ラグランジュの微分方程式

\( f(y^{\prime})=y^{\prime} \) のとき

ラグランジュの微分方程式 \[y = xf(y^{\prime}) + g(y^{\prime} ) \notag \quad .\] において, \( f(y^{\prime})=y^{\prime} \) のとき, すなわち, \[y = xy^{\prime} + g(y^{\prime} ) \notag \quad .\] はクレローの微分方程式と一致していることがわかる.

したがって, このときの解法はクレローの微分方程式を参照してほしい.

\( f(y^{\prime})\neq y^{\prime} \) のとき

ラグランジュの微分方程式 \[y = xf(y^{\prime}) + g(y^{\prime} ) \label{LagEq}\] の両辺を微分すると, \[\begin{align} & y^{\prime} = f(y^{\prime}) + xf^{\prime}(y^{\prime})y^{\prime \prime} + g^{\prime}(y^{\prime} )y^{\prime \prime} \\ \to \ & y^{\prime \prime} \qty{ xf^{\prime}(y^{\prime}) + g^{\prime}(y^{\prime} ) } = \qty{ y^{\prime} - f(y^{\prime}) } \end{align}\] ここで, \[p \coloneqq y^{\prime} \] と定義すると, \[\begin{align} & p^{\prime} \qty{ xf^{\prime}(p) + g^{\prime}(p) } = \qty{ p - f(p) }\\ \to \ & \dv{p}{x} = \frac{p - f(p) }{ \qty{ xf^{\prime}(p) + g^{\prime}(p) } } \end{align}\] さらに, 両辺に \( \dv{x}{p} \) を乗じて整理すると, \[\dv{x}{p} - \frac{f^{\prime}(p) }{p - f(p) }x = \frac{g^{\prime}(p) }{p - f(p) } \quad . \] \( f^{\prime}(p) \) や \( g^{\prime}(p) \) もただの \( p \) の関数であることに変わりないので, \[ \begin{dcases} P_{0}(p) & \coloneqq - \frac{f^{\prime}(p) }{p - f(p) } \\ Q_{0}(p) & \coloneqq \frac{g^{\prime}(p) }{p - f(p) } \end{dcases}\] と定義すると, \[\dv{x}{p} + P_{0}(p)x = Q_{0}(p) \] となり, \( x \) が \( p \) を独立変数に持つ \( x(p) \) という関数とみなしたときの, \( x \) についての1階線形(非同次)微分方程式となっていることがわかるので, 1階線形微分方程式の一般解の公式^[1]をもちいることで, \[x = e^{ - \int P_{0}(p) \dd p } \qty{ \int \qty( Q_{0}(p) e^{\int P_{0}(p) \dd p } ) \dd p + C } \label{LagEqx}\] となる. ここで \( C \) は任意の定数である.