ノートンの定理

テブナンの定理と並び立つ, 線形素子のみを含んだ回路網で成立する定理として, ノートンの定理と呼ばれるものが存在する.

ノートンの定理とは抵抗素子や直流電源が入り乱れた回路を, 内部抵抗を含んだ1つの直流電流源に置き換えることが出来るというものである[1].

全く同じことであるが, ノートンの定理は次のようにも表現される.

回路網から端子 \( a \) , \( b \) を取り出し, この端子を接続 – 短絡 – したときに流れる(短絡)電流が \( I_{0} \) であるとする. このとき, \( ab \) 間に抵抗 \( R \) の抵抗素子を接続したときの \( ab \) の間の電位差 \( V \) は次式で与えられる. \[V = \frac{I_{0}}{\frac{1}{R_{0}} + \frac{1}{R}} \label{NortThe1}\] ここで, \( R_{0} \) は端子 \( a \) , \( b \) から見た回路網の合成抵抗のことである[2].


以下ではまず2つほど具体例を示してノートンの定理の概要と計算手順を理解してもらう. その後にノートンの定理の証明を与えることにする.

ノートンの定理の証明手順はテブナンの定理と全く同じで重ね合わせの理を用いることになる. ただし, テブナンの定理を理解しているならば, テブナンの定理と電流源と電圧源の変換(電流源)を組み合わせることによって簡単に証明することができる. [3].


例1:単純な回路への適用例
例2:2つの電源と3つの抵抗を含んだ回路
ノートンの定理の証明


例1:単純な回路への適用例

まずは, ノートンの定理の計算手順を習得してもらうために, 下図に示すような簡単な回路において, 抵抗 \( R_{3} \) に流れる電流もしくは \( R_{3} \) で生じている電位差を求める方法について紹介しよう.

step1 : 回路を2つの領域に分離する

注目している抵抗 \( R_{3} \) の両端を点 \( a \) , 点 \( b \) とし, この2点によって回路を2つの領域に分離する.

以下では, \( R_{3} \) を含んでいない領域を領域1, \( R_{3} \) を含んだ領域を領域2とする.

step2 : 短絡電流を求める

まずは領域1に注目する. このとき, 点 \( a \) と点 \( b \) は抵抗ゼロの導線で繋いだと考える. このような置き換え操作を短絡すると表現する. そして, 領域1の回路における点 \( a \) と点 \( b \) を結ぶ枝路を流れる電流 \( I_{0} \) を短絡電流という.

領域1中の電圧源 \( E_{1} \) と点 \( a \) , \( b \) を含むような閉回路にキルヒホッフの第2法則を適用すると, \[E_{1} = R_{2} I_{0} \ \iff \ I_{0} = \frac{E_{1}}{R_{2}} \quad . \notag\] と \( I_{0} \) が定まる.

step3 : 点 \( ab \) から見た合成抵抗を求める

続いても領域1に注目するが, 今回は領域1に含まれている電圧源を抵抗ゼロの導線に置き換えた回路を考える. すなわち, 領域1の電圧源を短絡(除去)した回路を考える[4]. そして端子 \( ab \) からみた領域1の合成抵抗 \( R_{0} \) を求める.

下図より, 端子 \( ab \) からみた合成抵抗 \( R_{0} \) は次式となる. \[R_{0} =R_{2} \quad .\notag\]

等価電流源に置き換える

以上までで, ノートンの定理の下ごしらえは終了している.

ノートンの定理とは, 元の回路における領域1は電流 \( I_{0} \) の理想電流源と並列接続された内部抵抗 \( R_{0} \) とで構成された電流源に置き換えることができるというものである. 置き換えられた電流源のことを等価電流源などという.

ノートンの定理を適用し, 領域1と領域2を接続した下図のような回路の抵抗 \( R_{3} \) に流れる電流 \( I \) を求める問題に置き換えよう.

このようにして元の回路をノートンの定理によって置き換えた回路をノートン等価回路という.

この回路で抵抗素子 \( R_{3} \) に流れる電流を求めることは容易で, \[I = \frac{R_{0}}{R_{0} + R_{3}} I_{0} \quad . \notag\] であり, \( R_{3} \) の両端の電位差 \( V \) は \[V = R_{3}I = \frac{R_{0}R_{3}}{R_{0}+R_{3} } I_{0} = \frac{I_{0}}{\frac{1}{R_{0}} + \frac{1}{R_{3}}} \notag\] となる. この式は冒頭で述べたノートンの定理の主張(式\eqref{NortThe1})と合致していることが確認できる.

具体的に \( V \) の値が知りたければ上式に \( R_{0}=R_{2} \) , \( I_{0} = \frac{E_{1}}{R_{2}} \) を代入することで求めることができる. \[V = \frac{R_{3}}{R_{2} + R_{3}}E_{1} \quad . \notag\]

このような単純な回路では有り難みがうすいが, 考える回路が複雑になるほどノートンの定理の有り難みが増してくることになる.

例2:2つの電源と3つの抵抗を含んだ回路

次のような, 幾分複雑な回路において抵抗 \( R_{3} \) に流れる電流もしくは \( R_{3} \) で生じている電位差を求めよう.

なお, この例題はキルヒホッフの法則, 重ね合わせの理, テブナンの定理ミルマンの定理, テレゲンの定理と電力保存則でも取り扱っているので参考にして欲しい.

step1 : 回路を2つの領域に分離する

抵抗 \( R_{3} \) の両端を \( a \) , \( b \) とし, この2点を境に抵抗 \( R_{3} \) を含まない領域1抵抗 \( R_{3} \) のみを含む領域2の2つの領域に分離して考える.

step2 : 短絡電流を求める

領域1において, \( ab \) 間が短絡された回路は下図のようになる.

このときの \( ab \) 間を流れる電流 \( I_{0} \) は次式となる. \[ I_{0} = \frac{E_{1}}{R_{1}} + \frac{E_{2}}{R_{2}} \quad . \label{NortEx2I} \]

step3 : 点 \( ab \) から見た合成抵抗を求める

領域1に存在する電圧源を短絡(除去)した回路は下図のようになる.

このとき, 端子 \( ab \) からみた領域1の合成抵抗 \( R_{0} \) は次式となる. \[\begin{align} \frac{1}{R_{0}} &= \frac{1}{R_{1}} +\frac{1}{R_{2}} \notag \\ \iff \ R_{0} &= \frac{R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}} \quad . \label{NortEx2R} \end{align}\]

step4 : 等価電流源に置き換える

ノートンの定理により, 領域1は電流 \( I_{0} \) を生む理想電流源と内部抵抗 \( R_{0} \) で構成される等価電流源に置き換えることができる.

領域1を等価電流源に置き換えたものを領域2と接続したのが下図に示す回路である.

上図より, 抵抗 \( R_{3} \) に流れる電流 \( I_{3} \) は \[I_{3} = \frac{R_{0}}{R_{0}+R_{3}} I_{0} \notag\] であり, 抵抗 \( R_{3} \) で生じている電位差 \( V \) は \[\begin{aligned} V &= R_{3} I_{3} = \frac{R_{0}R_{3}}{R_{0} + R_{3}} I_{0}\notag \\ &= \frac{I_{0}}{\frac{1}{R_{0}} + \frac{1}{R_{3}}} \notag \end{aligned}\] となることがわかる.

また, 上記の \( I_{3} \) , \( V \) に式\eqref{NortEx2I}および式\eqref{NortEx2R}を代入することで, 次式を得る. \[\left\{ \begin{aligned} I_{3} &= \frac{R_{2}E_{1}+R_{1}E_{2}}{R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}} \notag \\ V &=\frac{R_{2}R_{3}E_{1}+R_{1}R_{3}E_{2}}{R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}} \notag \end{aligned} \right. \notag\]


このように, ノートンの定理を用いることで, キルヒホッフの法則による連立方程式を解くこと無くある枝路の電流・電位差を知ることが可能となる.

ノートンの定理の証明

ノートンの定理はテブナンの定理と同じく重ね合わせの理の適用によって導くことができる.しかし, テブナンの定理を理解しているならば, テブナンの定理電圧源と電流源の変換の組み合わせによってノートンの定理を簡単に証明することができるのでコチラの証明を先に与える.

その後, 重ね合わせの理のみを用いたノートンの定理の別証を与える.

テブナンの定理と電圧源・電流源の置換によるノートンの定理の証明

ある回路網中の抵抗 \( R \) に注目し, その両端を \( a \) , \( b \) と呼ぼう. この2点によって回路を2つの領域に分離し, 抵抗 \( R \) を含んでいない領域を領域1, \( R \) を含んだ領域を領域2とする.

テブナンの定理により, 領域1は起電力 \( E_{0} \) , 内部抵抗 \( R_{0} \) の等価電圧源に置き換えることができる. ここで, \( R_{0} \) は端子 \( ab \) からみた領域1の合成抵抗であり, \( E_{0} \) は端子 \( ab \) を開放した時の(領域1における)端子 \( b \) に対する端子 \( a \) の電位 \( V_{ab} \) に等しい.

次に, 直列接続された内部抵抗 \( R_{0} \) を持つ電圧源(起電力 \( E_{0} \) )は, 並列接続された内部抵抗( \( R_{0} \) )を持つ電流 \( I_{0}=\frac{E_{0}}{R_{0}} \) を持つ電流源と等価である(電流源).

したがって, 元々の回路の領域1は電流 \( I_{0} = \frac{E_{0}}{R_{0}} \) の理想電流源と並列接続された内部抵抗 \( R_{0} \) からなる電流源に置き換えることができる.

以上より, 抵抗素子や直流電源が入り乱れた回路を電流源に置き換えることが出来るという意味でのノートンの定理を示すことができた.

さらに, 電流 \( I_{0} \) の値 \( \frac{E_{0}}{R_{0}} \) は領域1の端子 \( ab \) 間を短絡したときに \( ab \) 間に流れる電流に等しいことから, 抵抗 \( R \) で生じている電位差 \( V \) は, 領域1の合成抵抗 \( R_{0} \) と, 領域1の端子 \( ab \) 間を短絡した経路に流れる電流 \( I_{0} \) を用いて \[\begin{aligned} V &= R \cdot \frac{R_{0}}{R_{0}+R} I_{0} \notag \\ &= \frac{1}{\frac{1}{R_{0}}+\frac{1}{R}}I_{0} \notag \end{aligned}\] と書くことができ, ノートンの定理の別表現も成立することが示された.

重ね合わせの理によるノートンの定理の証明

下図左には \( n \) 個の直流電圧源(起電力 \( E_{1},\ E_{2},\ \cdots ,\ E_{n} \) )と \( m \) 個の抵抗素子(抵抗 \( R_{1},\ R_{2},\ \cdots ,\ R_{n} \) )の回路網の中から抵抗を含まないある枝路を取り出した様子を描いた.

この枝路上に点 \( a \) と点 \( b \) をとり, 点 \( a \) から点 \( b \) に向けて流れる電流が \( I_{0} \) であったとする. また, \( ab \) 間に抵抗 \( R \) の抵抗素子を接続したときに, 点 \( a \) から点 \( b \) に向けて流れる電流の値が \( I \) であったとしよう.

我々の関心は, \( I_{0} \) と \( I \) との間にどんな関係が成立しているのか, である.

まず, \( ab \) 間に抵抗 \( R \) が接続されている回路について考える. そして, 抵抗 \( R \) に対して並列に, \( I_{0} \) に等しい大きさの電流を供給する2つの理想定電流源 \( I_{0}^{\prime} (=I_{0}) \) , \( I_{0}^{\prime \prime} (=I_{0}) \) を互いに逆向きに接続する.

この操作は抵抗 \( R \) に流れる電流 \( I \) の値を変えることもなく, また, \( E_{1},\ E_{2},\ \cdots ,\ E_{n} \) と \( R_{1},\ R_{2},\ \cdots ,\ R_{n} \) から成る回路網にもなんら影響を与えない.

さらに, 上図は次に示す2つの回路を重ね合わせた結果だと解釈することもできる(重ね合わせの理).

ただし, 電圧源・電流源を含んだ回路に対して重ね合わせの理を適用して電圧源・電流源を除去した回路を考える場合, 電圧源ならば短絡し, 電流源ならば開放することに注意してほしい.

重ね合わせの理は, 多数の電圧源が存在している線形回路において, 各電圧源のみが作動して他の電圧源が短絡されたモノとした各回路の電流値の代数和が元の回路で流れる電流に一致するというものであった.

では, (理想)電流源が含まれている回路の場合には重ね合わせの理をどう適用すべきかが問題となる. 電流源とは, その抵抗 \( R \) と理想電圧源 \( E \) とが直列接続され, \( R \) の値は電流源が組み込まれる回路の全抵抗に対して非常に大きいという極限のもとで近似的に成立しているものであった. したがって, 電流源は(無限大の)内部抵抗と電圧源との直列接続なのであった.

以上より, 電流源の要素である電圧源を短絡したときにはその枝路には無限大とみなせる抵抗が残るのみであり, 重ね合わせの理を適用するときには電流源がある枝路は開放されたものとして扱えば良いことになる.

重ね合わせの理により, 元々考えていた回路は電源が電流源 \( I^{\prime} \) のみである回路(左図) \( E_{1}, E_{2}, \cdots , E_{n} \) の電圧源と \( I^{\prime \prime} \) の電流源を持つ回路(右図)との重ね合わせと考えることができる.


まず, 電源が電流源 \( I^{\prime} \) のみである回路(左図)について考えてみよう. この回路では元々の回路網に存在した \( E_{1}, E_{2}, \cdots , E_{n} \) は全て短絡され, ただの導線扱いをする.

ここで, 抵抗 \( R \) に流れる電流を \( i \) , 抵抗 \( R_{1},\ R_{2},\ \cdots ,\ R_{m} \) を含んだ回路網の合成抵抗を \( R_{0} \) とすると, \[ i^{\prime} = \frac{R_{0}}{R_{0} + R} I_{0} \label{nortpri1} \] と書き表すことができる.

次に, \( E_{1}, E_{2}, \cdots , E_{n} \) の電圧源と \( I^{\prime \prime} \) の電流源を持つ回路(右図)について考えよう.

端子 \( ab \) を短絡したときに流れる電流は \( a \) から \( b \) にむかって大きさ \( I_{0} \) であった. そして, 今考えている回路では端子 \( a \) と \( b \) を結ぶ枝路上に短絡電流と同じ向き・大きさの電流源 \( I^{\prime\prime} \) が存在している. したがって, 端子 \( a \) から流れ出る電流は全て電流源 \( I^{\prime\prime} \) を通ることになり, 抵抗 \( R \) が存在する枝路に流れる電流 \( i^{\prime \prime} \) は \( 0 \) となることがわかる. \[i^{\prime \prime} = 0 \quad . \label{nortpri2}\] したがって, 抵抗 \( R \) に流れる電流について議論する上ではこの回路による影響は無視することができるのである.


以上より, 元々考えていた回路網において抵抗 \( R \) に流れる電流 \( I \) は式\eqref{nortpri1}と式\eqref{nortpri2}より, \[\begin{aligned} I &= i^{\prime} + i^{\prime\prime} = i^{\prime} \notag \\ &= \frac{R_{0}}{R_{0} + R} I_{0} \notag \end{aligned}\] となる. ここで, \( R_{0} \) は端子 \( ab \) から抵抗 \( R \) を含まない側の回路網を眺めた時の合成抵抗である.

この電流 \( I \) が抵抗 \( R \) を通り抜けることによって生じる電圧降下 \( V \) は \[V = RI = \frac{I_{0}}{\frac{1}{R_{0}} + \frac{1}{R}} \notag\] であることがわかり, ノートンの定理が示された.

最終更新日
電流源



補足    (↵ 本文へ)
  1. ここでは詳しく記述しないが, 実際には電圧源のみでなく電流源を含んでいるような回路であってもテブナンの定理およびノートンの定理は適用可能である.

  2. 高専や工学部の大学生諸君にとっては抵抗よりもコンダクタンスで表現したほうがしっくりくるかもしれないが, ここでは抵抗をつかって表現するようにしている. コンダクタンス(またはアドミタンス)を用いてノートンの定理を語るのであれば次のようになる.

    ノートンの定理とは, 回路網から2つの端子 \( a \) , \( b \) を取り出して短絡した時の短絡電流を \( I_{0} \) , 端子 \( ab \) から見た回路網の合成コンダクタンスが \( G_{0} \) であるとき, \( ab \) 間にコンダクタンス \( G \) の素子を抵抗素子を接続した時の端子 \( ab \) 間の電位差が次式で与えられる. \[V = \frac{I_{0}}{G_{0}+ G} \quad . \notag\]

  3. なお, ノートンの定理は交流においても成立することが示されている. 交流回路についてノートンの定理を適用する場合には, このページの議論で登場する抵抗インピーダンスに置き換えて議論してくれればよい.

  4. 電流源が含まれている場合には電流源を開放した回路を考える.

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