円運動

2次元極座標系の概要

円運動を議論するにあたり, 下図に示したような2次元極座標系に対して行った議論を引用しておく.

物体の位置 \( \vb*{r} \) , 速度 \( \vb*{v} \) , 及び加速度 \( \vb*{a} \) , を, 直交座標系 \( o-xy \) から角度 \( \theta \) だけ回転した座標系 \( o-x^{\prime}y^{\prime} \) での直交した単位ベクトル \( \vb*{e}_{r} , \vb*{e}_{\theta} \) , 及び角速度 \( \displaystyle{\omega = \dv{ \theta}{t} } \) で表すと, \[ \begin{aligned} \vb*{r} & = r\vb*{e}_r \\ \vb*{v} & = \dv{ \vb*{r} }{t} = \dv{ r}{t} \vb*{e}_r + r \omega \vb*{e}_\theta \\ \vb*{a} & = \dv[2]{\vb*{r} }{t} \\ & = \qty( \dv[2]{r}{t} – r{\omega }^2 )\vb*{e}_{r} + \frac{1}{r} \dv{t} \qty( r^2 \omega ) \vb*{e}_{\theta} \end{aligned}\] であった.

円運動の運動方程式

上記の事柄を踏まえて円運動の議論へ移ろう.

高校物理で登場する円運動とは, 下図に示すように, 座標原点から物体までの距離 \( r \) が一定の運動を意味することが多い. この場合, \[ \dv{r}{t}=0 \notag \] が成立することになる.

半径が一定という条件式を2次元極座標系の速度, 加速度に代入すると, \[ \begin{aligned} \vb*{v} & = r \omega \vb*{e}_\theta \\ \vb*{a} & = – r{\omega }^2 \vb*{e}_{r} + r \dv{ \omega}{t} \vb*{e}_{\theta} \end{aligned}\] を得る. これらの式は角度方向の速度の成分 \[ v_{\theta} = r \omega \notag \] を用いて, 次式のように表すこともできる. \[ \begin{aligned} \vb*{v} & = v_{\theta} \vb*{e}_\theta \\ \vb*{a} & = – \frac{{v_{\theta}}^2 }{r } \vb*{e}_{r} + \dv{ v_{\theta} }{t} \vb*{e}_{\theta} \quad . \end{aligned}\]

したがって, 質量 \( m \) の物体に力 \( \vb*{F} = F_{r} \vb*{e}_{r} + F_{\theta} \vb*{e}_{\theta} \) が加えられて円運動を行っているときの運動方程式は \[ \begin{aligned} & m \vb*{a} = \vb*{F} \\ \to \ & – m \frac{{v_{\theta}}^2 }{r } \vb*{e}_{r} + m \dv{ v_{\theta} }{t} \vb*{e}_{\theta} = F_{r} \vb*{e}_{r} + F_{\theta} \vb*{e}_{\theta} \end{aligned}\] であるので, 動径方向( \( \vb*{e}_r \) 方向)と角度方向( \( \vb*{e}_{\theta} \) 方向)の運動方程式はそれぞれ, \[ – m \frac{{v_{\theta}}^2 }{r }= F_r \label{PolEqr} \] \[ m \dv{ v_{\theta} }{t} = F_\theta \label{PolEqtheta_2} \] と表すことができる.

高校物理で円運動を扱う時には動径方向( \( \vb*{e}_r \) 方向)とは逆方向である向心方向( \( – \vb*{e}_r \) 方向)について整理することが多い. そこで, 向心方向の力の成分 \( F_{\substack{向心力}} \) を \( F_{\substack{向心力}} = – F_r \) で定義し, 円運動における向心方向( \( – \vb*{e}_r \) 方向)の運動方程式として次式を得る. \[ m \underbrace{\frac{{v_{\theta}}^2 }{r } }_{= r \omega^2} = F_{\substack{向心力}} \quad . \label{PolEqr_2} \] この式こそ, 高校物理で登場した円運動の運動方程式そのものである. したがって, 円運動における加速度の見た目が変わった理由は, ただ単に, 円運動を記述するために便利な座標系を選択したからというだけであり, なにも特別な運動方程式を導入したわけではない.

円筒面内での運動とエネルギー保存則

下図を例にして円運動におけるエネルギー保存則を導く.

円運動する物体に対する向心方向と接線方向の運動方程式はそれぞれ \[ m \frac{v^2}{l} = F_{\substack{向心力}} = N – mg \cos{\theta} \label{CirE1_2}\] \[ m \dv{ v }{t} = – mg \sin{\theta} \label{CirE2_2}\] 先と同様にして, 接線方向の運動方程式\eqref{CirE2_2}に速度をかけて積分することで, \[ \frac{mv^2(t)}{2} – mgl \cos{\theta(t)} = \text{一定} \notag \] というエネルギー保存則が得られる.

具体的な例として, \( t=t_1 \) で \( \theta(t_1)= 0 , v(t_1)= v_0 \) , \( t=t_2 \) で \( \theta(t_2)= \theta , v(t_2)= v \) だった場合には, \[ \begin{aligned} &\frac{mv^2(t_1)}{2} – mgl \cos{\theta(t_1)} – \qty( \frac{mv^2(t_2)}{2} – mgl \cos{\theta(t_2)} )= 0 \\ &\frac{mv_0^2}{2} – mgl – \qty( \frac{mv^2 }{2} – mgl \cos{\theta)} )= 0 \end{aligned}\] より, \[ \frac{mv^2 }{2} = \frac{mv_0^2}{2} – mgl \qty( 1 – \cos{\theta} ) \notag \] 上式を式\eqref{CirE1_2}に代入して垂直抗力 \( N \) について解くと, \[ N = \frac{m{v_0}^2}{l} + mg \qty( 3 \cos{\theta} – 2 ) \notag \] となる, こうして垂直抗力を求めれば, よくある「物体が床から離れる条件」は \( N=0 \) より, \[ \frac{m{v_0}^2}{l} = mg \qty( 2 – 3 \cos{\theta} ) \notag \] などと求まる.