スカラー3重積
3次元直交空間ベクトルの単位ベクトル \( \vb*{e}_{x} \) , \( \vb*{e}_{y} \) , \( \vb*{e}_{z} \) を \[\begin{aligned} \vb*{e}_{x} &= \left( 1, 0, 0 \right) \\ \vb*{e}_{y} &= \left( 0, 1, 0 \right) \\ \vb*{e}_{z} &= \left( 0, 0, 1 \right) \end{aligned}\] と定義する. このような単位ベクトルを用いることで, 空間ベクトル \( \vb*{A} \) , \( \vb*{B} \) , \( \vb*{C} \) は \[\begin{aligned} \vb*{A} &= \left( A_{x}, A_{y}, A_{z} \right) = A_{x} \vb*{e}_{x} + A_{y} \vb*{e}_{y} + A_{z} \vb*{e}_{z} \\ \vb*{B} &= \left( B_{x}, B_{y}, B_{y} \right) = B_{x} \vb*{e}_{x} + B_{y} \vb*{e}_{y} + B_{z} \vb*{e}_{z} \\ \vb*{C} &= \left( C_{x}, C_{y}, C_{z} \right) = C_{x} \vb*{e}_{x} + C_{y} \vb*{e}_{y} + C_{z} \vb*{e}_{z} \end{aligned}\] と表すことが出来る.
3次元空間のベクトルに対しては外積という演算を定義することができ, これは2つのベクトルからあらたなベクトルを定義する演算である. したがって, 空間ベクトルの積には内積と外積とを定義することができ, 内積演算を表す記号 \( \cdot \) (ドット)と区別して, 外積演算を表す記号を \( \times \) (クロス)とする.
空間ベクトルの単位ベクトルについては次のような関係が成立する. \[\begin{aligned} & \vb*{e}_{x} \times \vb*{e}_{x} = \vb*{e}_{y} \times \vb*{e}_{y} =\vb*{e}_{z} \times \vb*{e}_{z} = \vb*{0} \\ & \vb*{e}_{x} \times \vb*{e}_{y} = – \vb*{e}_{y} \times \vb*{e}_{x} = \vb*{e}_{z} \\ & \vb*{e}_{y} \times \vb*{e}_{z} = – \vb*{e}_{z} \times \vb*{e}_{y} = \vb*{e}_{x} \\ & \vb*{e}_{z} \times \vb*{e}_{x} = – \vb*{e}_{x} \times \vb*{e}_{z} = \vb*{e}_{y} \end{aligned}\]
上記の定義からわかるように, 外積演算は積の順序を勝手に入れ換えることは許されず, 積の順序を入れ替えると符号が反転する性質を持っている. ただし, ベクトル \( \vb*{A} \) , \( \vb*{B} \) , \( \vb*{C} \) とスカラー \( k \) , \( l \) , \( m \) について次のような法則は成立する \[k\vb*{A} \times \left( l\vb*{B} + m\vb*{C} \right) = kl\left(\vb*{A} \times \vb*{B}\right) + km\left( \vb*{A}\times \vb*{C} \right) \quad . \notag \] このとき, 次の問に答えよ.
ベクトル \( \vb*{C} = \left( C_{x}, C_{y}, C_{z} \right) \) をベクトル \( \vb*{A} = \left( A_{x}, A_{y}, A_{z} \right) \) とベクトル \( \vb*{B} = \left( B_{x}, B_{y}, B_{z} \right) \) を用いて \[\vb*{C} = \vb*{A} \times \vb*{B} \notag \] と定義した時, \( C_{x} \) , \( C_{y} \) , \( C_{z} \) をそれぞれ求めよ.
次の公式を証明せよ. \[\vb*{A} \cdot \left( \vb*{B} \times \vb*{C} \right) = \vb*{B} \cdot \left( \vb*{C} \times \vb*{A} \right) = \vb*{C} \cdot \left( \vb*{A} \times \vb*{B} \right) \notag \]
解答1
定義に従って計算する. \[\begin{aligned} & \vb*{A} \times \vb*{B} = \left( A_{x} \vb*{e}_{x} + A_{y} \vb*{e}_{y} + A_{z} \vb*{e}_{z} \right) \times \left( B_{x} \vb*{e}_{x} + B_{y} \vb*{e}_{y} + B_{z} \vb*{e}_{z} \right) \\ & \phantom{\vb*{A} \times \vb*{B}}= A_{x} \vb*{e}_{x} \times \left( B_{x} \vb*{e}_{x} + B_{y} \vb*{e}_{y} + B_{z} \vb*{e}_{z} \right) \\ & \phantom{\vb*{A} \times \vb*{B}} + A_{y} \vb*{e}_{y} \times \left( B_{x} \vb*{e}_{x} + B_{y} \vb*{e}_{y} + B_{z} \vb*{e}_{z} \right) \\ & \phantom{\vb*{A} \times \vb*{B}} + A_{z} \vb*{e}_{z} \times \left( B_{x} \vb*{e}_{x} + B_{y} \vb*{e}_{y} + B_{z} \vb*{e}_{z} \right) \\ & \phantom{\vb*{A} \times \vb*{B}}= A_{x} B_{x}\vb*{e}_{x} \times \vb*{e}_{x} + A_{x} B_{y} \vb*{e}_{x} \times \vb*{e}_{y} + A_{x} B_{z} \vb*{e}_{x} \times \vb*{e}_{z} \\ & \phantom{\vb*{A} \times \vb*{B}}+ A_{y} B_{x} \vb*{e}_{y} \times \vb*{e}_{x} + A_{y} B_{y} \vb*{e}_{y} \times \vb*{e}_{y} + A_{y} B_{z} \vb*{e}_{y} \times \vb*{e}_{z} \\ & \phantom{\vb*{A} \times \vb*{B}}+ A_{z} B_{x} \vb*{e}_{z} \times \vb*{e}_{x} + A_{z} B_{y} \vb*{e}_{z} \times \vb*{e}_{y} + A_{z} B_{z} \vb*{e}_{z} \times \vb*{e}_{z} \\ & \phantom{\vb*{A} \times \vb*{B}}= \vb*{0} + A_{x} B_{y} \vb*{e}_{z} – A_{x} B_{z} \vb*{e}_{y} \\ & \phantom{\vb*{A} \times \vb*{B}}- A_{y} B_{x} \vb*{e}_{z} + \vb*{0} + A_{y} B_{z} \vb*{e}_{x} \\ & \phantom{\vb*{A} \times \vb*{B}}+ A_{z} B_{x} \vb*{e}_{y} – A_{z} B_{y} \vb*{e}_{x} + \vb*{0} \\ & \phantom{\vb*{A} \times \vb*{B}}= \left( A_{y} B_{z} – A_{z} B_{y} \right) \vb*{e}_{x} \\ & \phantom{\vb*{A} \times \vb*{B}}+ \left( A_{z} B_{x} – A_{x} B_{z} \right) \vb*{e}_{y} \\ & \phantom{\vb*{A} \times \vb*{B}}+ \left( A_{x} B_{y} – A_{y} B_{x} \right) \vb*{e}_{z} \end{aligned}\] \[\therefore \ \left\{ \begin{aligned} C_{x} &= \left( A_{y} B_{z} – A_{z} B_{y} \right) \\ C_{y} &= \left( A_{z} B_{x} – A_{x} B_{z} \right) \\ C_{z} &= \left( A_{x} B_{y} – A_{y} B_{x} \right) \end{aligned} \right.\]
前問の結果を利用すると, \[\begin{aligned} & \vb*{C} \cdot \left( \vb*{A} \times \vb*{B} \right) = \left( C_{x}, C_{y}, C_{z} \right) \cdot \left( A_{y} B_{z} – A_{z} B_{y} , A_{z} B_{x} – A_{x} B_{z}, A_{x} B_{y} – A_{y} B_{x} \right) \\ &=C_{x} \left( A_{y} B_{z} – A_{z} B_{y} \right) + C_{y} \left( A_{z} B_{x} – A_{x} B_{z} \right) + C_{z} \left( A_{x} B_{y} – A_{y} B_{x} \right) \\ &=A_{y} B_{z} C_{x} – A_{z} B_{y} C_{x} + A_{z} B_{x} C_{y} – A_{x} B_{z} C_{y} + A_{x} B_{y} C_{z} – A_{y} B_{x} C_{z} \end{aligned}\] である. 最右辺を \( \vb*{A} \) の成分または \( \vb*{B} \) の成分についてそれぞれ整理すると, \[\begin{aligned} & A_{y} B_{z} C_{x} – A_{z} B_{y} C_{x} + A_{z} B_{x} C_{y} – A_{x} B_{z} C_{y} + A_{x} B_{y} C_{z} – A_{y} B_{x} C_{z} \\ &=A_{x} \left( B_{y} C_{z} – B_{z} C_{y} \right) + A_{y} \left( B_{z} C_{x} – B_{x} C_{z} \right) + A_{z} \left( B_{x} C_{y} – B_{y} C_{x} \right) \\ &= \vb*{A} \cdot \left( \vb*{B} \times \vb*{C} \right) \\ &=B_{x} \left( C_{y} A_{z} – C_{z} A_{y} \right) + B_{y} \left( C_{z} A_{x} – C_{x} A_{z} \right) + B_{z} \left( C_{x} A_{y} – C_{y} A_{x} \right) \\ &= \vb*{B} \cdot \left( \vb*{C} \times \vb*{A} \right) \end{aligned}\] と整理できることから, \[\vb*{A} \cdot \left( \vb*{B} \times \vb*{C} \right) = \vb*{B} \cdot \left( \vb*{C} \times \vb*{A} \right) = \vb*{C} \cdot \left( \vb*{A} \times \vb*{B} \right) \notag \] が成立する.