ラプラス変換の線形法則, 相似法則, (第一)移動法則

関数 \( f(t) \) のラプラス変換 \( F(s) = \mathcal{L}\left\{f(t)\right\} \) の定義 \[F(s) = \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\} = \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) \,dt \notag\] から導かれる, ラプラス変換の基本的な性質とその証明について議論しよう.

ラプラス変換の線形法則
ラプラス変換の相似法則
ラプラス変換の(第一)移動法則

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ラプラス変換の線形法則

\( a \) , \( b \) を定数とし, \( f(t) \) と \( g(t) \) を \( t \) の関数とする. このとき, \( f(t) \) のラプラス変換 \( \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\} \) と \( g(t) \) のラプラス変換 \( \mathcal{L}\left\{ g(t) \right\} \) の両方が存在するとき, 次式が成立することをラプラス変換の線形法則という. \[\mathcal{L}\left\{ af(t) + bg(t) \right\} = a \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\} + b \mathcal{L}\left\{ g(t) \right\} \quad . \label{LapBPLinear}\]

証明

式\eqref{LapBPLinear}は, ラプラス変換の定義からただちに導くことができる. \[\begin{aligned} \mathcal{L}\left\{ af(t) + bg(t) \right\} &= \int_{0}^{\infty} e^{-st} \left\{ a f(t) + b g(t) \right\} \, dt \notag \\ &= a \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) \, dt + b \int_{0}^{\infty} e^{-st} g(t) \, dt \notag \\ &= a \mathcal{L}\left\{f(t)\right\} + b \mathcal{L}\left\{g(t)\right\} \quad . \notag \end{aligned}\]

ラプラス変換の相似法則

\( a \) を定数とし, 関数 \( f(t) \) のラプラス変換を \( F(s) \) とする. このとき, 関数 \( f(at) \) のラプラス変換は次式で与えられ, ラプラス変換の相似法則という. \[\mathcal{L}\left\{ f\left( a t \right) \right\} = \frac{1}{a}F\left( \frac{s}{a}\right) \quad . \label{LapBPScale}\]

証明

式\eqref{LapBPScale}は, ラプラス変換の定義からただちに導くことができる.

ラプラス変換の定義より, \[\mathcal{L}\left\{ f\left( a t \right) \right\} = \int_{0}^{\infty} e^{-st} f\left( at \right) \, dt \notag\] であり, \( x=at \) として置換積分を行うと, \( dx = a \,dt \) より, \[\begin{aligned} \mathcal{L}\left\{ f\left( a t \right) \right\} &= \int_{0}^{\infty} e^{-s\frac{x}{a}} f\left( x \right) \frac{1}{a}\, dx \notag \\ &= \frac{1}{a} \int_{0}^{\infty} e^{ -\frac{s}{a} x } f\left( x \right) \, dx \notag \end{aligned}\] ここで, \( \displaystyle{\int_{0}^{\infty} e^{ -\frac{s}{a} x } f\left( x \right) \, dx} \) はラプラス変換 \( F(s) \) に対して \( s \to \frac{s}{a} \) という置き換えを行なったものに他ならず, 次式が得られる. \[\begin{aligned} \mathcal{L}\left\{ f\left( a t \right) \right\} &= \frac{1}{a} \int_{0}^{\infty} e^{ -\frac{s}{a} x } f\left( x \right) \, dx \notag \\ &= \frac{1}{a}F\left( \frac{s}{a}\right) \quad . \notag \end{aligned}\]

ラプラス変換の(第一)移動法則

関数 \( f(t) \) のラプラス変換を \( F(s) = \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\} \) とする. このとき, \( f(t) \) に \( e^{at} \) を乗じた関数のラプラス変換は次式で与えられ, ラプラス変換の(第一)移動法則という. \[\mathcal{L}\left\{ e^{at} f(t) \right\} = F\left( s-a \right) \label{LapBPShist1}\] ただし, ラプラス変換 \( F(s) \) が \( \mathrm{Re}\left[s\right]>\mathrm{Re}\left[ s_{0} \right] \) の領域で定義される場合, \( F(s-a) \) は \( \mathrm{Re}\left[s-a\right] > \mathrm{Re}\left[s_{0}\right] \) を満たすような領域で存在することに注意すること.

式\eqref{LapBPShist1}は, 原関数 \( f(t) \) に指数関数 \( e^{at} \) を乗じることが像関数 \( F(s) \) を \( a \) だけ平行移動させた像関数 \( F\left( s-a \right) \) を得る操作に相当することを意味している.

証明

式\eqref{LapBPShist1}は, ラプラス変換の定義からただちに導くことができる. \[\begin{aligned} \mathcal{L}\left\{ e^{at} f(t) \right\} &= \int_{0}^{\infty} e^{-st} e^{at} f(t) \, dt \notag \\ &= \int_{0}^{\infty} e^{-\left( s-a \right)t} f(t) \, dt \notag \\ &= F\left( s-a \right) \quad . \notag \end{aligned}\]

最終更新日