ノートンの定理

step1 : 回路を2つの領域に分離する

注目している抵抗 \( R_{3} \) の両端を点 \( a \) , 点 \( b \) とし, この2点によって回路を2つの領域に分離する.

以下では, \( R_{3} \) を含んでいない領域を領域1, \( R_{3} \) を含んだ領域を領域2とする.

step2 : 短絡電流を求める

まずは領域1に注目する. このとき, 点 \( a \) と点 \( b \) は抵抗ゼロの導線で繋いだと考える. このような置き換え操作を短絡すると表現する. そして, 領域1の回路における点 \( a \) と点 \( b \) を結ぶ枝路を流れる電流 \( I_{0} \) を短絡電流という.

領域1中の電圧源 \( E_{1} \) と点 \( a \) , \( b \) を含むような閉回路にキルヒホッフの第2法則を適用すると, \[E_{1} = R_{2} I_{0} \ \iff \ I_{0} = \frac{E_{1}}{R_{2}} \quad . \notag\] と \( I_{0} \) が定まる.

step3 : 点 \( ab \) から見た合成抵抗を求める

続いても領域1に注目するが, 今回は領域1に含まれている電圧源を抵抗ゼロの導線に置き換えた回路を考える. すなわち, 領域1の電圧源を短絡(除去)した回路を考える^[4]電流源が含まれている場合には電流源を開放した回路を考える.. そして端子 \( ab \) からみた領域1の合成抵抗 \( R_{0} \) を求める.

下図より, 端子 \( ab \) からみた合成抵抗 \( R_{0} \) は次式となる. \[R_{0} =R_{2} \quad .\notag\]

等価電流源に置き換える

以上までで, ノートンの定理の下ごしらえは終了している.

ノートンの定理とは, 元の回路における領域1は電流 \( I_{0} \) の理想電流源と並列接続された内部抵抗 \( R_{0} \) とで構成された電流源に置き換えることができるというものである. 置き換えられた電流源のことを等価電流源などという.

ノートンの定理を適用し, 領域1と領域2を接続した下図のような回路の抵抗 \( R_{3} \) に流れる電流 \( I \) を求める問題に置き換えよう.

このようにして元の回路をノートンの定理によって置き換えた回路をノートン等価回路という.

この回路で抵抗素子 \( R_{3} \) に流れる電流を求めることは容易で, \[I = \frac{R_{0}}{R_{0} + R_{3}} I_{0} \quad . \notag\] であり, \( R_{3} \) の両端の電位差 \( V \) は \[V = R_{3}I = \frac{R_{0}R_{3}}{R_{0}+R_{3} } I_{0} = \frac{I_{0}}{\frac{1}{R_{0}} + \frac{1}{R_{3}}} \notag\] となる. この式は冒頭で述べたノートンの定理の主張(式\eqref{NortThe1})と合致していることが確認できる.

具体的に \( V \) の値が知りたければ上式に \( R_{0}=R_{2} \) , \( I_{0} = \frac{E_{1}}{R_{2}} \) を代入することで求めることができる. \[V = \frac{R_{3}}{R_{2} + R_{3}}E_{1} \quad . \notag\]

このような単純な回路では有り難みがうすいが, 考える回路が複雑になるほどノートンの定理の有り難みが増してくることになる.

step1 : 回路を2つの領域に分離する

抵抗 \( R_{3} \) の両端を \( a \) , \( b \) とし, この2点を境に抵抗 \( R_{3} \) を含まない領域1と抵抗 \( R_{3} \) のみを含む領域2の2つの領域に分離して考える.

step2 : 短絡電流を求める

領域1において, \( ab \) 間が短絡された回路は下図のようになる.

このときの \( ab \) 間を流れる電流 \( I_{0} \) は次式となる. \[ I_{0} = \frac{E_{1}}{R_{1}} + \frac{E_{2}}{R_{2}} \quad . \label{NortEx2I} \]

step3 : 点 \( ab \) から見た合成抵抗を求める

領域1に存在する電圧源を短絡(除去)した回路は下図のようになる.

このとき, 端子 \( ab \) からみた領域1の合成抵抗 \( R_{0} \) は次式となる. \[\begin{align} \frac{1}{R_{0}} &= \frac{1}{R_{1}} +\frac{1}{R_{2}} \notag \\ \iff \ R_{0} &= \frac{R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}} \quad . \label{NortEx2R} \end{align}\]

step4 : 等価電流源に置き換える

ノートンの定理により, 領域1は電流 \( I_{0} \) を生む理想電流源と内部抵抗 \( R_{0} \) で構成される等価電流源に置き換えることができる.

領域1を等価電流源に置き換えたものを領域2と接続したのが下図に示す回路である.

上図より, 抵抗 \( R_{3} \) に流れる電流 \( I_{3} \) は \[I_{3} = \frac{R_{0}}{R_{0}+R_{3}} I_{0} \notag\] であり, 抵抗 \( R_{3} \) で生じている電位差 \( V \) は \[\begin{aligned} V &= R_{3} I_{3} = \frac{R_{0}R_{3}}{R_{0} + R_{3}} I_{0}\notag \\ &= \frac{I_{0}}{\frac{1}{R_{0}} + \frac{1}{R_{3}}} \notag \end{aligned}\] となることがわかる.

また, 上記の \( I_{3} \) , \( V \) に式\eqref{NortEx2I}および式\eqref{NortEx2R}を代入することで, 次式を得る. \[\left\{\begin{aligned} I_{3} &= \frac{R_{2}E_{1}+R_{1}E_{2}}{R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}} \notag \\ V &=\frac{R_{2}R_{3}E_{1}+R_{1}R_{3}E_{2}}{R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}} \notag \end{aligned} \right. \notag\]

テブナンの定理と電圧源・電流源の置換によるノートンの定理の証明

ある回路網中の抵抗 \( R \) に注目し, その両端を \( a \) , \( b \) と呼ぼう. この2点によって回路を2つの領域に分離し, 抵抗 \( R \) を含んでいない領域を領域1, \( R \) を含んだ領域を領域2とする.

テブナンの定理により, 領域1は起電力 \( E_{0} \) , 内部抵抗 \( R_{0} \) の等価電圧源に置き換えることができる. ここで, \( R_{0} \) は端子 \( ab \) からみた領域1の合成抵抗であり, \( E_{0} \) は端子 \( ab \) を開放した時の(領域1における)端子 \( b \) に対する端子 \( a \) の電位 \( V_{ab} \) に等しい.

次に, 直列接続された内部抵抗 \( R_{0} \) を持つ電圧源(起電力 \( E_{0} \) )は, 並列接続された内部抵抗( \( R_{0} \) )を持つ電流 \( I_{0}=\frac{E_{0}}{R_{0}} \) を持つ電流源と等価である(電流源).

したがって, 元々の回路の領域1は電流 \( I_{0} = \frac{E_{0}}{R_{0}} \) の理想電流源と並列接続された内部抵抗 \( R_{0} \) からなる電流源に置き換えることができる.

以上より, 抵抗素子や直流電源が入り乱れた回路を電流源に置き換えることが出来るという意味でのノートンの定理を示すことができた.

さらに, 電流 \( I_{0} \) の値 \( \frac{E_{0}}{R_{0}} \) は領域1の端子 \( ab \) 間を短絡したときに \( ab \) 間に流れる電流に等しいことから, 抵抗 \( R \) で生じている電位差 \( V \) は, 領域1の合成抵抗 \( R_{0} \) と, 領域1の端子 \( ab \) 間を短絡した経路に流れる電流 \( I_{0} \) を用いて \[\begin{aligned} V &= R \cdot \frac{R_{0}}{R_{0}+R} I_{0} \notag \\ &= \frac{1}{\frac{1}{R_{0}}+\frac{1}{R}}I_{0} \notag \end{aligned}\] と書くことができ, ノートンの定理の別表現も成立することが示された.

重ね合わせの理によるノートンの定理の証明

下図左には \( n \) 個の直流電圧源(起電力 \( E_{1},\ E_{2},\ \cdots ,\ E_{n} \) )と \( m \) 個の抵抗素子(抵抗 \( R_{1},\ R_{2},\ \cdots ,\ R_{n} \) )の回路網の中から抵抗を含まないある枝路を取り出した様子を描いた.

この枝路上に点 \( a \) と点 \( b \) をとり, 点 \( a \) から点 \( b \) に向けて流れる電流が \( I_{0} \) であったとする. また, \( ab \) 間に抵抗 \( R \) の抵抗素子を接続したときに, 点 \( a \) から点 \( b \) に向けて流れる電流の値が \( I \) であったとしよう.

我々の関心は, \( I_{0} \) と \( I \) との間にどんな関係が成立しているのか, である.

まず, \( ab \) 間に抵抗 \( R \) が接続されている回路について考える. そして, 抵抗 \( R \) に対して並列に, \( I_{0} \) に等しい大きさの電流を供給する2つの理想定電流源 \( I_{0}^{\prime} (=I_{0}) \) , \( I_{0}^{\prime \prime} (=I_{0}) \) を互いに逆向きに接続する.

この操作は抵抗 \( R \) に流れる電流 \( I \) の値を変えることもなく, また, \( E_{1},\ E_{2},\ \cdots ,\ E_{n} \) と \( R_{1},\ R_{2},\ \cdots ,\ R_{n} \) から成る回路網にもなんら影響を与えない.

さらに, 上図は次に示す2つの回路を重ね合わせた結果だと解釈することもできる(重ね合わせの理).

ただし, 電圧源・電流源を含んだ回路に対して重ね合わせの理を適用して電圧源・電流源を除去した回路を考える場合, 電圧源ならば短絡し, 電流源ならば開放することに注意してほしい.

重ね合わせの理により, 元々考えていた回路は電源が電流源 \( I^{\prime} \) のみである回路(左図)と \( E_{1}, E_{2}, \cdots , E_{n} \) の電圧源と \( I^{\prime \prime} \) の電流源を持つ回路(右図)との重ね合わせと考えることができる.

まず, 電源が電流源 \( I^{\prime} \) のみである回路(左図)について考えてみよう. この回路では元々の回路網に存在した \( E_{1}, E_{2}, \cdots , E_{n} \) は全て短絡され, ただの導線扱いをする.

ここで, 抵抗 \( R \) に流れる電流を \( i \) , 抵抗 \( R_{1},\ R_{2},\ \cdots ,\ R_{m} \) を含んだ回路網の合成抵抗を \( R_{0} \) とすると, \[ i^{\prime} = \frac{R_{0}}{R_{0} + R} I_{0} \label{nortpri1} \] と書き表すことができる.

次に, \( E_{1}, E_{2}, \cdots , E_{n} \) の電圧源と \( I^{\prime \prime} \) の電流源を持つ回路(右図)について考えよう.

端子 \( ab \) を短絡したときに流れる電流は \( a \) から \( b \) にむかって大きさ \( I_{0} \) であった. そして, 今考えている回路では端子 \( a \) と \( b \) を結ぶ枝路上に短絡電流と同じ向き・大きさの電流源 \( I^{\prime\prime} \) が存在している. したがって, 端子 \( a \) から流れ出る電流は全て電流源 \( I^{\prime\prime} \) を通ることになり, 抵抗 \( R \) が存在する枝路に流れる電流 \( i^{\prime \prime} \) は \( 0 \) となることがわかる. \[i^{\prime \prime} = 0 \quad . \label{nortpri2}\] したがって, 抵抗 \( R \) に流れる電流について議論する上ではこの回路による影響は無視することができるのである.

以上より, 元々考えていた回路網において抵抗 \( R \) に流れる電流 \( I \) は式\eqref{nortpri1}と式\eqref{nortpri2}より, \[\begin{aligned} I &= i^{\prime} + i^{\prime\prime} = i^{\prime} \notag \\ &= \frac{R_{0}}{R_{0} + R} I_{0} \notag \end{aligned}\] となる. ここで, \( R_{0} \) は端子 \( ab \) から抵抗 \( R \) を含まない側の回路網を眺めた時の合成抵抗である.

この電流 \( I \) が抵抗 \( R \) を通り抜けることによって生じる電圧降下 \( V \) は \[V = RI = \frac{I_{0}}{\frac{1}{R_{0}} + \frac{1}{R}} \notag\] であることがわかり, ノートンの定理が示された.