単振動とエネルギー保存則

つりあいの位置を基準としたエネルギー保存則

天井を原点とし, 鉛直下向きに \( x \) 軸をとる. この物体の運動方程式は \[m\dv[2]{x}{t} = – k \qty( x – l ) + mg \notag \] である. この式をさらに整理して, \[\begin{aligned} m\dv[2]{x}{t} &= – k \qty( x – l ) + mg \\ &= – k \left\{\qty( x – l ) – \frac{mg}{k} \right\} \\ &= – k \left\{x – \qty( l + \frac{mg}{k} ) \right\} \end{aligned}\] を得る. この運動方程式を単振動の運動方程式\eqref{eomosiE1} \[m \dv[2]{x^{2}}{t} = – K \qty( x – x_{0} ) \notag\] と見比べることで, 振動中心が位置 \[x_{0} = l + \frac{mg}{k} \notag\] の単振動を行なっていることが明らかであり, 運動エネルギーと単振動の位置エネルギーのエネルギー保存則(式\eqref{OsiEcon})より, \[E = \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} k \left\{x – \qty( l + \frac{mg}{k} ) \right\}^{2} \label{VEcon2}\] が時間によらずに一定に保たれていることがわかる.

このエネルギー保存則は, つりあいの位置からの変位で表すことでより関係に表すことができるので紹介しておこう.

ここで \( x_{0} \) の意味について確認しておこう. \( x(t)=x_{0} \) を運動方程式に代入すれば, \( \displaystyle{\dv[2]{x_{0}}{t} =0} \) が時間によらずに成立することから, 鉛直方向に吊り下げられた物体が静止しているときの位置座標となっていることがわかる. すなわち, つりあいの位置の座標が \( x_{0} \) なのである.

したがって, 天井から \( l + \frac{mg}{k} \) だけ下降したつりあいの位置を原点とし, つりあいの位置からの変位を \( X = x- x_{0} \) とする. このとき, 速度 \( v \) が \( v =\dv{x}{t} = \dv{X}{t} \) であることを考慮すれば, \[\frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} k X^{2} = \mathrm{const.} \notag \] が時間的に保存することがわかる. この方程式には \( X^{2} \) だけが登場するので, 下図のように \( X \) 軸を上下反転させても変化はないので, のちの比較のために座標軸を反転させたものを描いた.

自然長の位置を基準としたエネルギー保存則

天井を原点とし, 鉛直下向きに \( x \) 軸をとる. この物体の運動方程式は \[m\dv[2]{x}{t} = – k \qty( x – l ) + mg \notag \] である. ここで, 両辺に \( \displaystyle{\dv{x}{t} = \dv{\qty( x-l )}{t} } \) を乗じると, \[\begin{align} & m \dv{x}{t} \dv[2]{x}{t} = – k \qty( x – l )\dv{\qty( x-l )}{t} + mg \dv{x}{t} \notag \\ \to \ & m \dv{x}{t} \dv[2]{x}{t} + k \qty( x – l )\dv{\qty( x-l )}{t} – mg \dv{x}{t} = 0 \notag \\ \to \ & \dv{t} \qty[ \frac{1}{2} m \qty( \dv{x}{t} )^{2} + \frac{1}{2} k \qty( x – l )^{2} – mgx ] = 0 \notag \\ \therefore \ & \frac{1}{2} m \qty( \dv{x}{t} )^{2} + \frac{1}{2} k \qty( x – l )^{2} + mg\qty( -x ) = \mathrm{const.} \label{subVEcon1} \end{align}\] したがって, 力学的エネルギー \[E = \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} k \qty( x – l )^{2} + mg\qty( -x ) \label{VEcon1}\] が時間によらずに一定に保たれていることがわかる. この第1項は運動エネルギー, 第2項はバネの弾性力による弾性エネルギー, 第3項は位置エネルギーである. ただし, 座標軸を下向きを正にとっていることに注意してほしい.

ここで, 式\eqref{subVEcon1}をバネの自然長からの変位 \( X=x-l \) で表すことを考えよう. これは, 天井面に設定した原点を鉛直下方向に \( l \) だけ移動した座標系を選択したことを意味する. また, \( \dv{X}{t}=\dv{x}{t} \) であること, \( m \) , \( g \) , \( l \) が定数であることを考慮すれば \[\begin{aligned} & \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} k \qty( x – l )^{2} + mg\qty( -x ) = \mathrm{const.} \\ \to \ & \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} k X^{2} + mg\qty( -X – l ) = \mathrm{const.} \\ \to \ & \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} k X^{2} + mg\qty( -X ) = \mathrm{const.} \end{aligned}\] と書きなおすことができる.

よりわかりやすいように軸の向きを反転させよう. すなわち, 自然長の位置を原点とし鉛直上向きを正とした力学的エネルギー保存則は次式で与えられることになる. \[\frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} k X^{2} + mgX = \mathrm{const.} \notag \] この第一項は運動エネルギー, 第二項は弾性力による位置エネルギー, 第三項は重力による運動エネルギーである.

単振動の位置エネルギーと重力, 弾性力の位置エネルギー

上面を天井に固定した, 自然長 \( l \) , バネ定数 \( k \) の質量を無視できるバネの先端に質量 \( m \) の物体をつけて単振動を行わせたときのエネルギー保存則について二通りの表現を与えた.

ばねの自然長を基準として, 鉛直上向きを正方向にとした, 自然長からの変位 \( x \) を用いたエネルギー保存則は, 弾性力による位置エネルギーと重力による位置エネルギーを用いて, \[\frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} k x^{2} + mgx = \mathrm{const.} \quad , \label{EconVS1}\] ばねの振動中心(つりあいの位置)を基準として, 振動中心からの変位 \( x \) を用いたエネルギー保存則は単振動の位置エネルギーを用いて, \[\frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} k x^{2} = \mathrm{const.} \label{EconVS2}\] とあらわされるのであった.

式\eqref{EconVS1}と式\eqref{EconVS2}のどちらでも問題は解くことができるが, これらの関係だけを最後に補足しておこう. 導出過程を理解している人にとっては式\eqref{EconVS1}と式\eqref{EconVS2}の違いは, 座標の平行移動によって生じることは予想できるであろう^[1]実際, 位置の平行移動によって値が変わらない運動エネルギーの項には差異がない..

式\eqref{EconVS1}の第二項と第三項を \( x \) について平方完成を行うと, \[\begin{aligned} & \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} k x^{2} + mgx \\ & = \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} k \qty( x^{2} + \frac{2mgx}{k} ) \\ & = \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} k \left\{\qty( x + \frac{mg}{k} )^{2} – \frac{m^{2}g^{2}}{k^{2}}\right\} \\ & = \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} k \qty( x + \frac{mg}{k} )^{2} – \frac{m^{2}g^{2}}{2k} \end{aligned}\] ここで, \( m \) , \( g \) , \( k \) が一定であることを用いれば, \[\frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} k \qty( x + \frac{mg}{k} )^{2} = \mathrm{const.} \notag \] であり, 座標軸の原点をつりあいの点に一致させるために \( – \frac{mg}{k} \) だけずらせば \[\frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} k x^{2} = \mathrm{const.} \notag \] となり, 式\eqref{EconVS1}と式\eqref{EconVS2}は同じことを意味していることがわかる.