重ね合わせの定理(電気回路)

電子回路分野で重ね合わせの定理[1]と呼ばれている, 回路上に電源が多数存在する場合などに効果を発揮する法則について紹介する[2].

重ね合わせの定理とは, 回路上に電源が多数存在する場合の各岐路を流れる電流は, 『1つの電源を除く他の電源がなかったとみなした時に流れる電流』の代数和に等しいことをいう.[3]

言葉にすると少し難しく受け止められてしまうが, 具体例を見ればその意味するところがよくわかるであろう. ということで, ここでは早速例題を示すことにする.

例1:最も単純な例

重ね合わせの定理を適用するようなもっとも簡単な例は, 次のような回路であろう.

この回路には電源が2つ( \( E_{1} \) , \( E_{2} \) ), 抵抗素子(抵抗値: \( R_{1} \) )が1つ存在している.

この単純な回路を通して, 重ね合わせの定理の考え方を示そう.

キルヒホッフの法則のみを用いた解法

まずは標準的な解法であるキルヒホッフの法則のみを用いた解法を確認しておこう.

抵抗素子を流れる電流を \( I_{1} \) とし, キルヒホッフの第2法則を適用すると, \[\begin{aligned} & E_{1} + E_{2} = R_{1} I_{1} \\ \therefore \ & I_{1} = \frac{E_{1}+E_{2}}{R_{1}} \quad . \end{aligned}\]

重ね合わせの定理を用いた解法

続いて, 重ね合わせの定理を採用した場合のステップを見てみよう.

いま問題となっているような, 2つの電源を含んだ1つの回路について重ね合わせの定理を用いるとき,下図に示すような1つの電源のみを含んだ2つの回路分解し, 各回路で算出された電流の代数和を計算するのである.

分解された1つ目の回路(右上図)について, \[\begin{aligned} & E_{1} = R_{1} I^{\prime}_{1} \\ \therefore \ & I^{\prime}_{1} = \frac{E_{1}}{R_{1}} \quad . \end{aligned}\]

分解された2つ目の回路(右下図)について, \[\begin{aligned} & E_{2} = R_{1} I^{\prime \prime}_{1} \\ \therefore \ & I^{\prime \prime}_{1} = \frac{E_{2}}{R_{1}} \quad . \end{aligned}\]

以上で求めた \( I^{\prime}_{1} \) と \( I^{\prime \prime}_{1} \) との代数和分解前の回路で流れている電流 \( I_{1} \) となることが重ね合わせの定理の主張である.

すなわち, \[\begin{aligned} I_{1} &= I^{\prime}_{1} + I^{\prime \prime}_{1} \\ &= \frac{E_{1}+E_{2}}{R_{1}} \end{aligned}\] が成立する.

今回は非常に単純な回路を考えたので, 重ね合わせの定理を持ち出すまでもなかったが, 電源装置の数などが増えてくるとその有用性が増す定理である.

例2:2つの電源と3つの抵抗を含んだ回路

もうひとつ, 下図のように電源装置2つ, 抵抗素子が3つの回路について考えてみよう.

重ね合わせの定理を用いた解法

重ね合わせの定理を用いるために, 電源を1つだけ含んだ2つの回路に分解して考える.

電源 \( E_{1} \) のみを含み, \( E_{2} \) がなかったことにした回路について, 電流 \( I^{\prime}_{1} \) , \( I^{\prime}_{2} \) , \( I^{\prime}_{3} \) の向きを右上図のように設定し, キルヒホッフの第1法則・第2法則を適用すると, \[\begin{aligned} I^{\prime}_{1} &= I^{\prime}_{2} + I^{\prime}_{3} \\ E_{1} &= R_{1}I^{\prime}_{1} + R_{3}I^{\prime}_{3} \\ E_{1} &= R_{1}I^{\prime}_{1} + R_{2}I^{\prime}_{2} \end{aligned}\] 第1式を第2式と第3式にそれぞれ代入すると, \[\begin{aligned} E_{1} &= R_{1}I^{\prime}_{2} + \left( R_{1} +R_{3} \right) I^{\prime}_{3} \\ E_{1} &= \left( R_{1} +R_{2} \right) I^{\prime}_{2} +R_{1}I^{\prime}_{3} \end{aligned}\] となる.

これを \( I^{\prime}_{2} \) および \( I^{\prime}_{3} \) について解くと, \[\begin{aligned} I^{\prime}_{2} &= \frac{R_{3}E_{1}}{R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}} \\ I^{\prime}_{3} &= \frac{R_{2}E_{1}}{R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}} \\ \therefore \ I^{\prime}_{1} &= I^{\prime}_{2} + I^{\prime}_{3} \\ &= \frac{\left(R_{2}+R_{3}\right)E_{1}}{R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}} \end{aligned}\] 電源 \( E_{2} \) のみを含み, \( E_{1} \) がなかったことにした回路について, 電流 \( I^{\prime \prime}_{1} \) , \( I^{\prime \prime}_{2} \) , \( I^{\prime \prime}_{3} \) の向きを右下図のように設定し, キルヒホッフの第1法則・第2法則を適用すると, \[\begin{aligned} I^{\prime \prime}_{2} &= I^{\prime \prime}_{1} + I^{\prime \prime}_{3} \\ E_{2} &= R_{2}I^{\prime \prime}_{2} + R_{1}I^{\prime \prime}_{1} \\ E_{2} &= R_{2}I^{\prime \prime}_{2} + R_{3}I^{\prime \prime}_{3} \end{aligned}\] 第1式を第2式と第3式にそれぞれ代入すると, \[\begin{aligned} E_{2} &= \left( R_{1} +R_{2} \right) I^{\prime \prime}_{1} + R_{2}I^{\prime \prime}_{3} \\ E_{2} &= R_{2} I^{\prime \prime}_{1} + \left( R_{2} +R_{3} \right) I^{\prime \prime}_{3} \end{aligned}\] となる.

これを \( I^{\prime \prime}_{1} \) および \( I^{\prime \prime}_{3} \) について解くと, \[\begin{aligned} I^{\prime \prime}_{1} &= \frac{R_{3}E_{2}}{R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}} \\ I^{\prime \prime}_{3} &= \frac{R_{1}E_{2}}{R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}} \\ \therefore \ I^{\prime \prime}_{2} &= I^{\prime \prime}_{1} + I^{\prime \prime}_{3} \\ &= \frac{\left(R_{1}+R_{3}\right)E_{2}}{R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}} \end{aligned}\] 上記で求めた電流の重ね合わせを行うと, \[\begin{aligned} I_{1} &= I^{\prime}_{1} + ( – I^{\prime \prime}_{1}) \\ &= \frac{\left(R_{2}+R_{3}\right)E_{1}-R_{3}E_{2}}{R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}} \\ I_{2} &= ( – I^{\prime}_{2}) + I^{\prime \prime}_{2} \\ &= \frac{-R_{3}E_{1}+\left(R_{1}+R_{3}\right)E_{2}}{R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}} \\ I_{3} &= I^{\prime}_{3} + I^{\prime \prime}_{3} \\ &= \frac{R_{2}E_{1}+R_{1}E_{2}}{R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}} \end{aligned}\] となる. この結果がキルヒホッフの法則と一致することも確かめておこう.

キルヒホッフの法則のみを用いた解法

確認のため, 同じ回路をキルヒホッフの法則を用いて解いてみよう. 各抵抗素子を流れる電流を下図のように設定する.

キルヒホッフの第1法則・第2法則を適用すると, \[\begin{aligned} I_{1} +I_{2} &= I_{3} \\ E_{1} &= R_{1} I_{1} + R_{3} I_{3} \\ E_{1} – E_{2} &= R_{1} I_{1} – R_{2} I_{2} \end{aligned}\] となる.

第1式を第2式と第3式にそれぞれ代入すると, \[\begin{aligned} E_{1} &= \left( R_{1} + R_{3} \right) I_{1} + R_{3} I_{2} \\ E_{1} – E_{2} &= R_{1} I_{1} – R_{2} I_{2} \end{aligned}\] となる.

詳しい計算過程は脚注にまわし[4], その結果だけを書くと, \[\begin{aligned} I_{1} & = \frac{\left(R_{2}+R_{3}\right)E_{1}-R_{3}E_{2}}{R_{1}R_{2} + R_{2}R_{3} + R_{3}R_{1}} \\ I_{2} &= \frac{-R_{3}E_{1}+\left(R_{1}+R_{3}\right)E_{2}}{R_{1}R_{2} + R_{2}R_{3} + R_{3}R_{1}} \\ I_{3} &= \frac{ R_{2}E_{1} + R_{1}E_{2} }{ R_{1}R_{2} + R_{2}R_{3} + R_{3}R_{1} } \end{aligned}\]

重ね合わせの定理は回路に含まれているのがダイオードトランジスタといった素子を含まず, 抵抗素子, コンデンサ, コイルなどから形成される線形回路の場合, つまり, オームの法則に従うような素子のみで形成された回路であるならばいつでも適用することができる.

最終更新日
キルヒホッフの法則 テブナンの定理



補足    (↵ 本文へ)
  1. 「重ね合わせの理」や「重ねの理」などとも呼ばれる.

  2. より正確には, 多数の電源や電流源を含んだ回路というべきである. 高校物理ではあまりみかけないが, 電流源という回路装置も存在しており重ね合わせの定理はそれらを含んだ場合にも適用できる汎用性の高い定理である.

  3. 電源に加えて電流源も存在するような回路においては次のように考える.

    ある一つの電源だけを残す場合には他のすべての電源は短絡し(抵抗がゼロの導線とみなし), 全ての電流源は開放する(抵抗が無限大の素子とみなす). また, ある一つの電流源だけを残す場合には他のすべての電流源は開放し, 全ての電源が短絡した回路を考えることになる.

  4. \[\begin{aligned} & \left\{ \begin{aligned} R_{2}E_{1} &= R_{2}\left( R_{1} + R_{3} \right) I_{1} +R_{2} R_{3} I_{2} \\ R_{3}\left( E_{1} – E_{2} \right) &= R_{1}R_{3} I_{1} – R_{2} R_{3}I_{2} \end{aligned} \right. \\ \to & I_{1} = \frac{\left(R_{2}+R_{3}\right)E_{1}-R_{3}E_{2}}{R_{1}R_{2} + R_{2}R_{3} + R_{3}R_{1}} \end{aligned}\] \[\begin{aligned} & \left\{ \begin{aligned} R_{1}E_{1} &= R_{1}\left( R_{1} + R_{3} \right) I_{1} +R_{1} R_{3} I_{2} \\ \left( R_{1} + R_{3} \right) \left( E_{1} – E_{2} \right) &= R_{3} R_{1}\left( R_{1} + R_{3} \right) I_{1} – R_{2} R_{1}\left( R_{1} + R_{3} \right) I_{2} \end{aligned} \right. \\ \to & I_{2} = \frac{-R_{3}E_{1}+\left(R_{1}+R_{3}\right)E_{2}}{R_{1}R_{2} + R_{2}R_{3} + R_{3}R_{1}} \end{aligned}\] \[\begin{aligned} I_{3} &= I_{1} + I_{2} \\ &= \frac{ R_{2}E_{1} + R_{1}E_{2} }{ R_{1}R_{2} + R_{2}R_{3} + R_{3}R_{1} } \end{aligned}\]

スポンサーリンク

この記事をシェアする