定数係数2階線形非同次微分方程式の一般解

2階線形(非同次)微分方程式 \[\frac{d^{2}y}{dx^{2}} + P(x) \frac{dy}{dx} + Q(x) y = R(x) \notag\] のうち, \( P(x) \) , \( Q(x) \) を定数 \( a \) , \( b \) に置き換えた式 \[\frac{d^{2}y}{dx^{2}} + a \frac{dy}{dx} + b y = R(x) \notag\] を定数係数2階線形非同次微分方程式という. この微分方程式の一般解について考える.

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解の構造
定数変化法
同伴方程式の一つの特殊解がわかっている場合


解の構造

非同次方程式の問題を考えるとき, その同伴方程式である同次方程式の一般解を余関数という. そして, 2階線形非同次方程式の一般解は非同次方程式の特殊解余関数との和で構成されるのであった. (2階線形非同次微分方程式の解の構造)

今回のような定数係数2階線形非同次微分方程式 \[\frac{d^{2}y}{dx^{2}} + a \frac{dy}{dx} + b y = R(x) \label{cc2ndnl1}\] の場合, 式\eqref{cc2ndnl1}の同伴方程式 \[\frac{d^{2}y}{dx^{2}} + a \frac{dy}{dx} + b y = 0 \label{cc2ndnl1sub}\] の一次独立な二つの基本解を \( y_{1} \) , \( y_{2} \) とすると, 同伴方程式の一般解(=余関数)は \[C_{1}y_{1} + C_{2} y_{2} \quad \left( \text{$C_{1}$,$C_{2}$は任意定数} \right) \notag\] で与えられる[1]. そして, この余関数に式\eqref{cc2ndnl1}の特殊解 \( Y \) を足した \[y = \left\{ C_{1} y_{1} + C_{2} y_{2} \right\} + Y \notag\] が式\eqref{cc2ndnl1}の一般解となる.

同伴方程式(式\eqref{cc2ndnl1sub})は定数係数2階線形同次微分方程式であり, その一般解を求める方法はすでに確立されている(定数係数2階線形同次微分方程式の一般解). したがって, 残る特殊解 \( Y \) の見つけ方を確立できれば定数係数2階線形非同次微分方程式を求める手法が確立されることになる.

定数変化法

定数係数2階線形非同次微分方程式 \[\frac{d^{2}y}{dx^{2}} + a \frac{dy}{dx} + b y = R(x) \label{cc2ndnl1v2}\] の同伴方程式 \[\frac{d^{2}y}{dx^{2}} + a \frac{dy}{dx} + b y = 0 \label{cc2ndnl1v2douhan}\] の一般解に補正を加える事で, 式\eqref{cc2ndnl1v2}を満たすような解を探してみることにしよう(定数変化法).

関数 \( Y \) を式\eqref{cc2ndnl1v2douhan}の一次独立な基本解 \( y_{1} \) , \( y_{2} \) および未知関数 \( u(x) \) , \( v(x) \) をもちいて, \[Y = u(x)y_{1} + v(x) y_{2} \notag\] としよう. あとは \( Y \) が式\eqref{cc2ndnl1v2}を満たすように \( u \) , \( v \) を決定することで, 式\eqref{cc2ndnl1v2}を満たす特殊解を定めることができる.

\( Y \) の導関数は, \[\begin{aligned} Y^{\prime} &= u y_{1}^{\prime} + v y_{2}^{\prime} + \left( u^{\prime} y_{1} + v^{\prime} y_{2} \right) \notag \\ Y^{\prime \prime} &= u y_{1}^{\prime \prime} + v y_{2}^{\prime \prime} + u^{\prime} y_{1}^{\prime} + v^{\prime} y_{2}^{\prime} + \frac{d}{dx} \left( u^{\prime} y_{1} + v^{\prime} y_{2} \right) \notag \end{aligned}\] となる. 少し思わせぶりな書き方をしているが, これはのちの便利のためである.

以上の \( Y \) , \( Y^{\prime} \) , \( Y^{\prime \prime} \) を式\eqref{cc2ndnl1v2}に代入すると, \[\begin{aligned} & Y^{\prime \prime} + a Y^{\prime} + b Y = R(x) \notag \\ \to \ &u y_{1}^{\prime \prime} + v y_{2}^{\prime \prime} + u^{\prime} y_{1}^{\prime} + v^{\prime} y_{2}^{\prime} + \frac{d}{dx} \left( u^{\prime} y_{1} + v^{\prime} y_{2} \right) \notag \\ & \quad + a \left\{ u y_{1}^{\prime} + v y_{2}^{\prime} + u^{\prime} y_{1} + v^{\prime} y_{2} \right\} \notag \\ & \quad + b \left\{ u y_{1} + v y_{2} \right\} \notag \\ & = u \left\{ y_{1}^{\prime \prime} + a y_{1}^{\prime} + b y_{1} \right\} \notag \\ & \quad + v \left\{ y_{2}^{\prime \prime} + a y_{2}^{\prime} + b y_{2} \right\} \notag \\ & \quad + u^{\prime} y_{1}^{\prime} + v^{\prime} y_{2}^{\prime} + a \left\{ u^{\prime} y_{1} + v^{\prime} y_{2} \right\} + \frac{d}{dx} \left( u^{\prime} y_{1} + v^{\prime} y_{2} \right) \notag \\ & = R(x) \quad . \notag \end{aligned}\] ここで, \( y_{1} \) , \( y_{2} \) というのはそもそも定数係数2階線形同次微分方程式(式\eqref{cc2ndnl1v2douhan})の基本解であり, \[\left\{ \begin{aligned} & y^{\prime \prime}_{1} + a y^{\prime}_{1} + b y_{1} = 0 \notag \\ & y^{\prime \prime}_{2} + a y^{\prime}_{2} + b y_{2} = 0 \notag \end{aligned} \right. \notag\] を満たすことから, \[u^{\prime} y_{1}^{\prime} + v^{\prime} y_{2}^{\prime} + a \left( u^{\prime} y_{1} + v^{\prime} y_{2} \right) + \frac{d}{dx} \left( u^{\prime} y_{1} + v^{\prime} y_{2} \right) = R(x) \label{cc2ndnljoukensub}\] を満足するような \( u \) , \( v \) を求めればよいことになる. しかし, \( u \) , \( v \) という二つの関数を求めるためには条件式が一つ足りない. そこで, いまの我々の目的は, \( u \) , \( v \) を適切に選ぶことで式\eqref{cc2ndnl1v2}の特殊解 \( Y \) として十分なモノを見つけること, ということを思い出そう. ならば, 式\eqref{cc2ndnl1v2}を満たしつつそれよりも強い制約条件を加えて考え出された \( u \) , \( v \) を用いた \( Y \) というのは式\eqref{cc2ndnl1v2}の特殊解として十分なものになっている.

式\eqref{cc2ndnljoukensub}をよく眺めると, \( u \) と \( v \) に対して \[u^{\prime} y_{1} + v^{\prime} y_{2} = 0 \notag\] という新しい制約条件を課すことで, \( u \) と \( v \) が満たすべき式\eqref{cc2ndnljoukensub}を次のようなスッキリとしたものへと書き換え可能なことがわかる. \[u^{\prime} y_{1}^{\prime} + v^{\prime} y_{2}^{\prime} = R(x) \notag \quad .\] 以上より, \( u \) , \( v \) が次の二つの条件 \[\left\{ \begin{aligned} u^{\prime} y_{1} + v^{\prime} y_{2} & = 0 \notag \\ u^{\prime} y_{1}^{\prime} + v^{\prime} y_{2}^{\prime} & = R(x) \notag \end{aligned} \right.\] を満たすように定めればよいので, この二式を \( u^{\prime} \) , \( v^{\prime} \) についての連立方程式とみなして解き, さらに積分することで \( u \) , \( v \) を求めよう.

ここで, \( y_{1} \) , \( y_{2} \) は2階線形同次微分方程式の一次独立な解であることから, ロンスキアン \[W(y_{1}, y_{2}) \mathrel{\mathop:}= y_{1} y^{\prime}_{2} – y_{2} y^{\prime}_{1} \notag\] が, \( W(y_{1}, y_{2}) \neq 0 \) を満たすことから, \[\left\{ \begin{aligned} u^{\prime} &=- \frac{y_{2}}{ y_{1}y^{\prime}_{2} – y_{2}y^{\prime}_{1} } R =- \frac{y_{2}}{W(y_{1}, y_{2})}R(x) \notag \\ v^{\prime} &= \frac{y_{1}}{ y_{1}y^{\prime}_{2} – y_{2}y^{\prime}_{1} } R = \frac{y_{1}}{W(y_{1}, y_{2})}R(x) \end{aligned} \right. \quad .\] 最後に両辺を \( x \) で積分することで次式のように, \( u \) , \( v \) を求めることができる. \[\therefore \ \left\{ \begin{aligned} u &=- \int \frac{y_{2}}{W(y_{1}, y_{2})}R(x)\,dx \notag \\ v &= \int \frac{y_{1}}{W(y_{1}, y_{2})}R(x)\,dx \end{aligned} \right. \quad .\] 以上より, 微分方程式 \[\frac{d^{2}y}{dx^{2}} + a \frac{dy}{dx} + b y = R(x) \label{cc2ndnl1v3}\] の特殊解 \( Y \) は式\eqref{cc2ndnl1v3}の同伴方程式の二つの基本解 \( y_{1} \) , \( y_{2} \) をもちいて, \[Y = \left\{ – \int \frac{y_{2}}{W(y_{1}, y_{2})}R(x)\,dx \right\}y_{1} + \left\{ \int \frac{y_{1}}{W(y_{1}, y_{2})}R(x)\,dx \right\}y_{2} \notag\] と表すことが出来るので, 式\eqref{cc2ndnl1v3}の一般解は \[\begin{aligned} y &= Y + C_{1} y_{1} + C_{2} y_{2} \quad \left( \text{$C_{1}$, $C_{2}$は任意定数} \right) \notag \\ &= C_{1} y_{1} + C_{2} y_{2} + \left\{ – \int \frac{y_{2}}{W(y_{1}, y_{2})}R(x)\,dx \right\}y_{1} + \left\{ \int \frac{y_{1}}{W(y_{1}, y_{2})}R(x)\,dx \right\}y_{2} \notag \end{aligned}\] で与えられる[2].

同伴方程式の一つの特殊解がわかっている場合

定数係数2階線形非同次微分方程式 \[\frac{d^{2}y}{dx^{2}} + a \frac{dy}{dx} + b y = R(x) \label{cc2ndnl1v4}\] の同伴方程式 \[\frac{d^{2}y}{dx^{2}} + a \frac{dy}{dx} + b y = 0 \label{cc2ndnl1v4douhan}\] の基本解の一つを \( y_{1} \) とする. このとき, \( y_{1} \) と未知関数 \( w(x) \) をもちいた \[y = w(x) y_{1} \label{cc2ndnl1v4yosou}\] を考え, 式\eqref{cc2ndnl1v4}を満たすように関数 \( w(x) \) を定めることができれば定数係数2階線形非同次微分方程式の一般解を導くことができる.

式\eqref{cc2ndnl1v4yosou}の導関数 \[\begin{aligned} y^{\prime} &= w^{\prime}y_{1} + wy^{\prime}_{1} \notag \\ y^{\prime \prime} &= w^{\prime \prime}y_{1} + 2 w^{\prime} y^{\prime}_{1} + w y^{\prime \prime}_{1} \notag \end{aligned}\] を式\eqref{cc2ndnl1v4}に代入し, \( y_{1} \) が \[\frac{d^{2}y_{1}}{dx^{2}} + a \frac{dy_{1}}{dx} + b y_{1} = 0 \notag\] を満たすことを利用すると, \[\begin{align} \to \ & \left\{ w^{\prime \prime}y_{1} + 2 w^{\prime} y^{\prime}_{1} + w y^{\prime \prime}_{1} \right\} + a \left\{ w^{\prime}y_{1} + wy^{\prime}_{1} \right\} + b w y_{1} \notag \\ & = w \left\{ y^{\prime \prime}_{1} + a y^{\prime}_{1} + b y_{1} \right\} +y_{1} w^{\prime \prime} + \left( 2y^{\prime}_{1} + a y_{1} \right) w^{\prime} = R(x) \notag \\ & = y_{1} w^{\prime \prime} + \left( 2y^{\prime}_{1} + a y_{1} \right) w^{\prime} \notag \\ & = R(x) \notag \\ \therefore \ & w^{\prime \prime} + \left( \frac{ 2y^{\prime}_{1} + a y_{1}}{y_{1}} \right) w^{\prime} = \frac{R(x)}{y_{1}} \quad . \label{cc2ndnl1v4w} \end{align}\] ここで, \[\left\{ \begin{aligned} P_{0}(x) & \mathrel{\mathop:}= \frac{ 2y^{\prime}_{1} + a y_{1}}{y_{1}} \notag \\ Q_{0}(x) & \mathrel{\mathop:}= \frac{ R(x) }{y_{1}} \notag \end{aligned} \right. \notag\] と定義することで, 式\eqref{cc2ndnl1v4w}は \( w^{\prime} \) についての1階線形非同次微分方程式 \[\frac{d}{dx} w^{\prime} + P_{0}(x) w^{\prime} = Q_{0}(x) \quad . \notag\] であることがわかる. \( w^{\prime} \) の一般解は \[w^{\prime} = e^{-\int P_{0}\,dx} \left\{ \int \left( Q_{0} e^{\int P_{0}\,dx} \right)\,dx + C_{1} \right\} \notag\] で与えられ(1階線形微分方程式), これをさらに \( x \) で積分することにより \( w \) が求まるので, その \( w \) を式\eqref{cc2ndnl1v4yosou}に代入することで定数係数2階線形非同次微分方程式(式\eqref{cc2ndnl1v4})の一般解を求めることができる.




補足    (↵ 本文へ)
  1. なお, \( y_{1} \) と \( y_{2} \) についてはロンスキアン \( W(y_{1}, y_{2}) \mathrel{\mathop:}= y_{1}y^{\prime}_{2} – y_{2}y^{\prime}_{1} \) がゼロでないということが成立している.

  2. または, \[y = \left\{ C_{1} – \int \frac{y_{2}}{W(y_{1}, y_{2})}R(x)\,dx \right\}y_{1} + \left\{ C_{2} + \int \frac{y_{1}}{W(y_{1}, y_{2})}R(x)\,dx \right\}y_{2} \notag\] とかいて, 任意定数 \( C_{1} \) , \( C_{2} \) は不定積分を実行することで出現する任意定数であるとして, \[y =- \int \frac{y_{2}}{W(y_{1}, y_{2})}R(x)\,dx \, y_{1} + \int \frac{y_{1}}{W(y_{1}, y_{2})}R(x)\,dx \, y_{2} \notag\] としてもよい.

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