ロピタルの定理

関数 \( f(t) \) 及び \( g(t) \) が点 \( a \) を含む近傍で微分可能であり, \( \displaystyle{ \frac{dg(t)}{dt} \neq 0 } \) とする. このとき, \( f(a) = g(a) =0\) であり, かつ \( \displaystyle{ \lim_{t \to a} \frac{df(t)/dt}{dg(t)/dt} } \) が存在すれば次式が成立する. \[\lim_{t \to a} \frac{f(t)}{g(t)} = \lim_{t \to a} \frac{ df(t)/dt }{ dg(t) / dt} \notag\]

関数 \( f(t) \) 及び \( g(t) \) が開区間 \( ( a, \infty ) \) で微分可能であり, \( \displaystyle{ \lim_{t \to \infty} f(t) = \lim_{t \to \infty} g(t) =0 } \) であり, かつ \( \displaystyle{ \lim_{t \to \infty} \frac{df(t)/dt}{dg(t)/dt} } \) が存在すれば次式が成立する. \[\lim_{t \to \infty} \frac{f(t)}{g(t)} = \lim_{t \to \infty} \frac{ df(t)/dt }{ dg(t) / dt} \notag\]

ラプラス変換を議論する上で, 広義積分に加えてさらっと使われている定理としてロピタルの定理と呼ばれるものがある.

ロピタルの定理の証明を与える準備として, 高校数学で登場する平均値の定理から議論を始めよう.

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平均値の定理
コーシーの平均値の定理
ロピタルの定理


平均値の定理

関数 \( f(t) \) は閉区間 \( \left[ a , b \right] \) で連続な関数であり, 開区間 \( \left( a , b \right) \) で微分可能な関数であるとしよう. このとき, 次式を満たすある実数 \( c \ \left( a < c < b \right) \) が少なくとも一つ存在することを平均値の定理というのであった. \[\left. \frac{df(t)}{dt} \right|_{t=c} = \frac{f(b) – f(a)}{b – a } \quad . \notag\]

平均値の定理の証明を与えておこう.

閉区間 \( \left[ a , b \right] \) において, 関数 \( g(t) \) を \[g(t) \mathrel{\mathop:}= f(t) – \frac{f(b) – f(a)}{b-a} \left( t-a \right) \notag\] で定義する. この \( g(t) \) は \( g(a)=g(b)=f(a) \) を満たすように \( f(t) \) を調整した関数である. ここで, \( g(x) \) は閉区間で定義された連続関数であるため, 最大値と最小値が必ず存在する[1].

関数 \( g(t) \) が \( t=c \) において最大(極大)となるとしよう. \( g(t) \) は連続関数であるので, 左側極限 \[\lim_{ t \to c-0} \frac{g(t)-g(c)}{t-c} \le 0 \notag\] と右側極限 \[\lim_{ t \to c+0} \frac{g(t)-g(c)}{t-c} \ge 0 \notag\] が一致し, \[\left. \frac{dg}{dt} \right|_{t=c} = \left. \frac{df(t)}{dt} \right|_{t=c} – \frac{f(b) – f(a)}{b-a}=0 \notag\] が成立する. したがって, \[\therefore \quad \left. \frac{df(t)}{dt} \right|_{t=c} = \frac{f(b) – f(a)}{b-a} \notag\] をみたす数 \( c \) が存在する.

上記の議論は \( g(t) \) が \( t=c \) において最小(極小)となる場合にも成立するため, 平均値の定理が成立することが示された.

コーシーの平均値の定理

平均値の定理を拡張したコーシーの平均値の定理を示そう.

関数 \( f(t) \) , \( g(t) \) は閉区間 \( \left[ a, b \right] \) で連続な関数であり, 開区間 \( \left( a, b \right) \) で微分可能であるとしよう. また, \( g(a) \neq g(b) \) であり, 区間 \( \left( a, b \right) \) 中の各点において, \( \displaystyle{\frac{dg(t)}{dt} \neq 0} \) を満たすとする. このとき, 次式を満たすある実数 \( c \ \left( a < c < b \right) \) が少なくとも一つ存在することをコーシーの平均値の定理という. \[\quad \left. \frac{df(t)/dt}{dg(t)/dt} \right|_{t=c} = \frac{f(b) – f(a)}{g(b) – g(a)} \quad . \notag\]

コーシーの平均値の定理の証明を行おう.

開区間 \( \left[ a, b \right] \) において, 関数 \( h(t) \) を \[h(t) \mathrel{\mathop:}= f(t) – \frac{f(b) – f(a)}{g(b) -g(a)} \left\{ g(t) – g(a) \right\} \notag\] で定義する. このとき, \( h(t) \) は \( h(a) = h(b) = f(a) \) を満たす.

ここで, 平均値の定理より, \[\left. \frac{dh(t)}{dt} \right|_{t=c} = \frac{h(b) – h(a)}{b-a} = 0 \notag\] を満たす実数 \( c \ \left( a < c < b \right) \) が存在する. したがって, \[\left. \frac{dh(t)}{dt} \right|_{t=c} = \left. \frac{df(t)}{dt} \right|_{t=c} – \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} \cdot \left. \frac{dg}{dt} \right|_{t=c} = 0 \notag\] が成立するので, 区間 \( \left[ a, b\right] \) で \( \displaystyle{\frac{dg(t)}{dt} \neq 0} \) が常に成立していれば \[\quad \left. \frac{df(t)/dt}{dg(t)/dt} \right|_{t=c} = \frac{f(b) – f(a)}{g(b) – g(a)} \notag\] を満たすような定数 \( c \) が少なくとも一つ存在することが示された. これをコーシーの平均値の定理という.

ロピタルの定理

ロピタルの定理

関数 \( f(t) \) 及び \( g(t) \) が点 \( a \) を含む近傍で微分可能であり, \( \displaystyle{ \frac{dg(t)}{dt} \neq 0 } \) とする. このとき, \( f(a) = g(a) =0\) であり, かつ \( \displaystyle{ \lim_{t \to a} \frac{df(t)/dt}{dg(t)/dt} } \) が存在すれば次式が成立する. \[\lim_{t \to a} \frac{f(t)}{g(t)} = \lim_{t \to a} \frac{ df(t)/dt }{ dg(t) / dt} \notag\] このことをロピタルの定理という.

さて, 関数 \( f(t) \) , \( g(t) \) は点 \( a \) の近くで微分可能であるので, コーシーの中間値の定理を適用すると, ある実数 \( c \ \left( a < c < t \right) \) が存在し, 次式が成立する. \[\left. \frac{df(t)/dt}{dg(t)/dt} \right|_{c} = \frac{f(t) – f(a)}{g(t) – g(a)} = \frac{f(t)}{g(t)} \quad .\notag\] ここで, \( t \to a \) という極限操作を考えると, はさみうちの原理によって \( c \to a \) となるので, \[\lim_{t \to a} \frac{f(t)}{g(t)} = \lim_{t \to a} \frac{df(t)/dt}{dg(t)/dt} \notag\] が成立する. これをロピタルの定理という.

ロピタルの定理のバリエーション

ロピタルの定理は, 関数の極限を扱う上で大変有用な定理である. そして, そのバリエーションが豊富であることを補足しておこう. ただし, 各バリエーションの証明を与えることは避けて議論を進めるので, 興味のある方は必要に応じて微分積分学の本を参考にされたい.

まず, ロピタルの定理で議論した内容をざっくりと復習しておう. 2つの関数 \( f(t) \) と \( g(t) \) のある点 \( t=a \) での比 \( \displaystyle{ \frac{f(a)}{g(a)} } \) を考えるとき, \( \frac{0}{0} \) という不定形であったとしても \( f \) と \( g \) の導関数が存在してその比 \( \displaystyle{ \left. \frac{df/dt}{dg/dt} \right|_{t=a}} \) が存在すれば \( \displaystyle{ \frac{f}{g} = \left. \frac{df/dt}{dg/dt} \right|_{t=a}} \) が成立することであった.

ロピタルの定理の派生としては, \( f \) と \( g \) の比を考える点 \( a \) が, \( \pm \infty \) の場合が考えられる. また, 点 \( a \) で不連続な関数であっても \( a+0 \) や \( a-0 \) についても考えることができ, このいずれの場合も成立する.

次に, \( \frac{f}{g} \) の不定形のパターンとして, \( \frac{0}{0} \) の他に \( \frac{\infty}{\infty} \) についてもロピタルの定理が成立する[2].

このように, ロピタルの定理には様々なパターンがが存在することは頭にとどめておいていただきたい.

ロピタルの定理の適用例

例1

\[\begin{aligned} \lim_{t \to \infty }\frac{t^{n}}{e^{t}} &= \lim_{t \to \infty }\frac{ \frac{d}{dt} t^{n}}{ \frac{d}{dt} e^{t}} \notag \\ &= \lim_{t \to \infty }\frac{ n t^{n-1} }{ e^{t}} \notag \\ &= \cdots \notag \\ &= \lim_{t \to \infty }\frac{ n ! }{ e^{t}} \notag \\ &= 0 \notag\end{aligned}\]

例2

\[\begin{aligned} \lim_{t \to 0 } \frac{\sin{t}}{t} &= \lim_{t \to 0 } \frac{ \frac{d}{dt} \sin{t}}{\frac{d}{dt} t} \notag \\ &= \lim_{t \to 0 } \cos{ t} \notag \\ &= 1 \notag\end{aligned}\]

例3

\[\begin{aligned} \lim_{t \to \infty } \frac{ \log{t} }{ t } &= \lim_{t \to \infty } \frac{ \frac{d}{dt} \log{t} }{ \frac{d}{dt} t } \notag \\ &= \lim_{t \to \infty } \frac{1}{t} \notag \\ &= 0 \notag \end{aligned}\]

例4

\[\begin{aligned} \lim_{t \to +0} t \log{t} &= \lim_{t \to +0} \frac{ \log{t} }{ 1 /t } \notag \\ &= \lim_{t \to +0} \frac{ \frac{d}{dt} \log{t} }{ \frac{d}{dt} \left( 1 /t \right) } \notag \\ &= \lim_{t \to +0} \frac{ 1 / t }{ -1 /t^{2} } \notag \\ &= 0 \notag\end{aligned}\]

例5

\[\begin{aligned} \lim_{t \to 0} \frac{1 – \cos^{2}{t}}{t^{2}} &= \lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{dt} \left( 1 – \cos^{2}{t} \right) }{\frac{d}{dt}t^{2}} \notag \\ &= \lim_{t \to 0} \frac{2 \cos{t} \sin{t} }{2t} \notag \\ &= 0 \quad \left( \ \because \ \lim_{t \to 0 } \frac{\sin{t}}{t} = 1 \right) \notag \end{aligned}\]

最終更新日



補足    (↵ 本文へ)
  1. 閉区間で定義された連続関数が最大値と最小値を持つこと自体の証明はここでは行わなず, 自明のこととして扱った. 必要に応じて数学書などを参考にされたい.

  2. もちろん, \( \frac{- \infty}{+ \infty} \) , \( \frac{+ \infty}{- \infty} \) , \( \frac{- \infty}{- \infty} \) の各場合について成立する.