交換関係・反交換関係と諸公式

交換関係

物理量またはある演算子 \( A , B \) に対して， \( \comm{\textcolor{gray}\cdot }{\textcolor{gray}\cdot } \) という記号を用いて次のような量を定義する．\[ \comm{A}{B} \coloneqq AB - BA \quad . \] 記号 \( \comm{\textcolor{gray}\cdot}{\textcolor{gray}\cdot} \) を交換子という．

同様に，物理量またはある演算子 \( A , B \) に対して， \( \acomm{\textcolor{gray}\cdot}{\textcolor{gray}\cdot }\) という記号を用いて次のような量を定義する．\[ \acomm{A}{B} \coloneqq AB + BA \quad . \] 記号 \( \acomm{\textcolor{gray}\cdot }{\textcolor{gray}\cdot } \) を反交換子という．

\( A , B \) がただの数である場合には，\[ AB = BA \ \iff \ \comm{A}{B} = 0 \label{ok} \] が成立する． この関係を当たり前のように思う人もいるかもしれないが，実は一般的な，広い意味での数について考えるとき，式\eqref{ok}を満たすような数ばかりとは限らない．

式\eqref{ok}を満たすような \( A , B \) は可換であると言われる．

高校では積の順序関係で値が変わることがないような(可換な)代数ばかりが扱われている^[1]が，一般的には数や演算子は可換であるとは限らない．外積計算を知っているならば想像しやすいと思うが，計算結果が積の順序に依存する場合もあるのである．

以下では， \( A, B, C, D, E \) などは互いに可換ではない(非可換)とし， \( \lambda \) (ラムダ)をただの数として扱う．

交換関係・反交換関係の基本性質と代表公式

自分自身との交換関係は \( 0 \) である．

\[ \comm{A}{A} = 0 \]

交換子の順序の入れ替えは符号をかえる．

\[ \comm{A}{B} = - \comm{B}{A} \]

交換子は次式の線形関係を満たす．

\[ \comm{A}{B+C} = \comm{A}{B} + \comm{A}{C} \]

交換子は次式のライプニッツ則を満たす．

\[ \comm{A}{BC} = B\comm{A}{C} + \comm{A}{B} C \]

交換子について成り立つ次式はヤコビの恒等式と言われる．

\[ \comm{ A }{ \comm{B}{C} } + \comm{ B }{ \comm{C}{A} } + \comm{ C }{ \comm{A}{B} } = 0 \]

数は交換子を通り抜ける．

\[ \comm{\lambda A}{B} = \lambda \comm{A}{B} \]

反交換関係は順序の入れ替えで符号をかえない．

\[ \acomm{A}{B} = \acomm{B}{A} \]

交換関係・反交換関係の諸公式

\[ \comm{A}{B} = - \comm{B}{A} \] \[ \comm{A}{B+C} = \comm{A}{B} + \comm{A}{C} \] \[ \comm{A+B}{C+D} = \comm{A}{C} + \comm{A}{D} + \comm{B}{C} + \comm{B}{D} \] \[ \comm{A}{\comm{B}{C}} + \comm{B}{\comm{C}{A}} + \comm{C}{\comm{A}{B}} = 0 \] \[ \comm{A}{BC} = B \comm{A}{C} + \comm{A}{B} C \] \[ \comm{AB}{C} = A \comm{B}{C} + \comm{A}{C} B \] \[ \comm{AB}{C} + \comm{BC}{A} + \comm{CA}{B} = 0 \] \[ \comm{AB}{CD} = A \comm{B}{C} D + AC \comm{B}{D} + \comm{A}{C} DB + C \comm{A}{D} B \] \[ \comm{ABC}{D} = \comm{A}{D} BC + A \comm{B}{D} C + AB \comm{C}{D} \] \[ \comm{ABCD}{E} = \comm{A}{E} BCD + A \comm{B}{E} CD + AB \comm{C}{E} D + ABC \comm{D}{E} \] \[ \comm{ \comm{ \comm{ A } { B } }{ C } }{D} + \comm{ \comm{ \comm{ B } { C } }{ D } }{A} + \comm{ \comm{ \comm{ C } { D } }{ A } }{B} + \comm{ \comm{ \comm{ D } { A } }{ B } }{C} = \comm{ \comm{A}{C} }{ \comm{B}{D} } \] \[ \begin{aligned} \comm{A^n}{B} &= A^{n-1} \comm{A}{B} + A^{n-2} \comm{A}{B} A + A^{n-3} \comm{A}{B} A^{2} + \cdots \\ &= \sum_{k=1}^{n-1} A^{n-k} \comm{A}{B} A^{k-1} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} \comm{A}{B^n} &= B^{n-1} \comm{A}{B} + B^{n-2} \comm{A}{B} B + B^{n-3} \comm{A}{B} B^{2} + \cdots \\ &= \sum_{k=1}^{n-1} B^{n-k} \comm{A}{B} B^{k-1} \end{aligned} \] \[ \acomm{A}{B} = \acomm{B}{A} \] \[ \acomm{A}{B+C} = \acomm{A}{B} + \acomm{A}{C} \] \[ \comm{A}{BC} = \acomm{A}{B} C - B \acomm{A}{C} \] \[ \comm{A}{B} = A \acomm{B}{C} - \acomm{A}{C} B \] \[ \comm{A}{\acomm{B}{C}} + \comm{B}{\acomm{C}{A}} + \comm{C}{\acomm{A}{B}} = 0 \] \[ AB = \frac{ \comm{A}{B} + \acomm{A}{B} }{2} \]

指数関数が絡む公式

以下では， \[ \exp{\qty[x]} \coloneqq e^{x} \] とし，演算子 \( X \) が指数部にある場合， \[ \begin{aligned} \exp{\qty[ X ] } & = 1 + X + \frac{1}{2!}X^2+ \frac{1}{3!}X^3+ \cdots \\ & = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}X^{n} \end{aligned} \] で定義する．これを適宜用いるなどすることで下記の公式郡が得られる．

ベーカー・キャンベル・ハウスドルフの公式 \[ e^{A} e^{B} = \exp{ \left[ A + B + \frac{1}{2}{ \comm{A}{B} } + \frac{1}{12} \qty( \comm{A}{\comm{A}{B}} + \comm{B}{\comm{B}{A}}) + \cdots \right.} \] この公式は \( A \) と \( B \) が可換でないと，いわゆる指数法則 \( a^m a^n = a^{m+n} \) が成立していないことを意味している．

\[ e^{\lambda A} B e^{ - \lambda A} = B + \lambda \comm{A}{B} + \frac{\lambda^2}{2!} \comm{A}{\comm{A}{B}} + \frac{\lambda^3}{3!} \comm{A}{\comm{A}{\comm{A}{B}}} + \cdots \] \[ e^{\lambda A} B e^{\lambda A} = B + \lambda \acomm{A}{B} + \frac{\lambda^2}{2!} \acomm{A}{\acomm{A}{B}} + \frac{\lambda^3}{3!} \acomm{A}{\acomm{A}{\acomm{A}{B}}} + \cdots \]

\( \comm{A}{\comm{A}{B}} = \comm{B}{\comm{A}{B}} = 0 \) のとき

物理では，\[ \comm{A}{\comm{A}{B}} = \comm{B}{\comm{A}{B}} =0 \] を満たすような量について興味が有ることが多い．この場合にはいくつかの公式を単純化することができる．

\[ \comm{A^n}{B} = n \comm{A}{B} A^{n-1} \] \[ \comm{A}{B^n} = n B^{n-1} \comm{A}{B} \] \[\comm{e^{\lambda A}}{B} = \lambda \comm{A}{B} e^{\lambda A} \] \[ e^{A} e^{B} = \exp{ \qty[ A+ B + \frac{1}{2} \comm{A}{B} ] } \] \[ e^{A+B} = e^{A}e^{B}\exp{ \qty[ -\frac{1}{2} \comm{A}{B} ] }\] \[ e^{A} e^{B} = e^{ \comm{A}{B} }e^{B}e^{A} \] \[ e^{ - \lambda A} B e^{\lambda A } = B - \lambda \comm{A}{B} \] \[ e^{ - \lambda A} B^{n} e^{\lambda A } = \qty( B - \lambda \comm{A}{B} )^{n} \]