ベクトル解析公式の証明 – 準備篇

前提とおことわり

ベクトルやスカラーの定義, 内積や外積の計算概念自体は既知とし, あくまでそれらの数学を道具として扱うことでどんな公式が得られるかを知ることを目的とする. 要するに, 大学程度の物理屋さんの感覚で議論させてもらう.

空間としては3次元空間を扱うこととする. また, \( \vb*{e}_{i} \) を3次元空間の互いに直交した単位ベクトルとする.

したがって, 3次元ベクトルは次式のように表現される. \[ \begin{aligned} \vb*{A} &= \sum_{i = 1}^{3} A_{i} \vb*{e}_{i} \\ &= A_{1} \vb*{e}_{1} + A_{2} \vb*{e}_{2} + A_{3} \vb*{e}_{3} \\ &= \qty( A_{1} , A_{2} , A_{3} ) \quad. \end{aligned} \]

つづくしばらくの項目で, ベクトル解析を記述する為の道具としてクロネッカーのデルタと, レヴィ=チヴィタ記号の二つを導入する.

また, Einsteinの提唱した略記法としてEinsteinの総和規約を導入することで, 紙と労力の大いな節約を行う.

クロネッカーのデルタ (Kronecker delta)

次式であらわれるような記号, クロネッカーのデルタを導入する. \[\begin{aligned} \delta_{ij} \coloneqq \left\{\begin{array}{ll} 1 & ( i = j ) \\ 0 & ( i \not = j) \\ \end{array} \right. \end{aligned}\] つまり, \[ \begin{aligned} \delta_{11} &=\delta_{22}=\delta_{33}=1 \quad .\\ \delta_{12} &=\delta_{13}=\delta_{21} \\ & = \delta_{23}=\delta_{31}=\delta_{32}=0 \quad . \end{aligned}\] というのをまとめ書きした記号ということである.

3次元の直交した単位ベクトル同士の内積 \( \vb*{e}_{i} \cdot \vb*{e}_{j} \) というのはクロネッカーのデルタと同等の性質を持っており, \[ \vb*{e}_{i} \cdot \vb*{e}_{j} = \delta_{ij} \] が成立する.

レヴィ=チヴィタ記号 (Levi-Civita symbol)

外積の満たす代数を取り扱うため, 次のような性質を持つ記号, レヴィ=チヴィタ記号を導入する. \[\begin{aligned} \epsilon_{ijk} \coloneqq \left\{\begin{array}{ll} 1 & (\text{ \( i \) , \( j \) , \( k \) の偶置換}) \\ -1 & (\text{ \( i \) , \( j \) , \( k \) の奇置換}) \\ 0 & (\text{それ以外}) \\ \end{array} \right. \quad. \end{aligned}\] つまり, \[ \begin{aligned} \epsilon_{123} &=\epsilon_{231}=\epsilon_{312}=1 \quad .\\ \epsilon_{132} &=\epsilon_{213}=\epsilon_{321}= – 1 \quad .\\ \epsilon_{111} &=\epsilon_{112}=\epsilon_{113} \\ & = \epsilon_{121}=\epsilon_{122} \\ & = \epsilon_{131}=\epsilon_{133}=0 \quad .\\ \epsilon_{211} &=\epsilon_{212} \\ & = \epsilon_{221}=\epsilon_{222}=\epsilon_{223} \\ & = \epsilon_{232}=\epsilon_{233}=0 \quad .\\ \epsilon_{311} &=\epsilon_{313} \\ & = \epsilon_{322}=\epsilon_{323} \\ & = \epsilon_{331}=\epsilon_{332}=\epsilon_{333}=0 \quad .\\ \end{aligned}\] というのをまとめ書きした記号である.

レヴィ=チヴィタ記号も3次元の直交した単位ベクトルを用いて次のように表現できる. \[ \abs{\vb*{e}_{i} \ \vb*{e}_{j} \ \vb*{e}_{k} } \coloneqq \vb*{e}_{i} \cdot \qty( \vb*{e}_{j} \times \vb*{e}_{k} ) = \epsilon_{ijk} \quad . \] 実際にこの性質を持っているかどうかは諸君の手で確かめてほしい.

ここで, “ \( \times \) ”は外積操作を表す演算子であり, 最左辺の式はスカラー三重積と呼ばれるものである,

Einsteinの総和規約 (Einstein summation convention)

単項の中に二回以上同じ添字があらわれた時, その添字については和をとることを約束する, すなわち, \[A_{i} B_{i} = \sum_{i}^{} A_{i} B_{i}\] といった具合である.

ただし, \( i \) の添字の和を取る範囲については適宜適切なぶんだけ走らせることにする.

このページでは3次元空間のみを扱うので, \( i \) は \( 1 \) から \( 3 \) まで走らせることになる. それ以外の場合にはその都度 \( i \) を走らせる範囲を明記することにする.

内積

ベクトル解析を行う上での基本的な事項として, 内積操作をクロネッカーのデルタを用いて表現・計算してみよう.

簡単な例として, 二つの3次元ベクトル \( \vb*{A} \) , \( \vb*{B} \) の内積は, \[\begin{aligned} \vb*{A} \cdot \vb*{B} & \coloneqq \sum_{i} A_{i} \vb*{e}_{i} \cdot \sum_{j} B_{j} \vb*{e}_{j} \\ & = A_{i} B_{j} \vb*{e}_{i} \cdot \vb*{e}_{j} \\ & = A_{i} B_{j} \delta_{ij} \notag \\ & = A_{1} B_{1} \delta_{11} + A_{1} B_{2} \delta_{12} + A_{1} B_{3} \delta_{13} \\ & \phantom{=} + A_{2} B_{1} \delta_{21} + A_{2} B_{2} \delta_{22} + A_{2} B_{3} \delta_{23} \\ & \phantom{=} + A_{3} B_{1} \delta_{31} + A_{3} B_{2} \delta_{32} + A_{3} B_{3} \delta_{33} \\ & = A_{1} B_{1} \cdot 1 + A_{1} B_{2} \cdot 0 + A_{1} B_{3} \cdot 0 \\ & \phantom{=} + A_{2} B_{1} \cdot 0 + A_{2} B_{2} \cdot 1 + A_{2} B_{3} \cdot 0 \\ & \phantom{=} + A_{3} B_{1} \cdot 0 + A_{3} B_{2} \cdot 0 + A_{3} B_{3} \cdot 1 \\ & = A_{1} B_{1} + A_{2} B_{2} + A_{3} B_{3} \\ & = A_{i} B_{i} \quad . \end{aligned}\] となる.

外積

外積操作をレヴィ＝チヴィタ記号を用いて表現・計算してみよう.

以下の計算において, 記号 \( \qty[ \vb*{A} ]_{i} \) はベクトル量 \( \vb*{A} \) の \( i \) 成分を意味するものとする.

3次元のベクトル量 \( \vb*{A} \) , \( \vb*{B} \) に対し, \[ \begin{aligned} \qty[ \vb*{A} \times \vb*{B} ]_{i} & \eqqcolon \sum_{j} A_{j} \vb*{e}_{j} \times \sum_{k} B_{k} \vb*{e}_{k} \\ & = \sum_{j,k} A_{j} B_{k} \vb*{e}_{j} \times \vb*{e}_{k} \\ & = \epsilon_{ijk} A_{j} B_{k} \quad. \end{aligned} \] となる. 1つの成分について具体的に示しておくと, \[\begin{aligned} \qty[ \vb*{A} \times \vb*{B} ]_{1} &= \epsilon_{1jk} A_{j} B_{k} \\ &= \epsilon_{111} A_{1}B_{1} + \epsilon_{112} A_{1}B_{2} + \epsilon_{113} A_{1}B_{3} \\ & \phantom{=} + \epsilon_{121} A_{2}B_{1} + \epsilon_{122} A_{2}B_{2} + \epsilon_{123} A_{2}B_{3} \\ & \phantom{=} + \epsilon_{131} A_{3}B_{1} + \epsilon_{132} A_{3}B_{2} + \epsilon_{133} A_{3}B_{3} \\ &= 0 \cdot A_{1}B_{1} + 0 \cdot A_{1}B_{2} + 0 \cdot A_{1}B_{3} \\ & \phantom{=} + 0 \cdot A_{2}B_{1} + 0 \cdot A_{2}B_{2} + 1 \cdot A_{2}B_{3} \\ & \phantom{=} + 0 \cdot A_{3}B_{1} – 1 \cdot A_{3}B_{2} + 0 \cdot A_{3}B_{3} \\ &= A_{2}B_{3} – A_{3}B_{2} \\ &= \epsilon_{1jk} A_{j}B_{k} \end{aligned}\] といった具合である.

ナブラ演算子

次式で定義するような, 偏微分演算を成分に持つと解釈できる演算子, ナブラ演算子を導入する. \[ \begin{aligned} \vb*{\nabla} &\coloneqq \qty( \pdv{x} , \pdv{y} , \pdv{z} ) \\ &=\qty( \pdv{x_{1}} , \pdv{x_{2}} , \pdv{x_{3}} ) \quad . \end{aligned}\]

この \( \vb*{\nabla} \) 演算子はスカラーやベクトルに作用することで初めて意味をなし, また, 一般には可換でないことを注意しておく. すなわち, この演算子のすぐ右にかかるスカラー量ないしはベクトル量に作用するが, 左の量には作用しない.

勾配 (gradient)

関数 \( f \) に対して, \[ \begin{aligned} \vb*{\nabla} f &\coloneqq \sum_{i} \partial_i \, f = \sum_{i} \pdv{f}{x_i} \\ & = \qty( \pdv{f}{x_1}, \pdv{f}{x_2} , \pdv{f}{x_3} ) \end{aligned} \] これを関数 \( f \) の勾配(グラディエント)と呼び, \[ \mathrm{grad} \ f\] などとも書く.

発散 (divergence)

ベクトル \( \vb*{A} \) に対してナブラ演算子を左から内積と同じように作用させた量 \[\vb*{\nabla} \cdot \vb*{A} = \nabla_i A_{i} = \pdv{A_{i}}{x_{i}}\] をベクトル \( \vb*{A} \) の発散と呼び, \[\mathrm{div} \ \vb*{A}\] などと書いたりする.

この量は, 物理的にはある点からの湧き出し量を記述している.

回転 (rotation)

ベクトル \( \vb*{A} \) に対してナブラ演算子を左から外積と同じように作用させた量 \[\vb*{\nabla} \times \vb*{A} = \mathrm{rot} \ \vb*{A}\] をベクトル \( \vb*{A} \) の回転と呼ぶ.

あるベクトル \( \vb*{A} \) の回転の第 \( i \) 成分は次式で表すことが出来る. \[\qty[ \vb*{\nabla} \times \vb*{A} ]_{i} = \epsilon_{ijk} \nabla_j A_{k} = \epsilon_{ijk} \pdv{A_{k}}{x_{j}}\]

この量は, 物理的にはある点周りの渦度を記述している.

レヴィ＝チヴィタ記号の積

レヴィ＝チヴィタ記号の積について考える.

レヴィ＝チヴィタ記号はスカラー三重積, すなわち行列式で表すことが出来た. 以下, ベクトル \( \vb*{e}_{i} \) の第 \( j \) 成分を \( \vb*{e}_{ij} \) と書くことにしておけば, \[\begin{align} \epsilon_{ijk}\epsilon_{pqr} &= \mqty| \vb*{e}_{i1} & \vb*{e}_{i2} & \vb*{e}_{i3} \\ \vb*{e}_{j1} & \vb*{e}_{j2} & \vb*{e}_{j3} \\ \vb*{e}_{k1} & \vb*{e}_{k2} & \vb*{e}_{k3} | \mqty| \vb*{e}_{p1} & \vb*{e}_{p2} & \vb*{e}_{p3} \\ \vb*{e}_{q1} & \vb*{e}_{q2} & \vb*{e}_{q3} \\ \vb*{e}_{r1} & \vb*{e}_{r2} & \vb*{e}_{r3} | \notag \\ &= \mqty| \vb*{e}_{i1} & \vb*{e}_{i2} & \vb*{e}_{i3} \\ \vb*{e}_{j1} & \vb*{e}_{j2} & \vb*{e}_{j3} \\ \vb*{e}_{k1} & \vb*{e}_{k2} & \vb*{e}_{k3} | \mqty| \vb*{e}_{p1} & \vb*{e}_{q1} & \vb*{e}_{r1} \\ \vb*{e}_{p2} & \vb*{e}_{q2} & \vb*{e}_{r2} \\ \vb*{e}_{p3} & \vb*{e}_{q3} & \vb*{e}_{r3} | \notag \\ &= \mqty| \vb*{e}_{i1} \cdot \vb*{e}_{p1}+\vb*{e}_{i2} \cdot \vb*{e}_{p2}+\vb*{e}_{i3} \cdot \vb*{e}_{p3} & \vb*{e}_{i1} \cdot \vb*{e}_{q1}+\vb*{e}_{i2} \cdot \vb*{e}_{q2}+\vb*{e}_{i3} \cdot \vb*{e}_{q3} & \vb*{e}_{i1} \cdot \vb*{e}_{r1}+\vb*{e}_{i2} \cdot \vb*{e}_{r2}+\vb*{e}_{i3} \cdot \vb*{e}_{r3} \\ \vb*{e}_{j1} \cdot \vb*{e}_{p1}+\vb*{e}_{j2} \cdot \vb*{e}_{p2}+\vb*{e}_{j3} \cdot \vb*{e}_{p3} & \vb*{e}_{j1} \cdot \vb*{e}_{q1}+\vb*{e}_{j2} \cdot \vb*{e}_{q2}+\vb*{e}_{j3} \cdot \vb*{e}_{q3} & \vb*{e}_{j1} \cdot \vb*{e}_{r1}+\vb*{e}_{j2} \cdot \vb*{e}_{r2}+\vb*{e}_{j3} \cdot \vb*{e}_{r3} \\ \vb*{e}_{k1} \cdot \vb*{e}_{p1}+\vb*{e}_{k2} \cdot \vb*{e}_{p2}+\vb*{e}_{k3} \cdot \vb*{e}_{p3} & \vb*{e}_{k1} \cdot \vb*{e}_{q1}+\vb*{e}_{k2} \cdot \vb*{e}_{q2}+\vb*{e}_{k3} \cdot \vb*{e}_{q3} & \vb*{e}_{k1} \cdot \vb*{e}_{r1}+\vb*{e}_{k2} \cdot \vb*{e}_{r2}+\vb*{e}_{k3} \cdot \vb*{e}_{r3} | \notag \\ &= \mqty| \vb*{e}_{i} \cdot \vb*{e}_{p} & \vb*{e}_{i} \cdot \vb*{e}_{q} & \vb*{e}_{i} \cdot \vb*{e}_{r}\\ \vb*{e}_{j} \cdot \vb*{e}_{p} & \vb*{e}_{j} \cdot \vb*{e}_{q} & \vb*{e}_{j} \cdot \vb*{e}_{r} \\ \vb*{e}_{k} \cdot \vb*{e}_{p} & \vb*{e}_{k} \cdot \vb*{e}_{q} & \vb*{e}_{k} \cdot \vb*{e}_{r} | \notag \\ &= \mqty| \delta_{ip} & \delta_{iq} & \delta_{ir} \\ \delta_{jp} & \delta_{jq} & \delta_{jr} \\ \delta_{kp} & \delta_{kq} & \delta_{kr} | \end{align} \] と書くことが出来る.

ここで, \( i = p \) の場合, \[\begin{aligned} \epsilon_{ijk} \epsilon_{iqr} &= \mqty| \delta_{ii} & \delta_{iq} & \delta_{ir} \\ \delta_{ji} & \delta_{jq} & \delta_{jr} \\ \delta_{ki} & \delta_{kq} & \delta_{kr} | \\ &= \delta_{ii} \mqty| \delta_{jq} & \delta_{jr} \\ \delta_{kq} & \delta_{kr} | – \delta_{ji} \mqty| \delta_{iq} & \delta_{ir} \\ \delta_{kq} & \delta_{kr} | + \delta_{ki} \mqty| \delta_{iq} & \delta_{ir} \\ \delta_{jq} & \delta_{jr} | \notag \\ &= 3 \mqty| \delta_{jq} & \delta_{jr} \\ \delta_{kq} & \delta_{kr} | – \mqty| \delta_{jq} & \delta_{jr} \\ \delta_{kq} & \delta_{kr} | + \mqty| \delta_{kq} & \delta_{kr} \\ \delta_{jq} & \delta_{jr} | \notag \\ &= 3 \mqty| \delta_{jq} & \delta_{jr} \\ \delta_{kq} & \delta_{kr} | – \mqty| \delta_{jq} & \delta_{jr} \\ \delta_{kq} & \delta_{kr} | – \mqty| \delta_{jq} & \delta_{jr} \\ \delta_{kq} & \delta_{kr} | \\ &= \mqty| \delta_{jq} & \delta_{jr} \\ \delta_{kq} & \delta_{kr} | \notag \\ &= {\delta_{{j}{q}} \delta_{{k}{r}} – \delta_{{j}{r}} \delta_{{k}{q}} } \end{aligned}\]

さらに, \( j = q \) の場合, \[\epsilon_{ijk} \epsilon_{ijr} = {\delta_{{j}{j}} \delta_{{k}{r}} – \delta_{{j}{r}} \delta_{{k}{j}} } = 3\delta_{kr} – \delta_{kr} = 2\delta_{kr} \quad . \]

最後に \( k = r \) とすると最終的に次式を得る. \[\epsilon_{ijk}\epsilon_{ijk} = 2\delta_{kk} = 6 \quad.\]

レヴィ＝チヴィタ記号の積について重要なものを以下にまとめておく

\[ \begin{align} \epsilon_{ijk} \epsilon_{iqr} & = \delta_{{j}{q}} \delta_{{k}{r}} – \delta_{{j}{r}} \delta_{{k}{q}} \label{Levi-Civitaの積1} \\ \epsilon_{ijk} \epsilon_{ijr} & = 2\delta_{kr} \label{Levi-Civitaの積2} \\ \epsilon_{ijk} \epsilon_{ijk} & = 6 \label{Levi-Civitaの積3} \end{align} \]