(r)= \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0 } \log{\qty( \frac{r_0}{r} ) } \]