一様分布

一様分布の規格化

確率密度関数 \( f(x) \) の \( b \le x < b+a \) の範囲内における確率変数を定数 \( N \) としよう.

この定数 \( N \) は確率密度関数 \( f(x) \) が満たすべき性質 \[\int_{ – \infty}^{\infty} f(x) \dd{x} =1 \label{pc_nat}\] から定めることができる. この条件を規格化条件といい, 確率密度関数 \( f(x) \) のグラフと \( x \) 軸とで囲まれる面積が \( 1 \) になることに等しい.

いま, \[f(x)= \begin{cases} N & (b \le x < b+a) \\ 0 & (x < b , b+a \le x) \end{cases} \notag \] を式\eqref{pc_nat}に代入すると, \[\begin{aligned} \int_{ – \infty}^{\infty} f(x) \dd{x} &= \int_{ – \infty}^{b} f(x) \dd{x} + \int_{b}^{b+a} f(x) \dd{x} + \int_{a}^{\infty} f(x) \dd{x} \\ &= \int_{ – \infty}^{b} 0 \dd{x} + \int_{b}^{b+a} N \dd{x} + \int_{a}^{\infty} 0 \dd{x} \\ &= \qty[ Nx ]_{b}^{b+a} \\ &= Na = 1 \end{aligned}\] したがって, \[N=\frac{1}{a} \notag \] とすることで, 規格化条件の式\eqref{pc_nat}を満たすことができる.

結局, 規格化された一様分布の確率密度関数は次式で与えられることになる. \[f(x)= \begin{cases} \displaystyle{\frac{1}{a}} & (b \le x < b+a) \\ 0 & (x < b , b+a \le x) \end{cases} \notag \]

一様分布の期待値

一様分布 \[f(x)= \begin{cases} \displaystyle{\frac{1}{a} } & (b \le x < b+a) \\ 0 & (x < b , b+a \le x) \end{cases} \notag \] の期待値 \( E(X) \) は \[E(X) = b + \frac{a}{2} \notag \] であることはほぼ自明であるが, 期待値の定義式 \[ E(X) = \int_{ – \infty}^{\infty} x\,f(x) \dd{x} \notag \] に代入することで求めてみよう. \[\begin{aligned} E(X) &= \int_{ – \infty}^{\infty} x\,f(x) \dd{x} \\ &= \int_{b}^{b+a} x \frac{1}{a} \dd{x} \\ &= \qty[ \frac{x^2}{2a} ]_{b}^{b+a} \\ &= \frac{2ab + a^2}{2a} \\ \therefore \ E(X)&= b + \frac{a}{2}\end{aligned}\] たしかに, 当初の予想通りの結論をえることができた.

一様分布の分散, 標準偏差

一様分布の分散 \( V(X) \) は期待値 \( \mu \) を用いて次式で定義される. \[V(X) = \int_{ – \infty}^{\infty} \qty( x – \mu )^2f(x) \dd{x} \notag \] これを具体的に計算すると, \[\begin{aligned} V(X) &= \int_{ – \infty}^{\infty} \qty( x – \mu )^2 f(x) \dd{x} \\ &= \int_{b}^{b+a} \qty( x – \qty( b + \frac{a}{2} ) )^2 \frac{1}{a} \dd{x} \\ &= \frac{1}{3a} \qty[ \qty( x – b – \frac{a}{2} )^3 ]_{b}^{b+a} \\ &= \frac{a^2}{12}\end{aligned}\] であることがわかる.

標準偏差 \( \sigma \) は分散の平方根で定義されるので, \[\sigma = \sqrt{V(X)} = \frac{a}{\sqrt{12}} \notag \] となる.