初等関数のラプラス変換

\( f(t) \)

\( F(s) = \mathcal{L} \left[ f(t) \right] \)

収束領域

\( t^{n} \)

\( \displaystyle{ \frac{n!}{s^{n+1}} } \)

\( \mathrm{Re} \left[ s \right] > 0 \ , \ n = 0, 1, 2, \cdots \)

\( \sin{\omega t } \)

\( \displaystyle{ \frac{\omega}{s^{2} + \omega^{2}} } \)

\( \mathrm{Re} \left[ s \right] > 0 \)

\( \cos{\omega t } \)

\( \displaystyle{ \frac{s}{s^{2} + \omega^{2}} } \)

\( \mathrm{Re} \left[ s \right] > 0 \)

\( e^{at} \ \left( a > 0 \right) \)

\( \displaystyle{ \frac{1}{ s – a } } \)

\( \mathrm{Re} \left[ s \right] > a \)

\( e^{-at} \ \left( a > 0 \right) \)

\( \displaystyle{ \frac{1}{ s + a } } \)

\( \mathrm{Re} \left[ s \right] > -a \)

\( \sinh{\omega t } \)

\( \displaystyle{ \frac{\omega}{s^{2}-\omega^{2}} } \)

\( \mathrm{Re} \left[ s \right] > \left| a \right| \)

\( \cosh{\omega t } \)

\( \displaystyle{ \frac{s}{s^{2}-\omega^{2}} } \)

\( \mathrm{Re} \left[ s \right] > \left| a \right| \)

\( \log{ t } \)

\( \displaystyle{ – \frac{1}{s} \left\{ \gamma + 1 \right\} } \)

\( \mathrm{Re} \left[ s \right] > 0 \)

ここで, \( \gamma \) はオイラーの定数である.

関数 \( f(t) \) のラプラス変換 \( F(s) = \mathcal{L}\left\{ f(t)\right\} \) の定義

\[F(s) = \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\} \mathrel{\mathop:}= \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) \, dt \label{LapDefF}\]

にしたがって, 代表的な初等関数のラプラス変換を求めよう.

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\( 1 \) のラプラス変換
\( t \) のラプラス変換
\( t^{n} \) のラプラス変換
\( \sin{\left( \omega t \right)} \) のラプラス変換
\( \cos{\left( \omega t \right)} \) のラプラス変換
三角関数のラプラス変換とオイラーの公式
\( e^{at} \) のラプラス変換
\( e^{-at} \) のラプラス変換
\( \sinh{\left( \omega t \right)} \) のラプラス変換
\( \cosh{\left( \omega t \right)} \) のラプラス変換
\( \log{t} \) のラプラス変換


\( 1 \) のラプラス変換

定関数 \( f(t)=1 \) のラプラス変換を求めよう. ただし, \( \mathrm{Re} \left[ s \right] > 0 \) とする. \[\begin{aligned} \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\} &= \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) \,dt \notag \\ &= \int_{0}^{\infty} e^{-st} \cdot 1 \,dt \notag \\ &= \left[ – \frac{1}{s} e^{-st} \right] _{0}^{\infty} \notag \\ &= 0 – \left( – \frac{1}{s} \right) = \frac{1}{s} \notag \end{aligned}\] \[\therefore \quad \mathcal{L}(1) = \frac{1}{s} \quad \left( \mathrm{Re} \left[ s \right] > 0 \right) \label{LapDefF1}\]

つづいて, \( a \) を定数として, 定関数 \( f(t)=a \) のラプラス変換を求めよう. ただし, \( \mathrm{Re} \left[ s \right] > 0 \) とする. \[\begin{aligned} \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\} &= \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) \,dt \notag \\ &= \int_{0}^{\infty} e^{-st} \cdot a \,dt \notag \\ &= a \int_{0}^{\infty} e^{-st} \,dt \notag \\ &= \frac{a}{s} \notag \end{aligned}\] ここで, 最後の等式には式\eqref{LapDefF1}を用いた. \[\therefore \quad \mathcal{L}(a) = \frac{a}{s} \quad \left( \mathrm{Re} \left[ s \right] > 0 \right) \label{LapDefFa}\]

\( t \) のラプラス変換

関数 \( f(t)=t \) のラプラス変換を求めよう. ただし, \( \mathrm{Re} \left[ s \right] > 0 \) とする. \[\begin{aligned} \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\} &= \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) \,dt \notag \\ &= \int_{0}^{\infty} e^{-st} \cdot t \,dt \notag \end{aligned}\] 上式に部分積分の公式[1]を適用すると, \[\begin{aligned} \mathcal{L}\left( t \right) &= \left[ – \frac{1}{s} e^{-st} t \right] _{0}^{\infty} + \frac{1}{s} \int_{0}^{\infty} e^{-st} \,dt \notag \\ &= \left[ – \frac{1}{s} e^{-st} t \right] _{0}^{\infty} + \frac{1}{s} \left[ -\frac{1}{s} \cdot e^{-st} \right] _{0}^{\infty} \notag \\ &= \left[ – e^{-st} \left( \frac{1}{s} t + \frac{1}{s^{2} }\right) \right] _{0}^{\infty} = \frac{1}{s^{2}} \notag \end{aligned}\] \[\therefore \quad \mathcal{L}(t) = \frac{1}{s^{2}} \quad \left( \mathrm{Re} \left[ s \right] > 0 \right) \label{LapDefFt}\]

\( t^{n} \) のラプラス変換

\( t \) のベキ乗の関数 \( f(t)=t^{n} \quad (n = 0, 1, 2, \cdots ) \) のラプラス変換を求めよう. ただし, \( \mathrm{Re} \left[ s \right] > 0 \) とする. \[\begin{align} \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\} &= \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) \,dt \notag \\ &= \int_{0}^{\infty} e^{-st} \cdot t^{n} \,dt \notag \\ &= \underbrace{ \left[ -\frac{1}{s} \cdot e^{-st} t^{n} \right] _{0}^{\infty} }_{= 0} – \int_{0}^{\infty} \left( – \frac{n}{s} \cdot e^{-st} t^{n-1} \right) \,dt \notag \\ &= \frac{n}{s} \int_{0}^{\infty} e^{-st} t^{n-1} \,dt \label{LapDeftnsub1} \end{align}\] ここで, \[I_{n} \mathrel{\mathop:}= \int_{0}^{\infty} e^{-st}t^{n}\,dt \notag\] と定義すれば, 式\eqref{LapDeftnsub1}より, \( I_{n} \) と \( I_{n-1} \) との間に次式が成立していることがわかる. \[ \mathcal{L}\left\{f(t)\right\} = I_{n} = \frac{n}{s} I_{n-1} \quad . \label{LapDeftnsub2} \] また, \( I_{0} \) については式\eqref{LapDefF1}より, \[I_{0} =\int_{0}^{\infty} e^{-st}t^{0}\,dt = \mathcal{L}(1) = \frac{1}{s} \label{LapDeftnsub3}\] となるので, 式\eqref{LapDeftnsub2}及び式\eqref{LapDeftnsub3}より, 次式が成立していることがわかる. \[\begin{aligned} \mathcal{L}\left\{f(t)\right\} &= I_{n} \notag \\ &= \frac{n}{s} I_{n-1} \notag \\ &= \frac{n}{s} \cdot \frac{\left( n-1 \right)}{s} I_{n-2} \notag \\ &\vdots \notag \\ &= \frac{n!}{s^{n}}I_{0} \notag \\ &= \frac{n!}{s^{n+1}} \quad . \notag \end{aligned}\] \[\therefore \quad \mathcal{L}\left( t^{n}\right) = \frac{n!}{s^{n+1}} \quad \left( \mathrm{Re} \left[ s \right] > 0 \ , \ n = 0, 1, 2, \cdots \right) \label{LapDefFtn}\]

\( \sin{\left( \omega t \right)} \) のラプラス変換

関数 \( f(t)=\sin{\left( \omega \right)} \) のラプラス変換を求めよう. ただし, \( \mathrm{Re} \left[ s \right] > 0 \) とする. \[\begin{aligned} \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\} &= \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) \,dt \notag \\ &= \int_{0}^{\infty} e^{-st} \cdot \sin{\left( \omega t \right)} \,dt \quad . \notag \end{aligned}\]

ラプラス変換の計算を実行するために, 事前に不定積分 \[\int e^{-st} \cdot \sin{\left( \omega t \right)} \,dt \notag\] について考えよう. 部分積分をくり返し用いると, \[\begin{aligned} \int e^{-st} \cdot \sin{\left( \omega t \right)} \, dt &= -\frac{1}{s} e^{-st} \sin{\left( \omega t \right)} + \int \frac{\omega}{s} e^{-st} \cos{\left( \omega t \right)} \, dt \notag \\ &= -\frac{1}{s} e^{-st} \sin{\left( \omega t \right)} + \frac{\omega}{s} \left\{ \int e^{-st} \cos{\left( \omega t \right)} \, dt \right\} \notag \\ &= -\frac{1}{s} e^{-st} \sin{\left( \omega t \right)} + \frac{\omega}{s} \left\{ -\frac{1}{s} e^{-st} \cos{\left( \omega t \right)} – \int \frac{\omega}{s} e^{-st} \sin{\left( \omega t \right)} \, dt \right\} \notag \\ &= – \frac{e^{-st}}{s^{2}} \left\{ s \sin{\left( \omega t \right)} + \omega \cos{\left( \omega t \right)} \right\} – \frac{\omega^{2}}{s^{2}}\int e^{-st}\sin{\left( \omega t \right)} \, dt \notag \end{aligned}\] \[\begin{aligned} & \to \ \left( 1 + \frac{\omega^{2}}{s^{2}} \right) \int e^{-st} \sin{\left( \omega t \right)} \, dt = – \frac{e^{-st}}{s^{2}} \left\{ s \sin{\left( \omega t \right)} + \omega \cos{\left( \omega t \right)} \right\} \notag \\ & \to \ \int e^{-st} \sin{\left( \omega t \right)} \, dt = – \frac{e^{-st}}{s^{2}+\omega^{2}} \left\{ s \sin{\left( \omega t \right)} + \omega \cos{\left( \omega t \right)} \right\} \quad . \notag \end{aligned}\] したがって, \[\begin{aligned} \mathcal{L}\left\{ \sin{\left( \omega t \right)} \right\} &= \int_{0}^{\infty} e^{-st} \sin{\left( \omega t \right)} \, dt \notag \\ &= \left[ – \frac{e^{-st}}{s^{2}+\omega^{2}} \left\{ s \sin{\left( \omega t \right)} + \omega \cos{\left( \omega t \right)} \right\} \right] _{0}^{\infty} \notag \\ &= \frac{\omega}{s^{2}+ \omega^{2}} \notag \end{aligned}\] \[\therefore \quad \mathcal{L}\left\{ \sin{\left( \omega t \right)} \right\} = \frac{\omega}{s^{2} + \omega^{2}} \quad \left( \mathrm{Re} \left[ s \right] > 0 \right) \label{LapDefFsin}\]

\( \mathcal{L}\left\{ \sin{\left( \omega t\right)} \right\} \) が収束値を持つことが事前にわかっているならば, 次のように \( \mathcal{L}\left\{ \sin{\left( \omega t\right)} \right\} \) を求めることもできる. \[\begin{aligned} \mathcal{L}\left\{ \sin{\left( \omega t \right)}\right\} &= \int_{0}^{\infty} e^{-st} \sin{\left( \omega t \right)} \, dt \notag \\ &= \left[ – \frac{1}{s} e^{-st} \sin{\left( \omega t \right)} \right] _{0}^{\infty} – \int_{0}^{\infty} \left( -\frac{\omega}{s} e^{-st} \cos{\left( \omega t \right)} \right) \, dt \notag \\ &= \frac{\omega}{s} \int_{0}^{\infty} e^{-st} \cos{\left( \omega t \right)} \, dt \notag \\ &= \frac{\omega}{s} \left\{ \left[ -\frac{1}{s} e^{-st} \cos{\left( \omega t \right)} \right] _{0}^{\infty} – \int_{0}^{\infty} \frac{\omega}{s}e^{-st} \sin{\left( \omega t \right)} \, dt \right\} \notag \\ &= \frac{\omega}{s^{2}} – \frac{\omega^{2}}{s^{2}} \mathcal{L}\left\{ \sin{\left( \omega t \right)}\right\} \notag \end{aligned}\] \[\therefore \quad \mathcal{L}\left\{ \sin{\left( \omega t \right)}\right\} = \frac{\omega}{s^{2}+\omega^{2}} \notag\]

\( \cos{\left( \omega t \right)} \) のラプラス変換

関数 \( f(t)=\cos{\left( \omega \right)} \) のラプラス変換を求めよう. ただし, \( \mathrm{Re} \left[ s \right] > 0 \) とする. \[\begin{aligned} \mathcal{L}\left\{f(t)\right\} &= \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) \,dt \notag \\ &= \int_{0}^{\infty} e^{-st} \cdot \cos{\left( \omega t \right)} \,dt \quad . \notag \end{aligned}\]

ラプラス変換の計算を実行するために, 事前に不定積分 \[\int e^{-st} \cdot \cos{\left( \omega t \right)} \,dt \notag\] について考えよう. 部分積分をくり返し用いると, \[\begin{aligned} \int e^{-st} \cdot \cos{\left( \omega t \right)} \, dt &= -\frac{1}{s} e^{-st} \cos{\left( \omega t \right)} – \int \frac{\omega}{s} e^{-st} \sin{\left( \omega t \right)} \, dt \notag \\ &= -\frac{1}{s} e^{-st} \cos{\left( \omega t \right)} – \frac{\omega}{s} \left\{ \int e^{-st} \sin{\left( \omega t \right)} \, dt \right\} \notag \\ &=-\frac{1}{s} e^{-st} \cos{\left( \omega t \right)} – \frac{\omega}{s} \left\{ -\frac{1}{s} e^{-st} \sin{\left( \omega t \right)} + \int \frac{\omega}{s} e^{-st} \cos{\left( \omega t \right)} \, dt \right\} \notag \\ &= \frac{e^{-st}}{s^{2}} \left\{ – s \cos{\left( \omega t \right)} + \omega \sin{\left( \omega t \right)} \right\} – \frac{\omega^{2}}{s^{2}}\int e^{-st}\cos{\left( \omega t \right)} \, dt \notag \end{aligned}\] \[\begin{aligned} & \to \ \left( 1 + \frac{\omega^{2}}{s^{2}} \right) \int e^{-st} \cos{\left( \omega t \right)} \, dt = \frac{e^{-st}}{s^{2}} \left\{ – s \cos{\left( \omega t \right)} + \omega \sin{\left( \omega t \right)} \right\} \notag \\ & \to \ \int e^{-st} \cos{\left( \omega t \right)} \, dt = \frac{e^{-st}}{s^{2}+\omega^{2}} \left\{ – s \cos{\left( \omega t \right)} + \omega \sin{\left( \omega t \right)} \right\} \quad . \notag \end{aligned}\] したがって, \[\begin{aligned} \mathcal{L}\left\{ \cos{\left( \omega t \right)} \right\} &= \int_{0}^{\infty} e^{-st} \cos{\left( \omega t \right)} \, dt \notag \\ &= \left[ \frac{e^{-st}}{s^{2}+\omega^{2}} \left\{ – s \cos{\left( \omega t \right)} + \omega \sin{\left( \omega t \right)} \right\} \right] _{0}^{\infty} \notag \\ &= \frac{s}{s^{2}+ \omega^{2}} \notag \end{aligned}\] \[\therefore \quad \mathcal{L}\left\{ \cos{\left( \omega t \right)} \right\} = \frac{s}{s^{2} + \omega^{2}} \quad \left( \mathrm{Re} \left[ s \right] > 0 \right) \label{LapDefFcos}\]

\( \mathcal{L}\left\{\cos{\left\{\omega t\right\}}\right\} \) が収束値を持つことが事前にわかっているならば, 次のように \( \mathcal{L}\left\{\cos{\left\{\omega t\right\}}\right\} \) を求めることもできる. \[\begin{aligned} \mathcal{L}\left\{ \cos{\left( \omega t \right)}\right\} &= \int_{0}^{\infty} e^{-st} \cos{\left( \omega t \right)} \, dt \notag \\ &= \left[ – \frac{1}{s} e^{-st} \cos{\left( \omega t \right)} \right] _{0}^{\infty} – \int_{0}^{\infty} \frac{\omega}{s} e^{-st} \sin{\left( \omega t \right)} \, dt \notag \\ &= \frac{1}{s} – \frac{\omega}{s} \int_{0}^{\infty} e^{-st} \sin{\left( \omega t \right)} \, dt \notag \\ &= \frac{1}{s} – \frac{\omega}{s} \left\{ \left[ -\frac{1}{s} e^{-st} \sin{\left( \omega t \right)} \right] _{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty} \frac{\omega}{s}e^{-st} \cos{\left( \omega t \right)} \, dt \right\} \notag \\ &= \frac{1}{s} – \frac{\omega^{2}}{s^{2}} \mathcal{L}\left\{ \cos{\left( \omega t \right)}\right\} \notag \end{aligned}\] \[\begin{aligned} &\to \ \left( 1 + \frac{\omega^{2}}{s^{2}}\right) \mathcal{L}\left\{ \cos{\left( \omega t \right)}\right\} = \frac{1}{s} \notag \\ &\to \ \mathcal{L}\left\{ \cos{\left( \omega t \right)}\right\} = \frac{s}{s^{2}+\omega^{2}} \notag \end{aligned}\]

三角関数のラプラス変換とオイラーの公式

\( \mathcal{L}\left\{ \sin{ \left( \omega t \right) }\right\} \) 及び \( \mathcal{L}\left\{ \cos{ \left( \omega t \right) }\right\} \) を求めるにあたって, オイラーの公式 \[e^{ i \omega t } = i \sin{ \left( \omega t \right) } + \cos{ \left( \omega t \right) } \notag\] を用いる方法もあるので紹介しておこう.

ラプラス変換の定義より, \[\begin{align} \mathcal{L}\left( e^{i \omega t}\right) &= \mathcal{L}\left\{ i \sin{\left( \omega t\right)} + \cos{\left( \omega t\right)} \right\} \notag \\ &= \int_{0}^{\infty} e^{-st} \left\{ i \sin{\left( \omega t\right)} + \cos{\left( \omega t\right)} \right\} \,dt \notag \\ &= i \int_{0}^{\infty} e^{-st} \sin{\left( \omega t\right)} \,dt + \int_{0}^{\infty} e^{-st} \cos{\left( \omega t\right)} \,dt \notag \\ &= i \mathcal{L}\left\{ \sin{\left( \omega t\right)} \right\} + \mathcal{L}\left\{ \cos{\left( \omega t\right)} \right\} \quad . \label{LapSinCosEusub1} \end{align}\] 一方, ラプラス変換の定義より, \[\begin{align} \mathcal{L}\left( e^{ i \omega t }\right) &= \int_{0}^{\infty} e^{-st} e^{ i \omega t } \, dt \notag \\ &= \int_{0}^{\infty} e^{-(s – i \omega ) t } \, dt \notag \\ &= \left[ \frac{-1}{(s – i \omega )} e^{-(s – i \omega ) t } \right] _{0}^{\infty} \notag \\ &= \frac{1}{(s – i \omega )} \notag \\ &= \frac{ s + i \omega }{ s^{2} + \omega^{2} } \label{LapSinCosEusub2} \end{align}\] であるので, 式\eqref{LapSinCosEusub1}及び式\eqref{LapSinCosEusub2}より, \[\begin{aligned} \mathcal{L}\left\{ e^{i \omega t }\right\} &= i \mathcal{L}\left\{ \sin{\left( \omega t\right)} \right\} + \mathcal{L}\left\{ \cos{\left( \omega t\right)} \right\} \notag \\ &= i \frac{ \omega }{ s^{2} + \omega^{2} } + \frac{ s }{ s^{2} + \omega^{2} } \notag \end{aligned}\] であり, 実部と虚部とをそれぞれ比較することで次の結論が得られる. \[\begin{aligned} \mathcal{L} \left\{ \sin{\left( \omega t \right) }\right\} = \mathrm{Im} \left[ \mathcal{L}\left\{ e^{ i \omega t }\right\} \right] = \frac{\omega}{s^{2}+\omega^{2}} \notag \\ \mathcal{L} \left\{ \cos{\left( \omega t \right) }\right\} = \mathrm{Re} \left[ \mathcal{L}\left\{ e^{ i \omega t }\right\} \right] = \frac{s}{s^{2}+\omega^{2}} \notag \end{aligned}\]

\( e^{at} \) のラプラス変換

\( a \) を正の実数として, 関数 \( f(t)=e^{at} \) のラプラス変換を求めよう. \[\begin{aligned} \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\} &= \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) \, dt \notag \\ &= \int_{0}^{\infty} e^{-st} e^{at} \, dt \notag \\ &= \int_{0}^{\infty} e^{-(s-a)t} \, dt \notag \end{aligned}\] ここで, \( \mathrm{Re} \left[ s \right] > a \) の場合には \( \mathcal{L}\left(e^{at}\right) \) は収束値を持ち, \[\begin{aligned} \mathcal{L}\left( e^{at} \right) &= \int_{0}^{\infty} e^{ – \left(s-a\right) t} \, dt \notag \\ &= \left[ \frac{-1}{\left( s-a \right)} e^{ – \left( s – a \right) t } \right] _{0}^{\infty} \notag \\ &= \frac{1}{ s – a } \notag \end{aligned}\] \[\therefore \quad \mathcal{L}\left( e^{at} \right) = \frac{1}{ s – a }\quad \left( \mathrm{Re} \left[ s \right] > a \right) \label{LapDefFeatp}\]

\( e^{-at} \) のラプラス変換

\( a \) を正の実数として, 関数 \( f(t)=e^{-at} \) のラプラス変換を求めよう. \[\begin{aligned} \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\} &= \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) \, dt \notag \\ &= \int_{0}^{\infty} e^{-st} e^{-at} \, dt \notag \\ &= \int_{0}^{\infty} e^{-(s+a)t} \, dt \notag \end{aligned}\] ここで, \( \mathrm{Re} \left[ s \right] > -a \) の場合には \( \mathcal{L}\left(e^{-at}\right) \) は収束値を持ち, \[\begin{aligned} \mathcal{L}\left( e^{at} \right) &= \int_{0}^{\infty} e^{-\left( s+a \right)t} \, dt \notag \\ &= \left[ \frac{-1}{\left( s+a \right)} e^{ – \left( s+a \right) t } \right] _{0}^{\infty} \notag \\ &= \frac{1}{ s+a } \notag \end{aligned}\] \[\mathcal{L}\left( e^{at} \right) = \frac{1}{ s+a } \quad \left( \mathrm{Re} \left[ s \right] > -a \right) \label{LapDefFeatm}\]

\( \sinh{\left( \omega t \right)} \) のラプラス変換

\( \omega \) を正の実数として, 双曲線関数 \[\sinh{ \left( \omega t \right) } = \frac{ e^{ \omega t } – e^{ – \omega t } }{2} \notag\] のラプラス変換を求めよう.

ラプラス変換の定義より, \[\begin{aligned} \mathcal{L}\left\{ \sinh{ \left( \omega t \right) }\right\} &= \mathcal{L}\left( \frac{ e^{ \omega t } – e^{ – \omega t } }{2} \right) \notag \\ &= \int_{0}^{\infty} e^{-st} \left( \frac{ e^{ \omega t } – e^{ – \omega t } }{2} \right) \, dt \notag \\ &= \frac{1}{2} \left\{ \int_{0}^{\infty} e^{-st} e^{ \omega t } \, dt – \int_{0}^{\infty} e^{-st} e^{ – \omega t } \, dt \right\} \notag \\ &= \frac{1}{2} \left\{ \mathcal{L}\left( e^{ \omega t } \right) – \mathcal{L}\left( e^{ – \omega t } \right) \right\} \notag \end{aligned}\] ここで, \( \mathrm{Re} \left[ s \right] > \omega \) の場合は式\eqref{LapDefFeatp}より \( \mathcal{L}\left( e^{\omega t } \right)=\frac{1}{s-\omega} \) であり, \( \mathrm{Re} \left[ s \right] > – \omega \) の場合は式\eqref{LapDefFeatm}より \( \mathcal{L}\left( e^{-\omega t } \right)=\frac{1}{s+\omega} \) であり, この両方の条件を満たさなければラプラス変換が収束値を持たない. 結局, \( \mathrm{Re} \left[ s \right] > \left| \omega \right| \) の場合に \[\begin{aligned} \mathcal{L}\left\{ \sinh{ \left( \omega t \right) }\right\} &= \frac{1}{2} \left\{ \mathcal{L}\left( e^{ \omega t } \right) – \mathcal{L}\left( e^{ – \omega t } \right) \right\} \notag \\ &= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{s-\omega} – \frac{1}{s+\omega} \right) \notag \\ &= \frac{\omega}{s^{2}-\omega^{2}} \notag \end{aligned}\] \[\therefore \quad \mathcal{L}\left\{ \sinh{ \left( \omega t \right) }\right\} = \frac{\omega}{s^{2}-\omega^{2}} \quad \left( \mathrm{Re} \left[ s \right] > \left| \omega \right| \right) \notag\]

\( \cosh{\left( \omega t \right)} \) のラプラス変換

\( \omega \) を正の実数として, 双曲線関数 \[\cosh{ \left( \omega t \right) } = \frac{ e^{ \omega t } + e^{ – \omega t } }{2} \notag\] のラプラス変換を求めよう.

ラプラス変換の定義より, \[\begin{aligned} \mathcal{L}\left\{ \cosh{ \left( \omega t \right) }\right\} &= \mathcal{L}\left( \frac{ e^{ \omega t } + e^{ – \omega t } }{2} \right) \notag \\ &= \int_{0}^{\infty} e^{-st} \left( \frac{ e^{ \omega t } + e^{ – \omega t } }{2} \right) \, dt \notag \\ &= \frac{1}{2} \left\{ \int_{0}^{\infty} e^{-st} e^{ \omega t } \, dt + \int_{0}^{\infty} e^{-st} e^{ – \omega t } \, dt \right\} \notag \\ &= \frac{1}{2} \left\{ \mathcal{L}\left( e^{ \omega t } \right) + \mathcal{L}\left( e^{ – \omega t } \right) \right\} \notag \end{aligned}\] ここで, \( \mathrm{Re} \left[ s \right] > \omega \) の場合は式\eqref{LapDefFeatp}より \( \mathcal{L}\left( e^{\omega t } \right)=\frac{1}{s-\omega} \) であり, \( \mathrm{Re} \left[ s \right] > – \omega \) の場合は式\eqref{LapDefFeatm}より \( \mathcal{L}\left( e^{-\omega t } \right)=\frac{1}{s+\omega} \) であり, この両方の条件を満たさなければラプラス変換が収束値を持たない. 結局, \( \mathrm{Re} \left[ s \right] > \left| \omega \right| \) の場合に \[\begin{aligned} \mathcal{L}\left\{ \cosh{ \left( \omega t \right) }\right\} &= \frac{1}{2} \left\{ \mathcal{L}\left( e^{ \omega t } \right) + \mathcal{L}\left( e^{ – \omega t } \right) \right\} \notag \\ &= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{s-\omega} + \frac{1}{s+\omega} \right) \notag \\ &= \frac{s}{s^{2}-\omega^{2}} \notag \end{aligned}\] \[\therefore \quad \mathcal{L}\left\{ \cosh{ \left( \omega t \right) }\right\} = \frac{s}{s^{2}-\omega^{2}} \quad \left( \mathrm{Re} \left[ s \right] > \left| \omega \right| \right) \notag\]

\( \log{t} \) のラプラス変換

対数関数 \( f(t)=\log{t} \) のラプラス変換について考えよう. ただし, \( \mathrm{Re} \left[ s \right] > 0 \) とする. \[\begin{aligned} \mathcal{L} \left\{ f(t)\right\} &= \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) \,dt \notag \\ &= \int_{0}^{\infty} e^{-st} \log{t}\,dt \notag \end{aligned}\] \( x = st \) として置換積分を実行すると, \( dx = s\,dt \) より, \[\begin{align} \mathcal{L} \left( \log{t} \right) &= \int_{0}^{\infty} e^{-x} \log{\left( \frac{x}{s} \right)} \frac{1}{s}\,dx \notag \\ &= \frac{1}{s} \left\{ \int_{0}^{\infty} e^{-x} \log{x} \,dx – \log{s} \int_{0}^{\infty} e^{-x} \,dx \right\} \quad .\label{LapDefFlogsub1} \end{align}\] ここで, 式\eqref{LapDefFlogsub1}の第1項に関する次の事実を証明なく用いることにする. いま, オイラーの定数 \( \gamma \) を次式で定義する[2]. \[\begin{aligned} \gamma \mathcal{\mathop:}=& \lim_{t \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{2}+ \cdots + \frac{1}{n} – \log{n} \right) \notag \\ =& 0.57721\cdots \quad . \notag \end{aligned}\] そして, オイラーの定数は次式を満たすことが知られている. \[\gamma = – \int_{0}^{\infty} e^{-x} \log{x} \,dt \notag\] また, 式\eqref{LapDefFlogsub1}の第 \( 2 \) 項について, \[\int_{0}^{\infty} e^{-x} \, dx = \left[ – e^{-x } \right] _{0}^{\infty} = 1 \notag\]

が成立するので, 対数関数 \( \log{t} \) のラプラス変換として次式を得る. \[\mathcal{L} \left( \log{t} \right) = – \frac{1}{s} \left\{ \gamma + 1 \right\} \quad . \label{LapDefFlog}\]

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補足    (↵ 本文へ)
  1. \( t \) の関数 \( g(t) \) と \( h(t) \) について成立する部分積分の公式とは,

    \[\int_{a}^{b} g(t) \cdot \frac{dh(t)}{dt} \, dt = \left[ g(t) \cdot h(t) \right] _{a}^{b} – \int_{a}^{b} \frac{dg(t)}{dt} \cdot h(t) \, dt \notag\]

    のことであった.

  2. このオイラーの定数はその定義が簡単そうに視えるにも関わらず, 未だに無理数なのかどうかの判定がついていない数である.