テブナンの定理

抵抗や直流電源を多数含んだ回路中において, ある特定の岐路に流れる電流値だけを知りたいときに使い勝手のよい定理として, テブナンの定理と呼ばれるものがある.

テブナンの定理とは, 抵抗素子や直流電源が入り乱れた回路を1つの直流電源と1つの抵抗 — 内部抵抗を含んだ直流電圧源 — に置き換えることが出来るというものである.

回路の問題において, 回路全体の各岐路に流れる電流を知りたいならばキルヒホッフの法則重ね合わせの理によって回路全体を解析すればよいが, 回路中のある部分だけの電流を知りたい場合にはテブナンの定理のほうが圧倒的に手早く計算することができる.

いかで議論するように, テブナンの定理は幾分複雑な直流回路の部分的な解析に大変有用であるので, 是非とも自らの手を動かして習得して欲しい[1].


例1:単純な回路への適用例

まずは, テブナンの定理の計算手順を習得してもらうために, 下図に示すような簡単な回路において, 抵抗 \( R_{3} \) に流れる電流 \( I \) を求めよう.

step1 : 回路を二つの領域に分離する

注目している抵抗 \( R_{3} \) の両端を点 \( a \) , 点 \( b \) とし, この2点によって回路を2つの領域に分離する.

以下では, \( R_{3} \) を含んでいない領域を領域1, \( R_{3} \) を含んだ領域を領域2とする.

step2 : 開放電圧を求める

以下しばらく, 領域1と領域2を切り離し, 領域1に注目する.

領域1について考えている間, 点 \( a \) と点 \( b \) の先は断線されたとして取り扱う. すなわち, \( ab \) 間に無限大の抵抗が存在するとして考える. このような置き換え操作を開放すると表現する.

この領域1の回路における点 \( a \) と点 \( b \) の電位差 \( V_{ab} \) を求めることが次に行うことである. このような電圧 \( V_{ab} \) を開放電圧という.

領域1中の抵抗素子 \( R_{2} \) には電流が流れないので, 開放電圧 \( V_{ab} \) は点 \( b \) を電位の基準として \[V_{ab} = E_{1}\] である.

step3 : 点 \( ab \) から見た合成抵抗を求める

続いても領域1に注目するが, 今回は領域1に含まれている電圧源を抵抗ゼロの導線に置き換えた回路を考える. このような置き換え操作を短絡すると表現する.

つまり, 領域1の回路を下図のように置き換えて, \( ab \) 間の合成抵抗 \( R_{0} \) を求めることが次に行うことである.

今の場合, \[\begin{aligned} R_{0} &= R_{2} + \frac{R_{1} \cdot 0}{R_{1}+0} \\ &=R_{2} \end{aligned}\] である.

step4 : 等価電圧源に置き換える

以上までで, テブナンの定理の下ごしらえは終了している.

テブナンの定理とは, 元の回路における領域1は電位差 \( V_{ab} \) を作る電源(起電力 \( E_{0}=V_{ab} \) )と内部抵抗 \( R_{0} \) で構成された電圧源, 等価電圧源にそっくりそのまま置き換えることができるというものである.

テブナンの定理を適用し, 領域1と領域2を接続した下図のような回路の抵抗 \( R_{3} \) に流れる電流 \( I \) を求める問題に置き換えよう.

このようにして元の回路をテブナンの定理によって置き換えた回路を等価回路という.

この等価回路で抵抗素子 \( R_{3} \) に流れる電流を求めることは容易で, キルヒホッフの法則により, \[\begin{aligned} E_{0} &= \left( R_{0} + R_{3} \right) I \\ \Longrightarrow \ I &= \frac{E_{0}}{R_{0} +R_{3}} \\ &=\frac{ E_{1} }{ R_{2} + R_{3}} \end{aligned}\] である.

このような単純な回路では有り難みがうすいが, 考える回路が複雑になるほどテブナンの定理の有り難みが増してくることになる.

例2:2つの電源と3つの抵抗を含んだ回路

次のような, 幾分複雑な回路において抵抗 \( R_{3} \) に流れる電流 \( I_{3} \) を, テブナンの定理を用いて求めてみよう.

なお, この例題はキルヒホッフの法則, 重ね合わせの理でも取り扱っているので参考にして欲しい.

step1 : 回路を二つの領域に分離する

抵抗 \( R_{3} \) の両端を \( a \) , \( b \) とし, この2点を境に抵抗素子 \( R_{3} \) を含まない領域1抵抗素子 \( R_{3} \) を含む領域2の2つの領域に分離して考える.

step2 : 開放電圧を求める

領域1において, \( ab \) 間が開放された回路は下図のようになる.

このときの \( ab \) 間の電位差 \( V_{ab} \) を求める. 点 \( a \) での電位を \( V_a \) , 点 \( b \) での電位を \( V_b \) として点 \( b \) を電位の基準点に選ぶと, \[\left\{ \begin{aligned} V_{a} &= E_{2} + \frac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}}\left(E_{1}-E_{2}\right)\\ V_{b} &= 0 \end{aligned} \right.\] であり, \[\begin{aligned} V_{ab} &=V_{a}-V_{b} \\ &= E_{2} + \frac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}}\left( E_{1}-E_{2}\right)\end{aligned}\] である.

step3 : 点 \( ab \) から見た合成抵抗を求める

つづいて, 同じ領域1に存在する電源が短絡された回路は下図のようになる.

このときの領域1における \( ab \) 間の合成抵抗 \( R_{0} \) は \[\begin{aligned} \frac{1}{R_{0}} &= \frac{1}{R_{1}} +\frac{1}{R_{2}} \\ \iff \ R_{0} &= \frac{R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}\end{aligned}\] である.

step4 : 等価電圧源に置き換える

テブナンの定理により, 領域1は電位差 \( V_{ab} \) を生む電源 \( E_{0} \) と内部抵抗 \( R_{0} \) で構成される等価電圧源に置き換えることができる.

領域1を等価電圧源に置き換たものを領域2と接続した回路が下図である.

あとはこの単純な回路に対してキルヒホッフの法則を適用することにより, \[\begin{aligned} E_{0} &= I_{3} \left( R_{0} + R_{3}\right) \\ I_{3} &= \frac{E_{0}}{R_{0} + R_{3} } \\ &= \frac{V_{2} + \frac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}}\left( E_{1}-E_{2}\right)}{\frac{R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}+R_{3}} \\ &= \frac{\left(R_{1}+R_{2}\right)E_{2}+\left(E_{1}-E_{2}\right)R_{2}}{R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}} \\ &= \frac{R_{1}E_{2}+R_{2}E_{1}}{R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}} \end{aligned}\] と電流 \( I_{3} \) を求めることができた.

本来ならばキルヒホッフの法則や重ね合わせの理による連立方程式を解くことで \( I_{3} \) を求めなくてはならないところを, テブナンの定理を使うことで非常に素早く, 短く解くことができた.

回路全体の各岐路に流れる電流を知りたければ, 結局キルヒホッフの法則を適用した場合と同程度の計算をすることにはなるのだが, 回路中のある部分だけの電流を知りたい場合やキルヒホッフで求めた解があっているかの検算などではテブナンの定理のほうがあきらかにスピード感を持って解くことが出来る.

最終更新日
重ね合わせの理 テレゲンの定理と電力保存則



補足    (↵ 本文へ)
  1. なお, テブナンの定理は直流回路において適用可能であることをはじめに明言したが, 交流においても回路上の素子が持つインピーダンス(抵抗を拡張した概念)で同様の計算が成立することが鳳によって示されており, それらを合わせて鳳-テブナンの定理と言われる. 鳳-テブナンの定理については別途記事を用意する予定である.

スポンサーリンク

この記事をシェアする

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です