クーロン力による単振動

クーロン力による単振動

下図に示すように, ( x ) 軸および ( y ) 軸を設定し, ( x ) 軸上の点 ( Aleft(-L,0right) ) , ( Bleft(L,0right) ) の2箇所に正の電荷 ( Q(>0) ) を固定した. さらに, ( y ) 軸上の点 ( Pleft(0,lright) ) に負の電荷 ( -q , ( q>0) ) を持つ質量 ( m ) の小物体を置いた.

このとき, 次の問に答えよ. ただしクーロン定数を ( k ) とする.

小物体を点 ( P ) に固定した時に小物体が受けるクーロン力の大きさとその方向を求めよ.

( l ) は ( L ) に比べて十分に小さく, ( frac{l^2}{L^2} approx 0 ) という近似が成立しているとする. このような仮定のもとで点 ( P ) で固定されていた小物体の固定を静かに外すと, 小物体は単振動を行なった.

単振動の周期 ( T ) を求めよ.


距離 ( r ) だけ離れた電荷 ( Q_{1} ) , ( Q_{2} ) の物体間に働くクーロン力 ( boldsymbol{F} ) の大きさ ( F ) は [F = kfrac{Q_{1}Q_{2}}{r^2} notag ] であり, 電荷が同符号ならば斥力, 同符号ならば引力となるのであった.

点 ( A ) の電荷が点 ( P ) の電荷に加えるクーロン力 ( boldsymbol{F}_{A} )の大きさ ( F_{A} ) は, 線分 ( AP ) の長さ ( r ) は三平方の定理により, [r^2 = L^2 + l^2 notag ] を満たしていることに注意すると, [begin{aligned} F_{A} &= kfrac{qQ}{r^2} \ &= kfrac{qQ}{L^2 + l^2 } quad . end{aligned}]

点 ( B ) の電荷が点 ( P ) の電荷に加えるクーロン力 ( boldsymbol{F}_{B} ) の大きさ ( F_{B} ) も同様に, [F_{B} = kfrac{qQ}{L^2 + l^2 } notag ] であり, ( F_{A}=F_{B} ) が成立している.

( boldsymbol{F}_{A} ) の方向は点 ( P ) から点 ( A ) へ向かう方向であり, ベクトル ( left( -L, -lright) ) に平行である. 下図に示すとおり, このベクトルが ( y ) 軸と成す角を ( theta ) とすると, [left{ begin{aligned} sin{theta} &= frac{L}{sqrt{L^2+l^2}} \ cos{theta} &= frac{l}{sqrt{L^2+l^2}} end{aligned} right.] で与えられる.

したがって, クーロン力 ( boldsymbol{F}_{A} ) は [begin{aligned} boldsymbol{F}_{A} &= left( -F_{A} sin{theta}, – F_{A} cos{theta} right) \ &= left( -kfrac{qQ}{L^2 + l^2 } cdot frac{L}{sqrt{L^2+l^2}} , – kfrac{qQ}{L^2 + l^2 } cdot frac{l}{sqrt{L^2+l^2}} right) \ &= left( -kfrac{qQ}{left(L^2 + l^2 right)^{frac{3}{2}}}L , -kfrac{qQ}{left(L^2 + l^2 right)^{frac{3}{2}}}l right) end{aligned}] で与えられる.

全く同様にして, クーロン力 ( boldsymbol{F}_{B} ) は ( x ) 軸方向についてのみ対称であることから, [boldsymbol{F}_{B} = left( kfrac{qQ}{left(L^2 + l^2 right)^{frac{3}{2}}}L , -kfrac{qQ}{left(L^2 + l^2 right)^{frac{3}{2}}}l right) quad . notag ]

以上より, 小物体に働く合力 ( boldsymbol{F} ) は [begin{aligned} boldsymbol{F} &= boldsymbol{F}_{A} + boldsymbol{F}_{B} \ &= left( -kfrac{qQ}{left(L^2 + l^2 right)^{frac{3}{2}}}L , -kfrac{qQ}{left(L^2 + l^2 right)^{frac{3}{2}}}l right) + left( kfrac{qQ}{left(L^2 + l^2 right)^{frac{3}{2}}}L , -kfrac{qQ}{left(L^2 + l^2 right)^{frac{3}{2}}}l right) \ &= left( 0 , -2kfrac{qQ}{left(L^2 + l^2 right)^{frac{3}{2}}}l right)end{aligned}] であり, 小物体に働く力の大きさは ( displaystyle{ 2kfrac{qQ}{left(L^2 + l^2 right)^{frac{3}{2}}}l } ) で, その方向は ( y ) 軸方向下向きである.

近似式 [frac{l^2}{L^2} approx 0 notag ] を用いると, 小物体に働く力 ( boldsymbol{F} )は [begin{aligned} boldsymbol{F} &= left( 0 , -2kfrac{qQ}{left(L^2 + l^2 right)^{frac{3}{2}}}l right) \ &= left( 0 , -2kfrac{qQ}{left{L^2 left(1 + frac{l^2}{L^2} right)right}^{frac{3}{2}}}l right) \ &approx left( 0 , -2kfrac{qQ}{L^3}l right) \end{aligned}] となり, 点 ( P ) の ( y ) 座標に比例する力とみなすことができる.

したがって, 点 ( P ) から静かに手を離したのち, 点 ( left( 0, y right) ) に存在する小物体に働くクーロン力は [boldsymbol{F} approx left( 0 , -2kfrac{qQ}{L^3}y right) notag ] となる. 小物体の ( y ) 軸方向の加速度を ( a_{y} ) とすると, ( y ) 軸方向の運動方程式は [ma_{y} = -2kfrac{qQ}{L^3}y notag ] と表すことができる. これは ( omega ) を [omega^2 mathrel{mathop:}= 2kfrac{qQ}{mL^3} notag ] で定義すると, [a_{y} = -2kfrac{qQ}{mL^3}y = – omega^2 y notag ] であり, 角振動数 ( omega ) の単振動を行うことが分かる.

したがって, この小物体の運動の周期 ( T ) は [T = frac{2pi}{omega} = 2 pi sqrt{frac{mL^3}{2kqQ} } notag ] であることがわかる.

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