ベクトル3重積
3次元直交空間ベクトルの単位ベクトル \( \vb*{e}_{x} \) , \( \vb*{e}_{y} \) , \( \vb*{e}_{z} \) を \[\begin{aligned} \vb*{e}_{x} &= \left( 1, 0, 0 \right) \\ \vb*{e}_{y} &= \left( 0, 1, 0 \right) \\ \vb*{e}_{z} &= \left( 0, 0, 1 \right) \end{aligned}\] と定義する. このような単位ベクトルを用いることで, 空間ベクトル \( \vb*{A} \) , \( \vb*{B} \) , \( \vb*{C} \) は \[\begin{aligned} \vb*{A} &= \left( A_{x}, A_{y}, A_{z} \right) = A_{x} \vb*{e}_{x} + A_{y} \vb*{e}_{y} + A_{z} \vb*{e}_{z} \\ \vb*{B} &= \left( B_{x}, B_{y}, B_{y} \right) = B_{x} \vb*{e}_{x} + B_{y} \vb*{e}_{y} + B_{z} \vb*{e}_{z} \\ \vb*{C} &= \left( C_{x}, C_{y}, C_{z} \right) = C_{x} \vb*{e}_{x} + C_{y} \vb*{e}_{y} + C_{z} \vb*{e}_{z} \end{aligned}\] と表すことが出来る.
3次元空間のベクトルに対しては外積という演算を定義することができ, これは2つのベクトルからあらたなベクトルを定義する演算である. したがって, 空間ベクトルの積には内積と外積とを定義することができ, 内積演算を表す記号 \( \cdot \) (ドット)と区別して, 外積演算を表す記号を \( \times \) (クロス)とする.
空間ベクトルの単位ベクトルについては次のような関係が成立する. \[\begin{aligned} & \vb*{e}_{x} \times \vb*{e}_{x} = \vb*{e}_{y} \times \vb*{e}_{y} =\vb*{e}_{z} \times \vb*{e}_{z} = \vb*{0} \\ & \vb*{e}_{x} \times \vb*{e}_{y} = – \vb*{e}_{y} \times \vb*{e}_{x} = \vb*{e}_{z} \\ & \vb*{e}_{y} \times \vb*{e}_{z} = – \vb*{e}_{z} \times \vb*{e}_{y} = \vb*{e}_{x} \\ & \vb*{e}_{z} \times \vb*{e}_{x} = – \vb*{e}_{x} \times \vb*{e}_{z} = \vb*{e}_{y} \end{aligned}\]
上記の定義からわかるように, 外積演算は積の順序を勝手に入れ換えることは許されず, 積の順序を入れ替えると符号が反転する性質を持っている. ただし, ベクトル \( \vb*{A} \) , \( \vb*{B} \) , \( \vb*{C} \) とスカラー \( k \) , \( l \) , \( m \) について次のような法則は成立する \[k\vb*{A} \times \left( l\vb*{B} + m\vb*{C} \right) = kl\left(\vb*{A} \times \vb*{B}\right) + km\left( \vb*{A}\times \vb*{C} \right) \quad . \notag \] このとき, 次の問に答えよ.
ベクトル \( \vb*{B} = B_{x}\vb*{e}_{x}+ B_{y}\vb*{e}_{y}+ B_{z}\vb*{e}_{z} \) とベクトル \( \vb*{C} = C_{x}\vb*{e}_{x}+ C_{y}\vb*{e}_{y}+ C_{z}\vb*{e}_{z} \) の外積で定義されるベクトル \[\vb*{D} = D_{x}\vb*{e}_{x}+ D_{y}\vb*{e}_{y}+ D_{z}\vb*{e}_{z} \mathrel{\mathop:}= \vb*{B}\times \vb*{C} \notag \] は \( \vb*{B} \) と \( \vb*{C} \) の成分を用いて, \[\begin{aligned} \vb*{D} &= D_{x}\vb*{e}_{x}+ D_{y}\vb*{e}_{y}+ D_{z}\vb*{e}_{z} \\ &= \left( B_{y}C_{z} – B_{z}C_{y} \right) \vb*{e}_{x} + \left( B_{z}C_{x} – B_{x}C_{z} \right) \vb*{e}_{y} + \left( B_{x}C_{y} – B_{y}C_{x} \right)\vb*{e}_{z} \end{aligned}\] となることを証明せよ.
さらに, 外積で定義されるベクトル \( \vb*{A} \times \left( \vb*{B} \times \vb*{C} \right) \) が \[\vb*{A} \times \left( \vb*{B} \times \vb*{C} \right) = \left( \vb*{A} \cdot \vb*{C} \right) \vb*{B} – \left( \vb*{A} \times \vb*{B}\right)\vb*{C} \notag \] となることを証明せよ.
次のヤコビの恒等式が成立することを証明せよ. \[\vb*{A} \times \left( \vb*{B} \times \vb*{C} \right)+ \vb*{B} \times \left( \vb*{C} \times \vb*{A} \right) + \vb*{C} \times \left( \vb*{A} \times \vb*{B} \right) = \vb*{0} \notag \]
解答1
定義に従って計算する. \[\begin{aligned} & \vb*{B} \times \vb*{C} = \left( B_{x} \vb*{e}_{x} + B_{y} \vb*{e}_{y} + B_{z} \vb*{e}_{z} \right) \times \left( C_{x} \vb*{e}_{x} + C_{y} \vb*{e}_{y} + C_{z} \vb*{e}_{z} \right) \\ &= B_{x} \vb*{e}_{x} \times \left( C_{x} \vb*{e}_{x} + C_{y} \vb*{e}_{y} + C_{z} \vb*{e}_{z} \right) \\ &\phantom{=}+ B_{y} \vb*{e}_{y} \times \left( C_{x} \vb*{e}_{x} + C_{y} \vb*{e}_{y} + C_{z} \vb*{e}_{z} \right) \\ &\phantom{=}+ B_{z} \vb*{e}_{z} \times \left( C_{x} \vb*{e}_{x} + C_{y} \vb*{e}_{y} + C_{z} \vb*{e}_{z} \right) \\ &= B_{x} C_{x}\vb*{e}_{x} \times \vb*{e}_{x} + B_{x} C_{y} \vb*{e}_{x} \times \vb*{e}_{y} + B_{x} C_{z} \vb*{e}_{x} \times \vb*{e}_{z} \\ &\phantom{=}+ B_{y} C_{x} \vb*{e}_{y} \times \vb*{e}_{x} + B_{y} C_{y} \vb*{e}_{y} \times \vb*{e}_{y} + B_{y} C_{z} \vb*{e}_{y} \times \vb*{e}_{z} \\ &\phantom{=}+ B_{z} C_{x} \vb*{e}_{z} \times \vb*{e}_{x} + B_{z} C_{y} \vb*{e}_{z} \times \vb*{e}_{y} + B_{z} C_{z} \vb*{e}_{z} \times \vb*{e}_{z} \\ &= \vb*{0} + B_{x} C_{y} \vb*{e}_{z} – B_{x} C_{z} \vb*{e}_{y} \\ &- B_{y} C_{x} \vb*{e}_{z} + \vb*{0} + B_{y} C_{z} \vb*{e}_{x} \\ &\phantom{=}+ B_{z} C_{x} \vb*{e}_{y} – B_{z} C_{y} \vb*{e}_{x} + \vb*{0} \\ &= \left( B_{y} C_{z} – B_{z} C_{y} \right) \vb*{e}_{x} \\ &\phantom{=}+ \left( B_{z} C_{x} – B_{x} C_{z} \right) \vb*{e}_{y} \\ &\phantom{=}+ \left( B_{x} C_{y} – B_{y} C_{x} \right) \vb*{e}_{z} \end{aligned}\] \[\therefore \ \left\{ \begin{aligned} \vb*{D} &= \left( B_{y} C_{z} – B_{z} C_{y} \right) \vb*{e}_{x} \\ &\phantom{=}+ \left( B_{z} C_{x} – B_{x} C_{z} \right) \vb*{e}_{y} \\ &\phantom{=}+ \left( B_{x} C_{y} – B_{y} C_{x} \right) \vb*{e}_{z} \end{aligned} \right.\]
前問の結果を利用すると, \[\begin{aligned} &\vb*{A} \times \left( \vb*{B} \times \vb*{C} \right) = \vb*{A} \times \vb*{D} \\ &= \left( A_{y} D_{z} – A_{z} D_{y} , A_{z} D_{x} – A_{x} D_{z}, A_{x} D_{y} – A_{y} D_{x} \right) \\ &= \left\{ A_{y} \left( B_{x} C_{y} – B_{y} C_{x} \right) – A_{z} \left( B_{z} C_{x} – B_{x} C_{z} \right) \right\} \vb*{e}_{x} \\ &\phantom{=}+ \left\{ A_{z} \left( B_{y} C_{z} – B_{z} C_{y} \right) – A_{x} \left( B_{x} C_{y} – B_{y} C_{x} \right) \right\} \vb*{e}_{y} \\ &\phantom{=}+ \left\{ A_{x} \left( B_{z} C_{x} – B_{x} C_{z} \right) – A_{y} \left( B_{y} C_{z} – B_{z} C_{y} \right) \right\} \vb*{e}_{z} \\ &= \left\{ A_{y} B_{x} C_{y} – A_{y} B_{y} C_{x} – A_{z} B_{z} C_{x} – A_{z} B_{x} C_{z} \right\} \vb*{e}_{x} \\ &\phantom{=}+ \left\{ A_{z} B_{y} C_{z} – A_{z} B_{z} C_{y} – A_{x} B_{x} C_{y} – A_{x} B_{y} C_{x} \right\} \vb*{e}_{y} \\ &\phantom{=}+ \left\{ A_{x} B_{z} C_{x} – A_{x} B_{x} C_{z} – A_{y} B_{y} C_{z} – A_{y} B_{z} C_{y} \right\} \vb*{e}_{z} \\ &= \left\{ A_{y} B_{x} C_{y} – A_{y} B_{y} C_{x} – A_{z} B_{z} C_{x} + A_{z} B_{x} C_{z} + \underbrace{A_{x}B_{x}C_{x}-A_{x}B_{x}C_{x}}_{=0} \right\} \vb*{e}_{x} \\ &\phantom{=}+ \left\{ A_{z} B_{y} C_{z} – A_{z} B_{z} C_{y} – A_{x} B_{x} C_{y} + A_{x} B_{y} C_{x} + \underbrace{A_{y}B_{y}C_{y}-A_{y}B_{y}C_{y}}_{=0} \right\} \vb*{e}_{y} \\ &\phantom{=}+ \left\{ A_{x} B_{z} C_{x} – A_{x} B_{x} C_{z} – A_{y} B_{y} C_{z} + A_{y} B_{z} C_{y} + \underbrace{A_{z}B_{z}C_{z}-A_{z}B_{z}C_{z}}_{=0} \right\} \vb*{e}_{z} \\ &= \left\{ \left( A_{x} C_{x} + A_{y} C_{y} + A_{z} C_{z} \right)B_{x} – \left( A_{x} B_{x} + A_{y} B_{y} + A_{z} B_{z} \right)C_{x} \right\} \vb*{e}_{x} \\ &\phantom{=}+ \left\{ \left( A_{x} C_{x} + A_{y} C_{y} + A_{z} C_{z} \right)B_{y} – \left( A_{x} B_{x} + A_{y} B_{y} + A_{z} B_{z} \right)C_{y} \right\} \vb*{e}_{y} \\ &\phantom{=}+ \left\{ \left( A_{x} C_{x} + A_{y} C_{y} + A_{z} C_{z} \right)B_{z} – \left( A_{x} B_{x} + A_{y} B_{y} + A_{z} B_{z} \right)C_{x} \right\} \vb*{e}_{z} \\ &= \left\{ \left( \vb*{A}\cdot \vb*{C} \right) B_{x} – \left( \vb*{A}\cdot \vb*{B} \right) C_{x} \right\} \vb*{e}_{x} \\ &\phantom{=}+ \left\{ \left( \vb*{A}\cdot \vb*{C} \right) B_{y} – \left( \vb*{A}\cdot \vb*{B} \right) C_{y} \right\} \vb*{e}_{y} \\ &\phantom{=}+ \left\{ \left( \vb*{A}\cdot \vb*{C} \right) B_{z} – \left( \vb*{A}\cdot \vb*{B} \right) C_{x} \right\} \vb*{e}_{z} \\ &= \left( \vb*{A}\cdot \vb*{C} \right) \left( B_{x} \vb*{e}_{x} + B_{y} \vb*{e}_{y} + B_{z} \vb*{e}_{z} \right) – \left( \vb*{A}\cdot \vb*{B} \right) \left( C_{x} \vb*{e}_{x} + C_{y} \vb*{e}_{y} + C_{z} \vb*{e}_{z} \right) \\ &= \left( \vb*{A}\cdot \vb*{C} \right) \vb*{B} – \left( \vb*{A}\cdot \vb*{B} \right) \vb*{C} \end{aligned}\] \[\therefore \ \vb*{A} \times \left( \vb*{B} \times \vb*{C} \right) = \left( \vb*{A}\cdot \vb*{C} \right) \vb*{B} – \left( \vb*{A}\cdot \vb*{B} \right) \vb*{C} \quad . \notag \]
前問の結果を利用すると, \[ \begin{aligned} \vb*{A} \times \left( \vb*{B} \times \vb*{C} \right) &= \left( \vb*{A}\cdot \vb*{C} \right) \vb*{B} – \left( \vb*{A}\cdot \vb*{B} \right) \vb*{C} \\ \vb*{B} \times \left( \vb*{C} \times \vb*{A} \right) &= \left( \vb*{B}\cdot \vb*{A} \right) \vb*{C} – \left( \vb*{B}\cdot \vb*{C} \right) \vb*{A} \\ \vb*{C} \times \left( \vb*{A} \times \vb*{B} \right) &= \left( \vb*{C}\cdot \vb*{B} \right) \vb*{A} – \left( \vb*{C}\cdot \vb*{A} \right) \vb*{B} \\ \end{aligned}\] が成立するので, \[\vb*{A} \times \left( \vb*{B} \times \vb*{C} \right)+ \vb*{B} \times \left( \vb*{C} \times \vb*{A} \right) + \vb*{C} \times \left( \vb*{A} \times \vb*{B} \right) = \vb*{0} \notag \]