完全微分形 |

微分方程式が非線形であったとしても以下で紹介するような完全微分形の微分方程式であるならば解析的に解くことが可能であることを議論する.

完全微分形の微分方程式を議論するにあたり, 偏微分と全微分の知識を適宜使用することになる. そこで, 偏微分と全微分について知っておくべき最低限の知識を補足として冒頭にまとめておく. (詳しくは偏微分と全微分を参照)

全微分と偏微分

2変数関数 $z = f (x, y)$ に対して, 偏微分および全微分というものを考える.

偏微分とは, 関数が持つ特定の変数を除いた全ての変数を定数として扱い, 特定の変数に関してのみ行う微分操作を表すものである.

全微分とは, 多変数関数の各変数が微小量だけ変化した時に関数全体の値がどれだけ変化するかを表すものである.

偏微分

2変数関数 $z = f (x, y)$ が点 $P (x_{0}, y_{0})$ において, $\begin{matrix} lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x_{0} + Δ x, y_{0}) - f (x_{0}, y_{0})}{Δ x} \end{matrix}$ が存在するとき, $f (x, y)$ は点 $P$ において, $x$ について偏微分可能であるという. 同様に, $\begin{matrix} lim_{Δ y \to 0} \frac{f (x_{0}, y_{0} + Δ y) - f (x_{0}, y_{0})}{Δ y} \end{matrix}$ が存在するとき, $f (x, y)$ は点 $P$ において, $y$ について偏微分可能であるという.

関数 $z = f (x, y)$ がある領域 $D$ の内部で, $x$ , $y$ の両方について偏微分可能であるとしよう. このような領域内で定義されるあらたな関数 $\begin{matrix} (1) & \begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial x} & : = lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x + Δ x, y) - f (x, y)}{Δ x} \\ \frac{\partial f}{\partial y} & : = lim_{Δ y \to 0} \frac{f (x, y + Δ y) - f (x, y)}{Δ y} \end{aligned} \end{matrix}$ をそれぞれ, $x$ ついての偏導関数, $y$ ついての偏導関数と呼び, 偏導関数を求める操作を偏微分などとという. ここで, 1変数のときの微分とは区別して記号 $\partial$ (デル, パーシャル, ラウンドディー)を用いた.

全微分

関数 $z = f (x, y)$ がある領域 $D$ の内部で偏微分可能であり, かつ, $x$ および $y$ についての偏導関数 $\frac{\partial f}{\partial x}$ , $\frac{\partial f}{\partial y}$ がともに連続であるとき, 関数 $f$ は連続微分可能であるという^[1]「関数 $f$ は $C^{1}$ 級関数である」などと表現される. そして, 連続微分可能な関数については全微分という量を考えることができる.

関数 $f (x, y)$ の全微分とは, $f (x, y)$ と $f (x + d x y + d y)$ との差 $\begin{matrix} d f : = f (x + d x, y + d y) - f (x, y) \end{matrix}$ で定義され, 偏導関数を用いて, $\begin{matrix} d f \approx \frac{\partial f}{\partial x} d x + \frac{\partial f}{\partial x} d y \end{matrix}$ と表すことができる.

偏微分の性質：シュワルツの定理

関数 $f (x, y)$ について, $\begin{matrix} \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial f}{\partial y}), \frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y} (\frac{\partial f}{\partial x}) \end{matrix}$ が存在し, これらが全て連続微分可能であるならば^[2]「関数 $f$ は $C^{2}$ 級関数である」などと表現される, $\begin{matrix} \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x} \end{matrix}$ が成立する. このことをシュワルツの定理という. したがって, シュワルツの定理の条件をみたすような関数 $f$ の2階偏導関数については偏微分の順序をいれかえてもよいことになる.

完全微分形

微分方程式 $\begin{matrix} \frac{d y}{d x} = - \frac{P (x, y)}{Q (x, y)} ⟺ P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0 \end{matrix}$ のうち, $P (x, y)$ , $Q (x, y)$ がそれぞれある関数 $U (x, y)$ の $x$ , $y$ についての偏導関数 $\begin{matrix} P (x, y) = \frac{\partial U (x, y)}{\partial x}, Q (x, y) = \frac{\partial U (x, y)}{\partial y} \end{matrix}$ として書けるもの, つまり, $\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0 \\ ⟺ & \frac{\partial U (x, y)}{\partial x} d x + \frac{\partial U (x, y)}{\partial y} d y = d U (x, y) = 0 \end{aligned} \end{matrix}$ と書けるものを完全微分形の微分方程式といい, この微分方程式の解は任意の定数 $C$ を用いて $\begin{matrix} d U = 0 ⟺ U (x, y) = U (x + d x, y + d y) = C \end{matrix}$ で与えられる.

以下ではまず, 与えられた微分方程式 $\begin{matrix} P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0 \end{matrix}$ において, $P (x, y)$ , $Q (x, y)$ が $\begin{matrix} \frac{\partial P (x, y)}{\partial y} = \frac{\partial Q (x, y)}{\partial x} (= \frac{\partial^{2} U (x, y)}{\partial x \partial y}) \end{matrix}$ を満たすことは与式が完全微分形であることの必要十分条件であることを示す.

その後, 完全微分形の微分方程式の一般解が $\begin{matrix} \frac{\partial U (x, y)}{\partial x} = P (x, y), \frac{\partial U (x, y)}{\partial y} = Q (x, y) \end{matrix}$ をみたすような関数 $U (x, y)$ が任意の定数 $C$ であるという式 $\begin{matrix} U (x, y) = \int P d x + \int {Q - \frac{\partial}{\partial y} (\int P d x)} d y = C \end{matrix}$ で与えられることを議論しよう.

完全微分形であることの必要十分条件

与えられた微分方程式 $\begin{matrix} (3) & P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0 \end{matrix}$ が完全微分形であることの必要十分条件が $\begin{matrix} (4) & \frac{\partial P (x, y)}{\partial y} = \frac{\partial Q (x, y)}{\partial x} \end{matrix}$ であることを示そう.

上記の事柄を示すことにより, 微分方程式 $(3)$ が与えられたときに式 $(4)$ が成立するならば与式は $\begin{matrix} d U (x, y) = \frac{\partial U (x, y)}{\partial x} d x + \frac{\partial U (x, y)}{\partial y} d y = 0 \end{matrix}$ という形でかける完全微分形だと即座に判定可能となる.

なお, 以下の議論において, 関数 $U (x, y)$ およびその偏導関数 $\begin{matrix} \frac{\partial U (x, y)}{\partial x}, \frac{\partial U (x, y)}{\partial y}, \frac{\partial^{2} U (x, y)}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial U (x, y)}{\partial y}), \frac{\partial^{2} U (x, y)}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y} (\frac{\partial U (x, y)}{\partial x}) \end{matrix}$ 等はいずれも連続微分可能で, $U (x, y)$ はシュワルツの定理. $\begin{matrix} \frac{\partial^{2} U (x, y)}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^{2} U (x, y)}{\partial y \partial x} \end{matrix}$ を満たすものとする.

必要条件であることの証明

微分方程式 $\begin{matrix} (5) & P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0 \end{matrix}$ が完全微分形の微分方程式であるとする.

完全微分形の定義より, $\begin{matrix} d U (x, y) = \frac{\partial U (x, y)}{\partial x} d x + \frac{\partial U (x, y)}{\partial y} d y = 0 \end{matrix}$ を満たすような2変数関数 $U (x, y)$ が存在し, $P (x, y)$ , $Q (x, y)$ は $\begin{matrix} P (x, y) = \frac{\partial U (x, y)}{\partial x}, Q (x, y) = \frac{\partial U (x, y)}{\partial y} \end{matrix}$ と書くことができる.

また, $U (x, y)$ の偏導関数 $P (x, y)$ , $Q (x, y)$ は連続微分可能であるとしていたので, 関数 $U (x, y)$ の2階偏導関数について成立するシュワルツの定理 $\begin{matrix} \frac{\partial^{2} U}{\partial y \partial x} = \frac{\partial^{2} U}{\partial x \partial y} \end{matrix}$ を用いると, $\begin{matrix} (6) & \begin{aligned} \frac{\partial P (x, y)}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (\frac{\partial U (x, y)}{\partial x}) = \frac{\partial^{2} U}{\partial y \partial x} \\ = \frac{\partial^{2} U}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial U (x, y)}{\partial y}) = \frac{\partial Q (x, y)}{\partial x} \end{aligned} \end{matrix}$ が成立する.

したがって, 式 $(5)$ が完全微分形の微分方程式ならば $\begin{matrix} \frac{\partial P (x, y)}{\partial y} = \frac{\partial Q (x, y)}{\partial x} \end{matrix}$ であることが示された.

十分条件であることの証明

関数 $P (x, y)$ , $Q (x, y)$ が $\begin{matrix} (7) & \frac{\partial P (x, y)}{\partial y} = \frac{\partial Q (x, y)}{\partial x} \end{matrix}$ を満たすとする.

このとき, $\begin{matrix} \frac{\partial U (x, y)}{\partial x} = P (x, y) \end{matrix}$ を満たすような関数 $\begin{matrix} (8) & U (x, y) = \int P (x, y) d x + C (y) \end{matrix}$ について考えてみよう. ここで, $U (x, y)$ に含まれている $C (y)$ は $y$ のみに依存した関数であり, $x$ で積分または偏微分するときにはただの定数とみなすことが出来る.

ここで, もしも関数 $U (x, y)$ の $y$ についての偏導関数 $\frac{\partial U (x, y)}{\partial y}$ が $Q (x, y)$ に等しいならば, 微分方程式 $\begin{matrix} P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0 \end{matrix}$ は $\begin{matrix} \frac{\partial U (x, y)}{\partial x} d x + \frac{\partial U (x, y)}{\partial y} d y = d U (x, y) = 0 \end{matrix}$ と完全微分形に書くことができるということを念頭に以下の議論を進める.

関数 $U (x, y)$ の $y$ についての偏導関数は $\begin{matrix} (9) & \begin{aligned} \frac{\partial U (x, y)}{\partial y} & = \frac{\partial}{\partial y} (\int P (x, y) d x) + \frac{\partial C (y)}{\partial y} \\ = \frac{\partial}{\partial y} (\int P (x, y) d x) + \frac{d C (y)}{d y} \end{aligned} \end{matrix}$ である. したがって, $\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial y} (\int P (x, y) d x) + \frac{d C (y)}{d y} = Q (x, y) \\ (10) & ⟺ \frac{d C (y)}{d y} = Q (x, y) - \frac{\partial}{\partial y} (\int P (x, y) d x) \end{aligned}$ を満たすような関数 $C (y)$ が存在するかどうかが問題となる. つまり, 式 $(10)$ の右辺が $x$ に依存しない関数として書けるかどうかを確認しておく必要がある. このことを確かめるために式 $(10)$ の右辺を $x$ で偏微分すると, $\begin{matrix} (11) & \begin{aligned} \frac{\partial}{\partial x} [Q (x, y) - \frac{\partial}{\partial y} (\int P (x, y) d x)] \\ = \frac{\partial Q (x, y)}{\partial x} - \frac{\partial x}{\partial y} (\int P (x, y) d x) \\ = \frac{\partial Q (x, y)}{\partial x} - \frac{\partial}{\partial y} [\frac{\partial}{\partial x} (\int P (x, y) d x)] \\ = \frac{\partial Q (x, y)}{\partial x} - \frac{\partial P (x, y)}{\partial y} = 0 \end{aligned} \end{matrix}$ となる. つまり, 式 $(10)$ の右辺を $x$ で偏微分するとゼロであるので, これは $x$ に依存しない関数であることを示している.

したがって, 式 $(10)$ を満たすような関数 $C (y)$ が存在し, このような $C (y)$ を選ぶことにより, 式 $(7)$ を満たすような $P (x, y)$ , $Q (x, y)$ を用いた微分方程式 $\begin{matrix} P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0 \end{matrix}$ は $\begin{matrix} \frac{\partial U (x, y)}{\partial x} d x + \frac{\partial U (x, y)}{\partial y} d y = d U (x, y) = 0 \end{matrix}$ と, 完全微分形で書けることが示された^[3]なお, $C (y)$ は式 $(10)$ を $y$ で積分することで $\begin{matrix} C (y) = \int {Q (x, y) - \frac{\partial}{\partial y} (\int P (x, y) d x)} d y \end{matrix}$ … Continue reading.

別証明

本論で述べたことと似た, 少し異なる証明を与えておこう. $\begin{matrix} \frac{\partial f (x, y)}{\partial x} = P (x, y) \end{matrix}$ を満たすような関数 $f (x, y)$ を考え, この両辺を $y$ で偏微分し, 途中で式 $(7)$ を用いると $\begin{matrix} (12) & \begin{aligned} \frac{\partial}{\partial y} (\frac{\partial f}{\partial x}) & = \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial f}{\partial y}) = \frac{\partial P (x, y)}{\partial y} \\ = \frac{\partial Q (x, y)}{\partial x} \end{aligned} \end{matrix}$ が成立するので, $\begin{matrix} \frac{\partial}{\partial x} [\frac{\partial f}{\partial y} - Q (x, y)] = 0 \end{matrix}$ が成立する. したがって, $y$ のみに依存する関数 $g (y)$ を $\begin{matrix} \frac{\partial f (x, y)}{\partial y} - Q (x, y) : = g (y) \end{matrix}$ と定義し, $g (y)$ の原始関数を $G (y)$ とすれば, $\begin{matrix} \frac{d G (y)}{d y} = g (y) ⟺ d G (y) = g (y) d y \end{matrix}$ が成立する. これらの関数を用いると, $\begin{matrix} (13) & \begin{aligned} P (x, y) d x + Q (x, y) d y \\ = \frac{\partial f (x, y)}{\partial x} d x + {\frac{\partial f (x, y)}{\partial y} - g (y)} d y \\ = \frac{\partial f (x, y)}{\partial x} d x + \frac{\partial f (x, y)}{\partial y} d y - g (y) d y \\ = d f (x, y) - d G (y) \\ = d {f (x, y) - G (y)} \end{aligned} \end{matrix}$ と表すことができるので, 関数 $U (x, y)$ を $\begin{matrix} U (x, y) = f (x, y) - G (y) \end{matrix}$ と選ぶことにより, $\begin{matrix} P (x, y) d x + Q (x, y) d y = d U (x, y) = 0 \end{matrix}$ と書くことができ, 完全微分形の微分方程式であることが示された.

完全微分形の一般解

十分条件の証明と議論が重なるが, 完全微分形の微分方程式 $\begin{matrix} (14) & P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0 \end{matrix}$ の一般解が任意定数 $C$ を用いて $\begin{matrix} \int P (x, y) d x + \int {Q (x, y) - \frac{\partial}{\partial y} (\int P (x, y) d x)} d y = C \end{matrix}$ で与えられることを示しておこう.

微分方程式 $(14)$ が完全微分形であることから, $\begin{aligned} (15) & P (x, y) & = \frac{\partial U (x, y)}{\partial x} \\ (16) & Q (x, y) & = \frac{\partial U (x, y)}{\partial y} \end{aligned}$ を満たすような関数 $U (x, y)$ が存在する.

式 $(15)$ を $x$ で積分すると, $\begin{matrix} (17) & U (x, y) = \int P (x, y) d x + C (y) \end{matrix}$ と書くことができる. ここで, $C (y)$ は $y$ のみに依存した関数である. この $U (x, y)$ を式 $(16)$ に代入すると, $\begin{matrix} (18) & \begin{aligned} \frac{\partial U (x, y)}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (\int P (x, y) d x) + \frac{\partial C (y)}{\partial y} \\ \to & \frac{d C (y)}{d y} = Q (x, y) - \frac{\partial}{\partial y} (\int P (x, y) d x) \end{aligned} \end{matrix}$ が得られ, 両辺を $y$ で積分することで $\begin{matrix} C (y) = \int {Q (x, y) - \frac{\partial}{\partial y} (\int P (x, y) d x)} d y \end{matrix}$ が得られるので, 式 $(17)$ に $C (y)$ を代入すると, $\begin{matrix} U (x, y) = \int P (x, y) d x + \int {Q (x, y) - \frac{\partial}{\partial y} (\int P (x, y) d x)} d y . \end{matrix}$ ここで, 与式 $(14)$ は $\begin{matrix} d U (x, y) = \frac{\partial U (x, y)}{\partial x} d x + \frac{\partial U (x, y)}{\partial y} d y = 0 \end{matrix}$ と書き換えることができるので, $\begin{matrix} U (x, y) = C C は任意定数 \end{matrix}$ が解であることは明らかである.

したがって, 完全微分形の微分方程式 $(14)$ の一般解 $\begin{matrix} \int P (x, y) d x + \int {Q (x, y) - \frac{\partial}{\partial y} (\int P (x, y) d x)} d y = C \end{matrix}$ であることが示された.

脚注[+]

脚注
⇡1	「関数 $f$ は $C^{1}$ 級関数である」などと表現される
⇡2	「関数 $f$ は $C^{2}$ 級関数である」などと表現される
⇡3	なお, $C (y)$ は式 $(10)$ を $y$ で積分することで $\begin{matrix} C (y) = \int {Q (x, y) - \frac{\partial}{\partial y} (\int P (x, y) d x)} d y \end{matrix}$ であることがわかるので, $C (y)$ を式 $(8)$ に代入することで, $\begin{matrix} U (x, y) = \int P (x, y) d x + \int {Q (x, y) - \frac{\partial}{\partial y} (\int P (x, y) d x)} d y \end{matrix}$ が得られるので, 微分方程式の一般解は $\begin{matrix} \int P (x, y) d x + \int {Q (x, y) - \frac{\partial}{\partial y} (\int P (x, y) d x)} d y = C \end{matrix}$ であることを示すことができる.