円運動

円運動する物体の位置

2次元直交座標系の \( x \) 軸と \( y \) 軸の交点を原点 \( O \) とし，原点から半径 \( r \) の円軌道上を運動する物体（点 \( P \) ）に注目する．

点 \( P \) の \( x \) 及び \( y \) 座標は，点 \( P \) の \( x \) 軸からの反時計回りの回転角を \( \theta \) とすると，\( r, \theta \) を用いて次式で表現できる． \[ \begin{dcases} x = r \cos{\theta} \\ y = r \sin{\theta} \end{dcases} \]

したがって，円軌道上の点 \( P \) の物体の位置ベクトル \( \vb*{r} \) は，次のように表現される． \[ \begin{aligned} \vb*{r} & = \pqty{ x, y } \\ & = \pqty{ r\cos{\theta}, r\sin{\theta} } \quad . \end{aligned}\label{circrler} \] なお， \( \theta \) は時間変化する量であることに留意されたい．

円運動する物体の速度

次に，位置が式\eqref{circrler}で表現される物体の速度を求めよう.

位置・速度・加速度と微分で議論したように，物体の位置 \( \vb*{r} \) を時間微分することで，物体の速度 \( \vb*{v} \) が得られるのであった．

速度を求めるために，式\eqref{circrler}を時間微分を計算するわけだが，その計算において，円軌道の半径 \( r \) が時間によらず一定で， \[ \dv{r}{t} = 0 \label{drdteq0} \] を満たすことと，角度 \( \theta \) を時間微分した物理量である角振動数（以下「角周波数」ともいう。）が頻出することから，角振動数 \( \omega \) を次式で定義しておく．\[ \omega \coloneqq \dv{\theta}{t} \quad . \label{omegadef}\]

さて，式\eqref{drdteq0}及び式\eqref{omegadef}を適宜用いつつ，式\eqref{circrler}を時間微分することで，速度が次式のように求まる． \[ \begin{align} \vb*{v} &= \dv{\vb{r}}{t} \notag \\ & = \pqty{ \dv{x}{t}, \dv{y}{t} } \notag \\ & = \pqty{ \dv{ \pqty{r \cos{\theta}}}{t} , \dv{ \pqty{ r\sin{\theta}}}{t} } \notag \\ & = \pqty{ r \dv{\cos{\theta}}{t} , r \dv{\sin{\theta}}{t} } \notag \\ & = \pqty{ - r\dv{\theta}{t} \sin{\theta}, r \dv{ \theta }{t} \cos{\theta} } \notag \\ & = \pqty{ - r \omega \sin{\theta}, r \omega \cos{\theta} } \quad . \label{circrlev} \end{align} \]

円運動する物体の加速度

次に，速度が式\eqref{circrlev}であり，かつ，式\eqref{drdteq0}及び式\eqref{omegadef}を満たす物体の加速度を求めよう.

位置・速度・加速度と微分で議論したように，物体の位置 \( \vb*{v} \) を時間微分することで，物体の速度 \( \vb*{a} \) が得られるのであった．

式\eqref{drdteq0}及び式\eqref{omegadef}を適宜用いつつ，式\eqref{circrlev}を時間微分することで，加速度が次式のように求まる． \[ \begin{align} \vb*{a} &= \dv{\vb*{v}}{t} \notag \\ &= \pqty{ \dv{\pqty{ - r \omega \sin{\theta} }}{t} , \dv{\pqty{r \omega \cos{\theta}}}{t} } \notag \\ &= \pqty{ - r \dv{\pqty{\omega \sin{\theta}}}{t}, r \dv{\pqty{\omega \cos{\theta}}}{t} } \notag \\ &= \pqty{ - r \dv{\omega}{t} \sin{\theta} - r \omega \dv{\theta}{t} \cos{\theta}, r \dv{\omega}{t} \cos{\theta} - r \omega \dv{\theta}{t} \sin{\theta} } \notag \\ &= \pqty{ - r \dv{\omega}{t} \sin{\theta} - r \omega^{2} \cos{\theta}, r \dv{\omega}{t} \cos{\theta} - r \omega^{2} \sin{\theta} } \quad . \label{circlea}\end{align} \]

式\eqref{circlea}の加速度 \( \vb*{a} \) について，さらに一工夫して解釈を与えてみよう．

ベクトル量は，分解・合成ができるという大きな特徴を持つのであった．そこで，加速度 \( \vb*{a} \) を次のように変形する. \[ \begin{align} \vb*{a} & = \pqty{ - r \dv{\omega}{t}\sin{\theta} - r \omega^2 \cos{\theta}, r \dv{\omega}{t}\cos{\theta} - r \omega^2 \sin{\theta} } \notag \\ & = \pqty{ - r \omega^2 \cos{\theta}, - r \omega^2 \sin{\theta} } + \pqty{ - r \dv{\omega}{t}\sin{\theta} , r \dv{\omega}{t}\cos{\theta} } \notag \\ & = - r \omega^2 \pqty{ \cos{\theta}, \sin{\theta} } + r \dv{\omega}{t} \pqty{ - \sin{\theta} , \cos{\theta} } \quad . \label{circleadecomp} \end{align} \] ここで，\( \vb*{a}_{r}\) 及び \( \vb*{a}_{\theta} \) を \[ \begin{align} \vb*{a}_{r} & \coloneqq - r \omega^2 \pqty{ \cos{\theta}, \sin{\theta} } \label{circlear}\\ \vb*{a}_{\theta} & \coloneqq r \dv{\omega}{t} \pqty{ - \sin{\theta} , \cos{\theta} } \quad . \label{circleatheta} \end{align} \] で定義すれば，加速度の式\eqref{circlea}又は\eqref{circleadecomp} は次式のように分解できる． \[ \vb*{a} = \vb*{a}_{r} + \vb*{a}_{\theta} \quad . \label{arplusatheta}\]ここで，\( \vb*{a}_{r} \) と\( \vb*{a}_{\theta} \) は互いに直交するベクトルであることに留意されたい． \[ \begin{aligned} \vb*{a}_{r} \vdot \vb*{a}_{\theta} & = \Bqty{- r \omega^2 \pqty{ \cos{\theta}, \sin{\theta} } } \vdot \Bqty{ r \dv{\omega}{t} \pqty{ -\sin{\theta}, \cos{\theta} } } \\ & = - r^{2} \omega^{2} \dv{\omega}{t} \Bqty{ - \cos{\theta} \sin{\theta} + \sin{\theta} \cos{\theta} } \\ & = 0 \end{aligned} \]

やや唐突に導入された \( \vb*{a}_{r} \) 及び \( \vb*{a}_{\theta} \) が何を示すのかを議論しておこう．

まず \( \vb*{a}_{r} \) は式\eqref{circrler}で示された物体の位置 \( \vb*{r} \) と次のような関係に在ることに気付く．\[ \begin{align} \vb*{a}_{r} &= -r\omega^2 \pqty{ \cos{\theta} , \sin{\theta} } \notag \\ &= - \omega^2 \pqty{ r \cos{\theta} , r \sin{\theta} } \notag \\ &= - \omega^2 \vb*{r} \quad . \end{align} \] これは， \( \vb*{a}_{r} \) は位置ベクトル \( \vb*{r} \) と平行で，向きは逆向きであり，その大きさは \( \omega^2 \) 倍されたものであることがわかる．

また， \( \vb*{a}_{r} \) と \( \vb*{a}_{\theta} \) とは互いに直交するベクトルであったのだから， \( \vb*{a}_{\theta} \) は位置ベクトル \( \vb*{r} \) と直交していることもわかる．^[1]

これまでに判明したように，式\eqref{circlear}で定義した \( \vb*{a}_{r} \) は原点から位置ベクトルと同じ方向（動径方向）の加速度ベクトルであり， 式\eqref{circleatheta}で定義した \( \vb*{a}_{\theta} \) は動径方向に垂直な角度方向の加速度ベクトルであり，これらの和（合成）が円運動する物体の加速度ベクトルと一致している．

円運動の運動方程式

円運動を行う物体の位置，速度及び加速度について整理したところで，これらの情報を運動方程式 \[ m \vb*{a} = \vb*{F} \label{circleEOF1}\] に適用し，円運動の運動方程式の公式を求めておこう．

ここで，物体に働く合力 \( \vb*{F} \) についても動径方向の力 \( \vb*{F}_{r} \) と，これに垂直な角度方向の力 \( \vb*{F}_{\theta} \) とに分解して表記しておこう． \[ \vb*{F} = \vb*{F}_{r} + \vb*{F}_{\theta} \quad . \label{FrplusFtheta} \]

運動方程式\eqref{circleEOF1}に，\eqref{arplusatheta}及び\eqref{FrplusFtheta}を代入することで，運動方程式を動径方向と角度方向とに分離することができる．\[ \begin{aligned} m &\vb*{a} = \vb*{F}_{r} + \vb*{F}_{\theta} \\ \to & \ m \pqty{ \vb*{a}_{r} + \vb*{a}_{\theta} } = \vb*{F}_{r}+ \vb*{F}_{\theta} \\ \to & \ \begin{dcases} m \vb*{a}_{r} = \vb*{F}_{r} \qq{動径方向の運動方程式} \\ m \vb*{a}_{\theta} = \vb*{F}_{\theta} \qq{角度方向の運動方程式} \end{dcases} \end{aligned} \]

動径方向の運動方程式の式変形を進めよう．\[ \begin{aligned} m \vb*{a}_{r} &= \vb*{F}_{r} \\ \to \ - m \vb*{r} \omega^2 &= \vb*{F}_{r} \\ \to \ m \vb*{r} \omega^2 &= - \vb*{F}_{r} \\ \end{aligned} \] ここで，右辺の \( - \vb*{F}_{r} \) は \( \vb*{r} \) 方向とは逆方向の力であり，これを向心力 \( \vb*{F}_{\text{向心力}} \) と呼ぶことに約束しよう \[ \vb*{F}_{\text{向心力}} \coloneqq - \vb*{F}_{r} \quad . \] 向心力を用いることで，動径方向の円運動の運動方程式として次式が得られた．\[ m \vb*{r} \omega^2 = \vb*{F}_{\text{向心力}} \quad . \]

高校物理の教科書で登場している等速円運動の運動方程式 \[ m r \omega^2 = F_{\text{向心力} } \] が得られる．この右辺の力は向心方向を正としていることを再度注意しておく．

また, 速さ, 円軌道半径, 角周波数について成り立つ式 \[ v = r \omega \] をつかえば, \[ m \frac{v^2}{r} = F_{\text{向心力} } \] となる.

このうち，角度方向の運動方程式は，円運動している物体のエネルギー保存則などで用いられる．

このように, 角振動数が一定でないような円運動であっても, 高校物理の教科書に登場している(動径方向に対する)円運動の方程式はその形が変わらないのである.

この事実はとてもありがたく, 重力が作用している物体が円筒面内を回るときなどに皆さんが円運動の方程式を書くときにはこのようなことが暗黙のうちに使われていた.

しかし, 動径方向の運動方程式の形というのが角振動数が時間の関数かどうかによらないことは, ご覧のとおりそんなに自明なことではない. こういったことをきちんと議論できるのは微分・積分といった数学の恩恵であろう.

2次元極座標系の概要

円運動を議論するにあたり, 下図に示したような2次元極座標系に対して行った議論を引用しておく.

物体の位置 \( \vb*{r} \) , 速度 \( \vb*{v} \) , 及び加速度 \( \vb*{a} \) , を, 直交座標系 \( o-xy \) から角度 \( \theta \) だけ回転した座標系 \( o-x^{\prime}y^{\prime} \) での直交した単位ベクトル \( \vb*{e}_{r} , \vb*{e}_{\theta} \) , 及び角速度 \( \displaystyle{\omega = \dv{ \theta}{t} } \) で表すと, \[ \begin{aligned} \vb*{r} & = r\vb*{e}_r \\ \vb*{v} & = \dv{ \vb*{r} }{t} = \dv{ r}{t} \vb*{e}_r + r \omega \vb*{e}_\theta \\ \vb*{a} & = \dv[2]{\vb*{r} }{t} \\ & = \pqty{ \dv[2]{r}{t} - r{\omega }^2 } \vb*{e}_{r} + \frac{1}{r} \dv{t}\pqty{ r^2 \omega } \vb*{e}_{\theta} \end{aligned} \] であった.

円運動の運動方程式

上記の事柄を踏まえて円運動の議論へ移ろう.

高校物理で登場する円運動とは, 下図に示すように, 座標原点から物体までの距離 \( r \) が一定の運動を意味することが多い. この場合, \[ \dv{r}{t}=0 \notag \] が成立することになる.

半径が一定という条件式を2次元極座標系の速度, 加速度に代入すると, \[ \begin{aligned} \vb*{v} & = r \omega \vb*{e}_\theta \\ \vb*{a} & = - r{\omega }^2 \vb*{e}_{r} + r \dv{ \omega}{t} \vb*{e}_{\theta} \end{aligned} \] を得る. これらの式は角度方向の速度の成分 \[ v_{\theta} = r \omega \notag \] を用いて, 次式のように表すこともできる. \[ \begin{aligned} \vb*{v} & = v_{\theta} \vb*{e}_\theta \\ \vb*{a} & = - \frac{{v_{\theta}}^2 }{r } \vb*{e}_{r} + \dv{ v_{\theta} }{t} \vb*{e}_{\theta} \quad . \end{aligned} \]

したがって, 質量 \( m \) の物体に力 \( \vb*{F} = F_{r} \vb*{e}_{r} + F_{\theta} \vb*{e}_{\theta} \) が加えられて円運動を行っているときの運動方程式は \[ \begin{aligned} & m \vb*{a} = \vb*{F} \\ \to \ & - m \frac{{v_{\theta}}^2 }{r } \vb*{e}_{r} + m \dv{ v_{\theta} }{t} \vb*{e}_{\theta} = F_{r} \vb*{e}_{r} + F_{\theta} \vb*{e}_{\theta} \end{aligned} \] であるので, 動径方向( \( \vb*{e}_r \) 方向)と角度方向( \( \vb*{e}_{\theta} \) 方向)の運動方程式はそれぞれ, \[ - m \frac{{v_{\theta}}^2 }{r }= F_r \label{PolEqr} \] \[ m \dv{ v_{\theta} }{t} = F_\theta \label{PolEqtheta_2} \] と表すことができる.

高校物理で円運動を扱う時には動径方向( \( \vb*{e}_r \) 方向)とは逆方向である向心方向( \( - \vb*{e}_r \) 方向)について整理することが多い. そこで, 向心方向の力の成分 \( F_{\substack{向心力}} \) を \( F_{\substack{向心力}} = - F_r \) で定義し, 円運動における向心方向( \( - \vb*{e}_r \) 方向)の運動方程式として次式を得る. \[ m \underbrace{\frac{{v_{\theta}}^2 }{r } }_{= r \omega^2} = F_{\substack{向心力}} \quad . \label{PolEqr_2} \] この式こそ, 高校物理で登場した円運動の運動方程式そのものである. したがって, 円運動における加速度の見た目が変わった理由は, ただ単に, 円運動を記述するために便利な座標系を選択したからというだけであり, なにも特別な運動方程式を導入したわけではない.

円筒面内での運動とエネルギー保存則

下図を例にして円運動におけるエネルギー保存則を導く.

円運動する物体に対する向心方向と接線方向の運動方程式はそれぞれ \[ m \frac{v^2}{l} = F_{\substack{向心力}} = N - mg \cos{\theta} \label{CirE1_2} \] \[ m \dv{ v }{t} = - mg \sin{\theta} \label{CirE2_2} \] 先と同様にして, 接線方向の運動方程式\eqref{CirE2_2}に速度をかけて積分することで, \[ \frac{mv^2(t)}{2} - mgl \cos{\theta(t)} = \text{一定} \notag \] というエネルギー保存則が得られる.

具体的な例として, \( t=t_1 \) で \( \theta(t_1)= 0 , v(t_1)= v_0 \) , \( t=t_2 \) で \( \theta(t_2)= \theta , v(t_2)= v \) だった場合には, \[ \begin{aligned} &\frac{mv^2(t_1)}{2} - mgl \cos{\theta(t_1)} - \pqty{ \frac{mv^2(t_2)}{2} - mgl \cos{\theta(t_2)} }= 0 \\ &\frac{mv_0^2}{2} - mgl - \pqty{ \frac{mv^2 }{2} - mgl \cos{\theta}} = 0 \end{aligned} \] より, \[ \frac{mv^2 }{2} = \frac{mv_0^2}{2} - mgl \pqty{ 1 - \cos{\theta} } \notag \] 上式を式\eqref{CirE1_2}に代入して垂直抗力 \( N \) について解くと, \[ N = \frac{m{v_0}^2}{l} + mg \pqty{ 3 \cos{\theta} - 2 } \notag \] となる, こうして垂直抗力を求めれば, よくある「物体が床から離れる条件」は \( N=0 \) より, \[ \frac{m{v_0}^2}{l} = mg \pqty{ 2 - 3 \cos{\theta} } \notag \] などと求まる.