オイラーの微分方程式

2階線形微分方程式のうち, 定数 \( a \) , \( b \) と \( x \) の関数 \( R(x) \) を用いて \[x^{2} y^{\prime \prime} + a x y^{\prime} + b y = R(x) \notag\] と書けるもの, またはこの同伴方程式である \[x^{2} y^{\prime \prime} + a x y^{\prime} + b y = 0 \notag\] のことを(2階の)オイラーの微分方程式という.

変数係数を持つ2階線形微分方程式の一般的な解法は知られていないが, オイラーの微分方程式は変数変換を行うことで定数係数2階線形微分方程式へと変形できることを議論しよう.
定数係数2階線形同次微分方程式の一般解,
定数係数2階線形非同次微分方程式の一般解

以下では対数関数が頻繁に登場するので, 物理分野で用いられる記法を一つ紹介しておこう. ネイピア数 \( e \) を底に持つような対数関数 \( \log_{e}{x} \) のことを \( \ln{x} \) と書くことにする. \[\ln{x} \mathrel{\mathop:}= \log_{e}{x} \quad . \notag\]

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オイラーの微分方程式の変数変換
同次方程式の一般解
非同次方程式の一般解


オイラーの微分方程式の変数変換

オイラーの微分方程式 \[x^{2} y^{\prime \prime} + a x y^{\prime} + b y = R(x) \label{difeq2ndEuler1}\] において, \[x = e^{t} \ \iff \ t = \ln{x} \notag\] という変数変換を行おう. このとき, \( y^{\prime} \) および \( y^{\prime \prime} \) は \( \frac{dt}{dx}=\frac{1}{x} \) に注意すると, \[\begin{aligned} y^{\prime} &= \frac{dy}{dx} = \frac{dt}{dx} \frac{dy}{dt} \notag \\ &= \frac{1}{x} \frac{dy}{dt} \notag \\ y^{\prime\prime} &= \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x} \frac{dy}{dt} \right)\notag \\ &= \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x} \right) \frac{dy}{dt} + \frac{1}{x} \frac{dt}{dx} \frac{d}{dt} \left( \frac{dy}{dt} \right) \notag \\ &= \frac{1}{x^{2}} \left( \frac{d^{2}y}{dt^{2}} – \frac{dy}{dt} \right) \notag \end{aligned}\] と表すことができるので, 式\eqref{difeq2ndEuler1}は \( t \) を独立変数に持つ関数 \( y(t) \) の微分方程式 \[\frac{d^{2}y}{dt^{2}} + \left( a -1 \right) \frac{dy}{dt} + b y = R(t) \notag\] と書き換えることができる.

同次方程式の一般解

同次方程式であるオイラーの微分方程式 \[x^{2} y^{\prime \prime} + a x y^{\prime} + b y = 0 \label{difeq2ndEulerdouji}\] に対して変数変換 \( t = \ln{x} \) を行なった式 \[\frac{d^{2}y}{dt^{2}} + \left( a -1 \right) \frac{dy}{dt} + b y = 0 \label{difeq2ndEulerdoujit}\] は定数係数2階線形同次微分方程式となっているので, この一般解は機械的に知ることができる. すなわち, 式\eqref{difeq2ndEulerdoujit}に対応する特性方程式 \[\lambda^{2} + \left( a – 1 \right) \lambda + b = 0 \label{difeq2ndEulerdoujittokusei}\] が(i)二つの異なる実数解 \( \lambda_{1} \) , \( \lambda_{2} \) を持つとき, (ii)二つの異なる虚数解 \( \lambda_{1}=p+iq \) , \( \lambda_{2}=p-iq \) を持つとき, (iii)重解 \( \lambda_{0} \) を持つとき, のそれぞれに応じて基本解が決定される.(定数係数2階線形同次微分方程式の一般解)

二つの異なる実数解 \( \lambda_{1} \) , \( \lambda_{2} \) を持つとき

特性方程式\eqref{difeq2ndEulerdoujittokusei}が二つの異なる実数解 \( \lambda_{1} \) , \( \lambda_{2} \) を持つとき, (変数変換後の)オイラーの微分方程式の基本解の組は \( \left\{ e^{\lambda_{1} t} , e^{\lambda_{2} t} \right\} \) で与えられる. ただし, \[e^{\lambda t} = e^{\lambda \ln{x}} = \left( e^{ \log_{e}{x} } \right)^{\lambda} = x^{\lambda} \notag\] と書けることに注意すると, 基本解の組は \( \left\{ x^{\lambda_{1} } , x^{\lambda_{2} } \right\} \) と書き換えることができるので, オイラーの微分方程式(式\eqref{difeq2ndEulerdouji})の一般解は次式で与えられる. \[y = C_{1} x^{\lambda_{1}} + C_{2} x^{\lambda_{2}} \quad \left( \text{$C_{1}$, $C_{2}$は任意定数} \right) \quad . \notag\]

二つの異なる虚数解 \( \lambda_{1}=p+iq \) , \( \lambda_{2}=p-iq \) を持つとき

特性方程式\eqref{difeq2ndEulerdoujittokusei}が二つの異なる虚数解 \( \lambda_{1}=p+iq \) , \( \lambda_{2}=p-iq \) を持つとき, (変数変換後の)オイラーの微分方程式の基本解の組は \[\begin{aligned} & \left\{ e^{p t} \sin{\left( q t \right)}, e^{p t} \cos{\left( q t \right)} \right\} \notag \\ &= \left\{ x^{p} \sin{\left( q \ln{x} \right)}, x^{p} \cos{\left( q \ln{x} \right)} \right\} \notag \end{aligned}\] で与えられるので, オイラーの微分方程式(式\eqref{difeq2ndEulerdouji})の一般解は次式で与えられる. \[y = x^{p} \left\{ C_{1} \sin{\left( q \ln{x} \right)} + C_{2} \cos{\left( q \ln{x} \right)} \right\} \quad \left( \text{$C_{1}$, $C_{2}$は任意定数} \right) \quad . \notag\]

重解 \( \lambda_{0} \) を持つとき

特性方程式\eqref{difeq2ndEulerdoujittokusei}が重解 \( \lambda_{0} \) を持つとき, (変数変換後の)オイラーの微分方程式の基本解の組は \[\left\{ e^{\lambda_{0} t} , t e^{\lambda_{0} t} \right\} = \left\{ x^{\lambda_{0}} , \ln{x} \, e^{\lambda_{0} } \right\} \notag\] で与えられるので, オイラーの微分方程式(式\eqref{difeq2ndEulerdouji})の一般解は次式で与えられる. \[y = C_{1} x^{\lambda_{0}} + C_{2} \ln{x} \, x^{\lambda_{0}} \quad \left( \text{$C_{1}$, $C_{2}$は任意定数} \right) \quad . \notag\]

非同次方程式の一般解

非同次方程式であるオイラーの微分方程式 \[x^{2} y^{\prime \prime} + a x y^{\prime} + b y = R(x) \label{difeq2ndEulernh}\] に対して変数変換 \( t = \ln{x} \) を行なった式 \[\frac{d^{2}y}{dt^{2}} + \left( a -1 \right) \frac{dy}{dt} + b y = R(t) \label{difeq2ndEulernhdouhan}\] は定数係数2階線形非同次微分方程式となっているので, この一般解は式\eqref{difeq2ndEulernhdouhan}の同伴方程式の二つの基本解 \( y_{1} \) , \( y_{2} \) と式\eqref{difeq2ndEulernh}の特殊解 \( Y \) を用いて \[y = Y+ C_{1}y_{1} + C_{2}y_{2} \quad \left( \text{$C_{1}$, $C_{2}$は任意定数} \right) \notag\] で与えられる. または, まったく同値の次式で与えられる.(定数係数2階線形非同次微分方程式の一般解) \[y = C_{1} y_{1} + C_{2} y_{2} + \left\{ – \int \frac{y_{2}}{W(y_{1}, y_{2})}R(x)\,dx \right\}y_{1} + \left\{ \int \frac{y_{1}}{W(y_{1}, y_{2})}R(x)\,dx \right\}y_{2} \notag \quad .\]

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