直交した2軸で作られる座標系を2次元直交座標系，互いに直交した3軸で作られる座標系を3次元直交座標系という。
2次元直交座標系及び3次元直交座標系では，位置ベクトル \( \vb*{r} \) はそれぞれ次のように表される。 \[ \begin{aligned} \vb*{r}&=(x, y) = x \vb*{e}_{x}+ y \vb*{e}_{y} \qq{（2次元直交座標系）} \\ \vb*{r}&=(x,y, z) = x \vb*{e}_{x} + y \vb*{e}_{y} + z \vb*{e}_{z} \qq{（3次元直交座標系）} \end{aligned} \] ここで，\( \vb*{e}_{x}, \vb*{e}_{y}, \vb*{e}_{z} \) は各軸方向を向いた，大きさが \( 1 \) の単位ベクトルである。
物体の位置や運動の方向を記述するにあたって，「ソコ」や「アッチ」といった表現では明らかに都合が悪い。 このような曖昧な表現を避け，万人が共通に理解・議論することができるように座標系を定めよう。 状況に応じた適切な座標系を定めることができれば，簡潔かつ明瞭に物理を記述することができる。
まずは最も単純な座標系として，各座標軸が互いに直交する直交座標系について議論し，さいごに座標系に関していくつか補足を与えることとする。
以下では， ベクトル を用いて議論を行う。
ベクトルとは，大きさと向きをもった量であり，いくつかの数字の組をひとまとまりに扱うことを可能としてくれる。 ある量 \( a \) がベクトルであることを示す時には，記号の上に矢印 \( \rightarrow \) をつけて \( \vec{a} \) と表したり，太字 \( \vb*{a} \) で表現する。
当サイトでは，ベクトルを大文字で表す。
2次元直交座標
平面上の適当な原点からある位置を指し示すきには，縦・横といった具合に互い直交した二つの数の組で指定可能である。
例えば，机の上に置かれた消しゴムの位置を指し示すことを考えよう。 事前に，机の四隅のいずれか一箇所を基準（原点）にとり，縦方向と（これに直交する）横方向を事前に取り決めておけば，「縦方向に \( 5\,\mathrm{cm} \) ，横方向に \( 12\,\mathrm{cm} \) の位置」と記述することで，曖昧さを残さずに消しゴムの位置を指し示すことができる。
このような考え方をより一般化し，平面上のある点 \( P \) の位置を記述する方法について考えよう。
2次元直交座標系とは，下図に示すように二つの数直線が直交するような座標系のことをいう。 このとき，二つの数直線をそれぞれ \( x \) 軸，\( y \) ，それらの交点を原点 \( O \) と呼ぶ。
各座標軸の正方向を明示的に表す時には正方向に矢印を書き加えて表現する。 下図の場合，右向きが \( x \) 軸の正の方向であり，\( x \) 軸の正方向に対して反時計回りに \( 90^{\circ} \) 回転した方向が \( y \) 軸の正方向である[1]。
このような座標軸を設定することで，点 \( P \) の位置は \( x \) 軸上の値と \( y \) 軸上の値の両方を指定することで指定できるようになる。
点 \( P(x, y) \) と書いたときには，点 \( P \) から \( x \) 軸におろした垂線と \( x \) 軸との交点の値（ \( x \) 座標成分）が \( x \) であり，点 \( P \) から \( y \) 軸におろした垂線と \( y \) 軸との交点の値（ \( y \) 座標成分）が \( y \) であることを表している。
ここで，原点 \( O \) から点 \( P \) へと伸ばした有向線分で指定する位置ベクトルを導入しよう。 2次元直交座標系の場合，点 \( P(x, y) \) を表す位置ベクトル \( \vb*{r} \) は \[\vb*{r}=\qty(x, y) \] で表す。
このような二つの量で指定できるベクトルのことを，2次元ベクトル又は平面ベクトルという。
ベクトルの性質の詳細についてはベクトルの項を参照していただきたい.
\( x \) 軸, \( y \) 軸それぞれの正の方向を向いた大きさが \( 1 \) であるようなベクトルを単位ベクトルといい,記号\(\vb*{e}_{x}\),\(\vb*{e}_{y}\)で表すことにする.\[\begin{aligned}\vb*{e}_{x}&=\qty(1,0)\notag\\\vb*{e}_{y}&=\qty(0,1)\notag\end{aligned}\quad.\notag\]そして,2次元直交座標系の位置ベクトル\(\vb*{r}=\qty(x,y)\)は,単位ベクトルをもちいて次のように書くことができる.\[\begin{aligned}\vb*{r}&=\qty(x,y)\notag\\&=\qty(x,0)+\qty(0,y)\notag\\&=x\vb*{e}_{x}+y\vb*{e}_{y}\notag\end{aligned}\]なお,直交する二つの単位ベクトル\(\vb*{e}_{x}\)と\(\vb*{e}_{y}\)との内積\(\vb*{e}_{x}\cdot\vb*{e}_{y}\)はゼロであり,\[\vb*{e}_{x}\cdot\vb*{e}_{y}=0\notag\]が成立している.
3次元直交座標
続いては, 空間上のある点 \( P \) の位置を記述する方法について考えよう. 以下の議論は, 平面の場合のそれの素直な拡張である.
空間上のある位置を指定するときには縦, 横, 高さといった具合に互い独立した三つの数の組でもって指定することが可能となる.
3次元直交座標系とは, 下図に示すように, 三つの座標軸( \( x \) 軸, \( y \) 軸, \( z \) 軸)が原点 \( O \) で互いに直交するように交わっている座標系のことを指す.
\( z \) 軸の正方向をどちら向きにとるかの任意性が残っているが, 下図のような正方向の決め方をした座標系を右手系といい, 下図とは \( z \) 軸の正方向が反対にしたような座標系を左手系という. 物理分野では, 特に断りのない限り右手系で議論がなされているとして良い.
点 \( P(x, y, z) \) を表す位置ベクトルも平面ベクトルのときのそれの素直な拡張であり, ベクトルの成分が一つ増えた3次元[空間]ベクトル \[\vb*{r} = \qty( x, y, z ) \notag\] で表すことにする.
また, \( x \) 軸, \( y \) 軸, \( z \) 軸それぞれの正の方向を向いた大きさが \( 1 \) であるようなベクトルを単位ベクトルといい,記号\(\vb*{e}_{x}\),\(\vb*{e}_{y}\),\(\vb*{e}_{z}\)で表すことにする.\[\begin{aligned}\vb*{e}_{x}&=\qty(1,0,0)\notag\\\vb*{e}_{y}&=\qty(0,1,0)\notag\\\vb*{e}_{z}&=\qty(0,0,1)\notag\end{aligned}\quad.\notag\]三次元の位置ベクトル\(\vb*{r}=\qty(x,y,z)\)は,単位ベクトルをもちいて次のように書くことができる.\[\vb*{r}=x\vb*{e}_{x}+y\vb*{e}_{y}+z\vb*{e}_{z}\quad.\notag\]なお,直交する三つの単位ベクトルのうち,互いに異なる二つのベクトルの内積はゼロとなる.\[\vb*{e}_{x}\cdot\vb*{e}_{y}=\vb*{e}_{y}\cdot\vb*{e}_{z}=\vb*{e}_{z}\cdot\vb*{e}_{x}=0\notag\quad.\]
その他の座標系
ここで，座標系の設定は人間が好き勝手に行うものであり,座標系の設定の仕方によって何か物理現象が変わるわけではないということを補足しておく。 座標系の設定は， 注目している運動の性質が一番良く分かるような座標系の設定を自身で行えるようになることは後々非常に重要な事項となる.
以上では直交座標系のみを考えた. しかし, 冒頭でも述べたように, 座標系とは人間が自然現象を的確に述べるための共通の目盛りとしてしいたものであるので, 様々な目盛りのとり方が存在してもよい.
物理現象によっては直交座標系以外で議論したほうが便利なこともある. 実際, 原点周りを円運動しているような物体についてを議論するときには下図左のような碁盤の目状の直交座標系ではなく,極座標系と呼ばれる円形の目盛りを持った下図右のような座標系を考えたほうが都合がよいことをいずれ取り扱う.
2次元極座標系の運動方程式
- このような \( x \) 軸と \( y \) 軸の向きの関係を右手系などと呼ぶ。[↩]