ベクトル解析公式の証明 – 証明篇

すでに, クロネッカーのデルタやレヴィ＝チヴィタ記号について成り立つ公式などはベクトル解析公式の証明 – 準備篇などを理解しているとして議論を進める.

そのなかでも特に重要な公式だけをあらためてまとめておこう. \[\begin{aligned} \delta_{ij} \coloneqq \left\{\begin{array}{ll} 1 & ( i = j ) \\ 0 & ( i \not = j) \\ \end{array} \right. \end{aligned}\] \[\begin{aligned} \epsilon_{ijk} \coloneqq \left\{\begin{array}{ll} 1 & (\text{ \( i \) , \( j \) , \( k \) の偶置換}) \\ -1 & (\text{ \( i \) , \( j \) , \( k \) の奇置換}) \\ 0 & (\text{それ以外}) \\ \end{array} \right. \quad. \end{aligned}\] \[ \begin{align} \epsilon_{ijk} \epsilon_{iqr} & = \delta_{{j}{q}} \delta_{{k}{r}} – \delta_{{j}{r}} \delta_{{k}{q}} \label{Levi-Civitaの積1} \\ \epsilon_{ijk} \epsilon_{ijr} & = 2\delta_{kr} \label{Levi-Civitaの積2} \\ \epsilon_{ijk} \epsilon_{ijk} & = 6 \label{Levi-Civitaの積3} \end{align} \]

また, 単項の中に二回以上同じ添字があらわれた時, その添字については和をとることを約束する, Einsteinの総和規約 \[A_{i} B_{i} = \sum_{i}^{} A_{i} B_{i}\] も用いることにする.

主なベクトル解析の公式の導出

\[\begin{aligned} & \vb*{A} \cdot \qty( \vb*{B} \times \vb*{C} ) \\ \quad &= \sum_{i} \delta_{ij} A_i \sum_{k,l} \epsilon_{jkl} B_{k} C_{l} \\ &= \sum_{i,k,l} \epsilon_{ikl} A_i B_{k} C_{l} \\ &= \sum_{k,l} \epsilon_{1kl} A_1 B_{k} C_{l} + \sum_{k,l} \epsilon_{2kl} A_2 B_{k} C_{l} + \sum_{k,l} \epsilon_{3kl} A_3 B_{k} C_{l} \notag \\ &= \epsilon_{123} A_{1} B_{2} C_{3} + \epsilon_{132} A_{1} B_{3} C_{2} + \epsilon_{231} A_{2} B_{3} C_{1} \\ &+ \epsilon_{213} A_{2} B_{1} C_{3} + \epsilon_{312} A_{3} B_{1} C_{2} + \epsilon_{321} A_{3} B_{2} C_{1} \\ &= A_{1} B_{2} C_{3} – A_{1} B_{3} C_{2} + A_{2} B_{3} C_{1} \\ &- A_{2} B_{1} C_{3} + A_{3} B_{1} C_{2} – A_{3} B_{2} C_{1} \\ & = \mqty| A_{1} & A_{2} & A_{3} \\ B_{1} & B_{2} & B_{2} \\ C_{1} & C_{2} & C_{3} | \\ &= \vb*{B} \cdot \qty( \vb*{C} \times \vb*{A} ) \\ &= \vb*{C} \cdot \qty( \vb*{A} \times \vb*{B} ) \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} & \qty[ \vb*{A} \times \qty( \vb*{B} \times \vb*{C} ) ]_{i} \\ \quad &= \epsilon_{ijk} A_{j} \epsilon_{kqr} B_{q} C_{r} \\ &= \epsilon_{kij} \epsilon_{kqr} A_{j} B_{q} C_{r} \\ &= \qty( {\delta_{{i}{q}} \delta_{{j}{r}} – \delta_{{i}{r}} \delta_{{j}{q}} } ) A_{j} B_{q} C_{r} \\ &= \delta_{iq} \delta_{jr} A_{j} B_{q} C_{r} – \delta_{ir} \delta_{jq} A_{j} B_{q} C_{r} \notag \\ &= A_{j} B_{i} C_{j} – A_{j} B_{j} C_{i} \\ &= \qty( \vb*{A} \cdot \vb*{C} ) \vb*{B}_{i} – \qty( \vb*{A} \cdot \vb*{B} ) \vb*{C}_{i} \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} & \qty[ \vb*{A} \times \qty( \vb*{B} \times \vb*{C} ) ]_{i} + \qty[ \vb*{B} \times \qty( \vb*{C} \times \vb*{A} ) ]_{i} + \qty[ \vb*{C} \times \qty( \vb*{A} \times \vb*{B} ) ]_{i} \notag \\ &= \qty( \vb*{A} \cdot \vb*{C} ) \vb*{B}_{i} – \qty( \vb*{A} \cdot \vb*{B} ) \vb*{C}_{i} + \qty( \vb*{B} \cdot \vb*{A} ) \vb*{C}_{i} \\ & – \qty( \vb*{B} \cdot \vb*{C} ) \vb*{A}_{i} + \qty( \vb*{C} \cdot \vb*{B} ) \vb*{A}_{i} – \qty( \vb*{C} \cdot \vb*{A} ) \vb*{B}_{i} \\ &= \vb*{0}_{i} \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} & \qty( \vb*{A} \times \vb*{B} ) \cdot \qty( \vb*{C} \times \vb*{D} ) \\ \quad &= \delta_{ip} \qty( \epsilon_{ijk} A_{j}B_{k} ) \qty( \epsilon_{pqr} C_{q} D_{r} ) \\ &= \delta_{ip} \epsilon_{ijk} \epsilon_{pqr} A_{j}B_{k} C_{q} D_{r} \\ &= \epsilon_{ijk} \epsilon_{iqr} A_{j}B_{k} C_{q} D_{r} \\ &= \qty( {\delta_{{j}{q}} \delta_{{k}{r}} – \delta_{{j}{r}} \delta_{{k}{q}} } ) A_{j}B_{k} C_{q} D_{r} \\ &= \delta_{jq}\delta_{kr} A_{j}B_{k} C_{q} D_{r} – \delta_{jr}\delta_{kq} A_{j}B_{k} C_{q} D_{r} \\ &= A_{j}B_{k} C_{j} D_{k} – A_{j}B_{k} C_{k} D_{j} \\ &= \qty( \vb*{A} \cdot \vb*{C} ) \qty( \vb*{B} \cdot \vb*{D} ) – \qty( \vb*{B} \cdot \vb*{C} ) \qty( \vb*{A} \cdot \vb*{D} ) \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} \vb*{\nabla} \cdot \vb*{\nabla} f &= \delta_{ij} \nabla_{i} \qty( \nabla_{j} f ) \\ &= \nabla_{i} \nabla_{i} f \\ &\eqqcolon \nabla^2f \\ &=\sum_{i} \pdv[2]{f}{x_{i}} \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} \qty[ \vb*{\nabla} \times \vb*{\nabla} f ]_{i} &= \epsilon_{ijk} \nabla_{j} \qty( \nabla_{k} f ) \\ &\underbrace{= }_{j \iff k } \epsilon_{ikj} \nabla_{k} \nabla_{j} f \\ &\underbrace{= }_{\epsilon_{ikj} = – \epsilon_{ijk}} – \epsilon_{ijk} \nabla_{k} \nabla_{j} f \\ &= – \epsilon_{ijk} \nabla_{j} \nabla_{k} f \\ \to & \ \qty[ \vb*{\nabla} \times \vb*{\nabla} f ]_{i} = 0 \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} \vb*{\nabla} \cdot \qty( \vb*{\nabla} \times \vb*{A} ) &= \delta_{ij} \nabla_{i} \epsilon_{jkl} \nabla_{k}A_{l} \\ &= \epsilon_{jkl} \nabla_{j} \nabla_{k}A_{l} \\ &= – \epsilon_{jkl} \nabla_{j} \nabla_{k}A_{l} \\ \to &\ \vb*{\nabla} \cdot \qty( \vb*{\nabla} \times \vb*{A} ) = 0 \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} \qty[ \vb*{\nabla} \times \qty( \vb*{\nabla} \times \vb*{A} ) ]_{i} &= \epsilon_{ijk} \qty( \nabla_{j} ) \qty( \epsilon_{kqr} \nabla_{q} A_r ) \\ &= \epsilon_{ijk} \epsilon_{kqr} \nabla_{j} \nabla_{q} A_r \\ &= \epsilon_{kij} \epsilon_{kqr} \nabla_{j} \nabla_{q} A_r \\ &= \qty( {\delta_{{i}{q}} \delta_{{j}{r}} – \delta_{{i}{r}} \delta_{{j}{q}} } ) \nabla_{j} \nabla_{q} A_r \\ &= \delta_{iq} \delta_{jr} \nabla_{j} \nabla_{q} A_r – \delta_{ir} \delta_{jq} \nabla_{j} \nabla_{q} A_r \\ &= \nabla_{j} \nabla_{i} A_j – \nabla_{j} \nabla_{j} A_i \\ &= \nabla_{i} \qty( \vb*{\nabla} \cdot \vb*{A} ) – \nabla^2 A_{i} \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} \vb*{\nabla} \qty( f \vb*{A} ) &= \delta_{ij} \nabla_{i} \qty( f A_{j} ) \\ &= \delta_{ij} \qty( \nabla_{i} f ) A_j + \delta_{ij} f \qty( \nabla_{i} A_{j} ) \\ &= f\vb*{\nabla} \cdot \vb*{A} + \vb*{A} \cdot \vb*{\nabla} f \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} \qty[ \vb*{\nabla} \times \qty( f \vb*{A} ) ]_{i} &= \epsilon_{ijk} \nabla_{j} \qty( f A_{k} ) \\ &= \epsilon_{ijk} \qty( \nabla_{j} f ) A_{k} + \epsilon_{ijk} f \qty( \nabla_{j} A_{k} ) \\ &= \epsilon_{ikj} \qty( \nabla_{k} f ) A_{j} + \epsilon_{ijk} f \qty( \nabla_{j} A_{k} ) \\ &= – \epsilon_{ijk} A_{j} \qty( \nabla_{k} f ) + \epsilon_{ijk} f \qty( \nabla_{j} A_{k} ) \\ &= \epsilon_{ijk} \qty[ f \qty( \nabla_{j} A_{k} ) – A_{j} \qty( \nabla_{k} f ) ] \\ &= \qty[ f\vb*{\nabla} \times \vb*{A} – \vb*{A} \times \vb*{\nabla} f ]_{i} \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} \vb*{\nabla} \cdot \qty( \vb*{A} \times \vb*{B} ) &= \delta_{ij} \nabla_{i} \qty( \epsilon_{jkl} A_{k} B_{l} ) \\ &= \delta_{ij} \epsilon_{jkl} \left\{\qty( \nabla_{i} A_{k} ) B_{l} + A_{k} \qty( \nabla_{i} B_{l} ) \right\} \\ &= \epsilon_{ikl} \left\{\qty( \nabla_{i} A_{k} ) B_{l} + A_{k} \qty( \nabla_{i} B_{l} ) \right\} \\ &= \epsilon_{lik} B_{l} \qty( \nabla_{i} A_{k} ) – \epsilon_{kil} A_{k} \qty( \nabla_{i} B_{l} ) \\ &= \epsilon_{ikl} B_{i} \qty( \nabla_{k} A_{l} ) – \epsilon_{ikl} A_{i} \qty( \nabla_{k} B_{l} ) \\ &= B_{i} \qty( \epsilon_{ikl} \nabla_{k} A_{l} ) – A_{i} \qty( \epsilon_{ikl} \nabla_{k} B_{l} ) \\ &= \vb*{B} \cdot \qty( \vb*{\nabla} \times \vb*{A} ) – \vb*{A} \cdot \qty( \vb*{\nabla} \times \vb*{B} ) \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} \qty[ \vb*{\nabla} \times \qty( \vb*{A} \times \vb*{B} ) ]_{i} &= \epsilon_{ijk} \nabla_{j} \qty( \epsilon_{kqr} A_{q} B_{r} ) \\ &= \epsilon_{kij} \epsilon_{kqr} \nabla_{j} \qty( A_{q} B_{r} ) \\ &= \qty( {\delta_{{i}{q}} \delta_{{j}{r}} – \delta_{{i}{r}} \delta_{{j}{q}} } ) \nabla_{j} \qty( A_{q} B_{r} ) \\ &= \delta_{iq} \delta_{jr} \nabla_{j} \qty( A_{q} B_{r} ) – \delta_{ir} \delta_{jq} \nabla_{j} \qty( A_{q} B_{r} ) \\ &= \nabla_{j} \qty( A_{i} B_{j} ) – \nabla_{j} \qty( A_{j} B_{i} ) \\ &= \qty( \nabla_{j} A_{i} ) B_{j} + A_{i} \qty( \nabla_{j} B_{j} ) – \qty( \nabla_{j} A_{j} ) B_{i} – A_{j} \qty( \nabla_{j} B_{i} ) \\ &= \qty( \vb*{B} \cdot \vb*{\nabla} ) A_{i} + A_{i} \qty( \vb*{\nabla} \cdot \vb*{B} ) – \qty( \vb*{\nabla} \cdot \vb*{A} ) B_{i} – \qty( \vb*{A} \cdot \vb*{\nabla} ) B_{i} \\ &= \qty[ \qty( \vb*{B} \cdot \vb*{\nabla} ) \vb*{A} – \qty( \vb*{A} \cdot \vb*{\nabla} ) \vb*{B} – \vb*{B} \qty( \vb*{\nabla} \cdot \vb*{A} ) + \vb*{A} \qty( \vb*{\nabla} \cdot \vb*{B} ) ]_{i} \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} \vb*{\nabla} \cdot \qty( \vb*{\nabla} f \times \vb*{\nabla} g ) &= \delta_{ij} \nabla_{i} \epsilon_{jkl} \left\{\qty( \nabla_{k} f ) \qty( \nabla_{l}g ) \right\} \\ &= \underbrace{\epsilon_{ikl} \qty( \nabla_{i} \nabla_{k} f ) }_{=0} \qty( \nabla_{l}g ) + \qty( \nabla_{k} f ) \underbrace{\epsilon_{ikl} \qty( \nabla_{i} \nabla_{l}g )}_{=0} \\ &=0 \end{aligned}\]

ベクトル解析の公式一覧

\[ \vb*{A} \cdot \qty( \vb*{B} \times \vb*{C} ) = \qty( \vb*{A} \times \vb*{B} ) \cdot \vb*{C} = \vb*{B} \cdot \qty( \vb*{C} \times \vb*{A} ) = \vb*{C} \cdot \qty( \vb*{B} \times \vb*{A} ) = \mqty| A_1 & A_2 & A_3 \\ B_1 & B_2 & B_3 \\ C_1 & C_2 & C_3 | \] \[ \vb*{A} \times \qty( \vb*{B} \times \vb*{C} ) = \qty( \vb*{A} \cdot \vb*{C} )\vb*{B} – \qty( \vb*{A} \cdot \vb*{B} )\vb*{C} \] \[ \vb*{A} \times \qty( \vb*{B} \times \vb*{C} ) + \vb*{B} \times \qty( \vb*{C} \times \vb*{A} ) + \vb*{C} \times \qty( \vb*{A} \times \vb*{B} ) = 0 \] \[ \qty( \vb*{A} \times \vb*{B} ) \cdot \qty( \vb*{C} \times \vb*{D} ) = \qty( \vb*{A} \cdot \vb*{C} ) \qty( \vb*{B} \cdot \vb*{D} ) – \qty( \vb*{B} \cdot \vb*{C} ) \qty( \vb*{A} \cdot \vb*{D} ) \] \[ \vb*{\nabla} f = \mathrm{grad} \ f = \qty( \pdv{f}{x_{1}} , \pdv{f}{x_{2}} , \pdv{f}{x_{3}} ) \] \[ \vb*{\nabla} \cdot \vb*{A} = \mathrm{div} \ \vb*{A} = \pdv{A_{1}}{x_{1}} + \pdv{A_{2}}{x_{2}} + \pdv{A_{3}}{x_{3}} \] \[ \vb*{\nabla} \times \vb*{A} = \mathrm{rot} \ \vb*{A} = \mqty| \vb*{e}_{1} & \vb*{e}_{2} & \vb*{e}_{3} \\ \pdv{x_{1}} & \pdv{x_{2}} & \pdv{x_{3}} \\ A_{1} & A_{2} & A_{3} | \] \[ \vb*{\nabla} \cdot \vb*{\nabla} f = \mathrm{div} \ \qty( \mathrm{grad} \ f ) = \nabla^2f = \pdv[2]{f}{x_{1}} + \pdv[2]{f}{x_{2}} + \pdv[2]{f}{x_{3}} \] \[ \vb*{\nabla} \times \vb*{\nabla} f = \mathrm{rot} \qty( \mathrm{grad} \ f ) = \vb*{0} \] \[ \vb*{\nabla} \cdot \qty( \vb*{\nabla} \times \vb*{A} ) = \mathrm{div} \qty( \mathrm{rot} \ \vb*{A} ) = 0 \] \[ \vb*{\nabla} \times \qty( \vb*{\nabla} \times \vb*{A} ) = \mathrm{rot} \qty( \mathrm{rot} \ \vb*{A} ) = \vb*{\nabla} \qty( \vb*{\nabla} \cdot \vb*{A} ) – \nabla^2 \vb*{A} \] \[ \vb*{\nabla} \qty( f \vb*{A} ) = f\vb*{\nabla} \cdot \vb*{A} + \vb*{A} \cdot \vb*{\nabla} f \] \[ \vb*{\nabla} \times \qty( f \vb*{A} ) = f\vb*{\nabla} \times \vb*{A} – \vb*{A} \times \vb*{\nabla} f \] \[ \vb*{\nabla} \cdot \qty( \vb*{A} \times \vb*{B} ) = \vb*{B} \cdot \qty( \vb*{\nabla} \times \vb*{A} ) – \vb*{A} \cdot \qty( \vb*{\nabla} \times \vb*{B} ) \] \[ \vb*{\nabla} \times \qty( \vb*{A} \times \vb*{B} ) = \qty( \vb*{B} \cdot \vb*{\nabla} ) \vb*{A} – \qty( \vb*{A} \cdot \vb*{\nabla} ) \vb*{B} – \vb*{B} \qty( \vb*{\nabla} \cdot \vb*{A} ) + \vb*{A} \qty( \vb*{\nabla} \cdot \vb*{B} ) \] \[ \vb*{\nabla} \qty( \vb*{A} \cdot \vb*{B} ) = \vb*{A} \times \qty( \vb*{\nabla} \times \vb*{B} ) + \qty( \vb*{A} \cdot \vb*{\nabla} ) \vb*{B} + \vb*{B} \times \qty( \vb*{\nabla} \times \vb*{A} ) + \qty( \vb*{B} \cdot \vb*{\nabla} ) \vb*{A} \] \[ \vb*{\nabla} \cdot \qty( \vb*{\nabla} f \times \vb*{\nabla} g ) = 0 \]