ラプラス変換の存在定理

ラプラス変換の存在定理

ラプラス変換の存在定理

ラプラス変換が存在することの十分条件として, 区間 \( [ 0 , \infty ) \) で定義された区分的に連続な関数 \( f(t) \) が指数 \( \alpha \) 位の関数であるとき, \( \mathrm{Re}\qty[ s ] > \alpha \) を満たす領域 \( s \) においてラプラス変換 \( F(s) = \mathcal{L}\left\{f(t) \right\} \) が存在する. という定理が存在する. この結論については十分把握しておいてほしいので少し丁寧に補足しておこう.

まず, 区間 \( [ 0 , \infty ) \) で定義された区分的に連続な関数 \( f(t) \) が指数 \( \alpha \) 位の関数であるとは, 議論の対象となっている区分的に連続な関数 \( f(t) \) が \[\abs{f(t) } \le M e^{\alpha t} \ \to \ – M e^{\alpha t} \le f(t) \le M e^{\alpha t} \quad \qty( M > 0 ) \notag\] を満たし, 次図のように \( \pm M e^{\alpha t} \) で挟まれた領域に存在することを意味する. このため, 関数 \( f(t) \) は指数関数 \( e^{\alpha t} \) よりも発散傾向が小さいことを意味している.

そのうえで, \( \mathrm{Re}\qty[ s ] > \alpha \) を満たすような \( s \) を用いてラプラス変換の計算を行うと, \( f(t) \) の発散傾向を上回る収束傾向を持つ関数 \( e^{-st} \) を乗じていることになる. つまり, \( \mathrm{Re}\qty[ s ] > \alpha \) という条件はラプラス変換の被積分関数を収束に向かわせるための条件ということができる.

上記の定理の証明は後半に行うが, この結果だけでも頭に留めておいてほしい.

ラプラス変換の収束性と収束座標

ラプラス変換の存在について, 次の定理が成立する.

\( t \ge 0 \) で定義された区分的に連続な関数 \( f(t) \) について, \( f(t) \) のラプラス変換 \[F(s) = \mathcal{L} \left\{f (t) \right\} = \int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t) \dd{t} \notag\] が複素数 \( s=s_{0} \) で収束値 \( F\qty( s_{0} ) \) を持つものとする. このとき, \( \mathrm{Re}\qty[ s ] > \mathrm{Re}\qty[ s_{0} ] \) を満たす任意の \( s \) に対してラプラス変換 \( F(s) \) が存在する

この定理からも分かるように, ある点 \( s_{1} \) においてラプラス変換が存在しない場合, \( \mathrm{Re}\qty[ s_{1} ] > \mathrm{Re}\qty[ s ] \) を満たす \( s \) に対してはラプラス変換が存在しないことになる.

したがって, \( \mathrm{Re}\qty[ s ] > c \) を満たす \( s \) に対してはラプラス変換が存在し, \( c > \mathrm{Re}\qty[ s ] \) を満たす \( s \) に対してはラプラス変換が存在しないという実数 \( c \) を考えることが可能となる. この \( c \) は, ラプラス変換が存在する領域とラプラス変換が存在しない領域との境となっており, 収束座標という.

上記の定理の証明も後半に行うが, この結果だけでも頭に留めておいてほしい.

複素数の性質の復習

複素数 \( s \) と実数 \( t \) の積を指数に持つ \( e^{-st} \) について考える. ただし, 複素数 \( s \) の実部は \( \mathrm{Re}\qty[ s ] \) , 虚部は \( \mathrm{Im}\qty[ s ] \) である. \[s = \mathrm{Re}\qty[ s ] + i \mathrm{Im}\qty[ s ] \quad . \notag\] このとき, \( e^{-st} \) の絶対値は次式のように表すことができる. \[\abs{e^{-st} } = \abs{e^{ – \qty( \mathrm{Re}\qty[ s ] + i \mathrm{Im}\qty[ s ] ) t } } = \abs{e^{ – \mathrm{Re}\qty[ s ] t } } \abs{e^{-i \mathrm{Im}\qty[ s ] t } \label{emstabsub} }\] である. ここで, 指数関数 \( e^{ – \mathrm{Re}\qty[ s ] t } \) について, 常に \( e^{ – \mathrm{Re}\qty[ s ] t } > 0 \) が成立するため, 次式が成立する. \[\abs{e^{ – \mathrm{Re}\qty[ s ] t } } = e^{ – \mathrm{Re}\qty[ s ] t } \quad . \label{emstabsub1}\] また, \( \theta \) を実数としたときに成立するオイラーの公式 \[e^{i \theta} = \cos{\theta} + i \sin{\theta} \notag\] を用いると, \( e^{i \theta} \) の絶対値は \[\abs{e^{i \theta} } = \abs{\cos{\theta} + i \sin{\theta} } = \sqrt{\cos[2]{\theta} + \sin[2]{\theta}} = 1\notag\] となる. これにより, \[\abs{e^{-i \mathrm{Im}\qty[ s ] t } } = 1 \label{emstabsub2}\] が即座に導かれる.

以上で得られた式\eqref{emstabsub}及び式\eqref{emstabsub1}を式\eqref{emstabsub2}に適用することで次式を得る. \[\abs{e^{-st} } = e^{ – \mathrm{Re}\qty[ s ] t} \quad . \label{emstab}\]

広義積分の収束判定法(優関数の定理)

ある関数 \( f(t) \) の広義積分が収束するか, 発散するのかを判定することは数学的に重要な興味である. この判定を行うための手法の一つを紹介しておこう^[4]なお, この証明は省略し, その結果だけを紹介するので, 興味がある人は優関数の定理などを調べてみてほしい.

ある関数 \( f(t) \) に対し, 積分区間 \( [ a , b ) \) において常に \( \abs{f(t) } \le g(t) \) を満たすような関数 \( g(t) \) の広義積分 \( \displaystyle{\int_{a}^{b} g(t) \dd{t}} \) が収束するのであれば, \( \displaystyle{\int_{a}^{b} f(t) \dd{t}} \) も収束する.

上記の手法が判定法と呼ばれるのは, \( \displaystyle{\int_{a}^{b} f(t) \dd{t}} \) の値を具体的に求めることが出来なくとも, 収束するのかどうかだけを知ることができるからである.

ラプラス変換では, 多数の広義積分を扱うことになるうえ, ラプラス変換が存在するという条件が各種の定理についてまわることになる. そのため, このような判定方法を知っておくことは, これから行おうとする計算にラプラス変換の各種の定理を用いてよいかどうかの判断材料を増やすことにつながる.

ラプラス変換の存在定理の証明

区間 \( [ 0 , \infty ) \) で定義された区分的に連続な関数 \( f(t) \) について, ある定数 \( M \ \qty( > 0 ) \) と \( \alpha \) に対して \[\abs{f(t) } \le M e^{\alpha x } \label{classalphaproof}\] が存在するとき, \( \mathrm{Re}\qty[ s ] > \alpha \) において, ラプラス変換 \( F(s) = \mathcal{L}\left\{f(t) \right\} \) が存在する.ことを証明しよう.

関数 \( f(t) \) のラプラス変換に対して, 次の不等式が成立する. \[\begin{aligned} \abs{F(s) } &= \abs{\int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) \dd{t} } \notag \\ & \le \int_{0}^{\infty} \abs{e^{-st} } \cdot \abs{f(t) } \dd{t} \notag \end{aligned}\] ここで, 式\eqref{emstab}及び式\eqref{classalphaproof} \[\abs{e^{-st} } = e^{ – \mathrm{Re}\qty[ s ]t} \ , \quad \abs{f(t) } \le M e^{\alpha x } \notag\] を適用することで, \[\begin{aligned} \abs{F(s) } & \le \int_{0}^{\infty} e^{ – \mathrm{Re} \qty[ s ] t} M e^{\alpha t } \dd{t} \notag \\ &= M \int_{0}^{\infty} e^{ – \qty( \mathrm{Re} \qty[ s ] – \alpha )t} \dd{t} \notag \end{aligned}\] となる. ここで, \[\mathrm{Re}\qty[ s ] – \alpha > 0 \ \iff \mathrm{Re}\qty[ s ] > \alpha \notag\] を満たす場合には \[\begin{aligned} \abs{F(s) } & \le M \int_{0}^{\infty} e^{ – \qty( \mathrm{Re} \qty[ s ] – \alpha )t} \dd{t} \notag \\ & = \qty[ – \frac{M}{\mathrm{Re}\qty[ s ] – \alpha } e^{ – \qty( \mathrm{Re}\qty[ s ] – \alpha ) t } ]_{0}^{\infty} \notag \\ & = \frac{M}{\mathrm{Re}\qty[ s ] – \alpha } \notag \end{aligned}\] となり, 最右辺が発散せずにある有限値に収束することが示されたため, 広義積分の収束判定法により \( F(s) \) が収束することが示された.

ラプラス変換の収束性の証明

\( t \ge 0 \) で定義された区分的に連続な関数 \( f(t) \) について, \( f(t) \) のラプラス変換 \[F(s) = \mathcal{L} \left\{f (t) \right\} = \int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t) \dd{t} \notag\] が複素数 \( s=s_{0} \) で収束値 \( F\qty( s_{0} ) \) を持つものとする. このとき, \( \mathrm{Re}\qty[ s ] > \mathrm{Re}\qty[ s_{0} ] \) を満たす任意の \( s \) に対してラプラス変換 \( F(s) \) が存在することを示そう.

以下では, \( \mathrm{Re}\qty[ s ] > \mathrm{Re}\qty[ s_{0} ] \) を満たすような複素数 \( s \) について議論する.

ラプラス変換の定義を式変形すると, \[\begin{aligned} F(s) &= \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) \dd{t} \notag \\ &= \int_{0}^{\infty} e^{ – \qty( s – s_{0} ) t} e^{-s_{0}t } f(t) \dd{t} \notag \end{aligned}\] となる. ここで, \[g(t) \coloneqq \int_{0}^{t}e^{-s_{0}x}f(x) \dd{x} \notag\] と定義すると, 微分積分学の基本定理より, \[\dv{g(t)}{t} = \dv{t} \int_{0}^{t}e^{-s_{0}x}f(x) \dd{x} = e^{-s_{0}t}f(t) \notag\] であるため, \[\begin{align} \int_{0}^{\infty}e^{-st} f(t) \dd{t} &= \int_{0}^{\infty} e^{ – \qty( s – s_{0} ) t } \dv{g(t)}{t} \dd{t}\notag \\ &= \qty[ e^{ – \qty( s – s_{0} ) t } g(t) ]_{0}^{\infty} – \int_{0}^{\infty} \dv{t} \left\{e^{ – \qty( s – s_{0} ) t } \right\} g(t) \dd{t} \notag \\ &= \qty[ e^{ – \qty( s – s_{0} ) t } g(t) ]_{0}^{\infty} + \qty( s – s_{0} ) \int_{0}^{\infty} e^{ – \qty( s – s_{0} ) t } g(t) \dd{t} \notag \\ &= \lim_{T \to \infty }e^{ – \qty( s – s_{0} ) T } g(T) – \underbrace{e^{ – \qty( s – s_{0} ) 0 } g(0) }_{=0 \ \because \ g(0)=0 } + \qty( s – s_{0} ) \int_{0}^{\infty} e^{ – \qty( s – s_{0} ) t } g(t) \dd{t} \notag \\ &= \lim_{T \to \infty } e^{ – \qty( s – s_{0} ) T } g(T) + \qty( s – s_{0} ) \int_{0}^{\infty} e^{ – \qty( s – s_{0} ) t } g(t) \dd{t} \label{ss0proofsub} \end{align}\] あとはこの式\eqref{ss0proofsub}の各項の収束性について調べればよい. そして, 実際に式\eqref{ss0proofsub}の各項は収束することから, \( \mathrm{Re}\qty[ s ] > \mathrm{Re}\qty[ s_{0} ] \) を満たす任意の \( s \) に対してラプラス変換 \( F(s) \) が存在することが示された.