1次元運動における仕事と運動エネルギー

仕事の定義 : 其の壱

ある物体が \( x \) 軸上のみを運動できるとし, その位置を \( x(t) \) であらわそう. そして, 物体は( \( x \) 方向を向いた)力 \( F_{x} \) を受けながら運動しているとする. 一般に, 力 \( F_{x} \) は一定であるという必要はなく, 時間 \( t \) や位置 \( x \) , 速度 \( \dv{x}{t} \) などによって決まる多変数関数 \( F_{x}(t, x, \dv{x}{t}, \cdots ) \) であることを注意しておく.

そして, 時刻 \( t_{A} \) から時刻 \( t_{B} \) までの間に位置 \( x(t_{A}) \) から位置 \( x(t_{B}) \) へと位置 \( x(t) \) が単調に変化しているとしよう. すなわち, 下図に示すように, 物体が往復運動を行わず, ある時刻 \( t \) と位置 \( x(t) \) が一対一で対応していると仮定しよう^[1]数学的には, \( \qty[ x(t_{A}), x(t_{B}) ] \) の範囲で位置 \( x(t) \) が時間 \( \qty[ t_{A}, t_{B} ] \) の全単射となっている, という主張である..

このとき, 力 \( F_{x} \) と微小変位の積を積み重ねた量 \[W = \int_{x(t_{A})}^{x(t_{B})}F_{x} \dd{x} \label{subWdef}\] を, 「 \( x(t_{A}) \) から \( x(t_{B}) \) まで移動する間に力 \( F_{x} \) のした仕事」と定義する. これは下図のような \( F \) – \( x \) グラフを描いたとき, \( F_{x} \) の曲線と \( x \) 軸および \( x=x(t_{A}) \) と \( x=x(t_{B}) \) とで囲まれた領域の(符号付き)面積が仕事 \( W \) に等しいことを意味している.

さて, 少し状況を変えて, 位置が \( x(t_{A}) \) から \( x(t_{B}) \) まで移動する間, 下図に示すように位置 \( x(t_{C}) \) で折り返していたとしよう. このような状況下での仕事の計算には注意が必要である.

このときの仕事は \[W = \int_{x(t_{A})}^{x(t_{B})}F_{x} \dd{x} \label{xAxBmiss}\] と書いてはいけない^[2]書籍によっては, \( \int_{x(t_{A})}^{x(t_{B})}F_{x} \dd{x} \) のことを後に議論するような線積分と区別せずに書かれていることもあるが, … Continue reading. 我々は, 仕事を式\eqref{xAxBmiss}のように表現するときには, 定積分の始点から終点までの間で位置が単調に動くという条件のもので定義していた(式\eqref{subWdef}). したがって, 今回のように途中で折り返しがあるような運動では, \( x(t_{A}) \) から \( x(t_{C}) \) へ単調に移動しているときの仕事と, \( x(t_{C}) \) から \( x(t_{B}) \) へ単調に移動している間の仕事とをわけて計算しないといけいないからである.

下図にはこのような事情を表すために \( F \) – \( x \) グラフの一例を示した. すでに注意喚起したとおり \( F_{x} \) は位置 \( x \) のみの関数ではないので, \( x \) を定めることで \( F_{x} \) の値が定まるとは限らない. 下図に描いた \( F_{x} \) を表す曲線も, \( x_{B} \) から \( x_{C} \) の範囲では一つの \( x \) に対して二つの値を持つことが確認できる.

上図のような場合, 最初に \( x_{B} \) を通過してから \( x_{C} \) に辿り着くまでの間の \( F_{x} \) の値と, \( x_{C} \) を通過してから \( x_{B} \) へと戻る間の \( F_{x} \) の値とを区別する必要が生じる. これらの曲線を区別するために, それぞれ \( F_{x; B \to C} \) , \( F_{x; C \to B} \) といった具合に書いておくことにしよう.

結局, 我々が求めたい \( x(t_{A}) \) から \( x(t_{B}) \) までの間に \( F_{x} \) がした仕事というのは, \[\left\{\begin{align} & \int_{x(t_{A})}^{x(t_{B})}F_{x;A \to B} \dd{x} \notag \\ &\int_{x(t_{B})}^{x(t_{C})}F_{x;B \to C} \dd{x} \notag \\ &\int_{x(t_{C})}^{x(t_{B})}F_{x;C \to B} \dd{x} = – \int_{x(t_{B})}^{x(t_{C})}F_{x;C \to B} \dd{x} \notag \end{align} \right. \label{WxAxBxC}\] の総和ということになる.

以上では点 \( x(t_{c}) \) でのみ折り返すような移動経路のみを考えたが, より一般には様々な経路を考えることができる. しかし, その度に上記のような積分を示すわけにもいかない.

そこで, \( x(t_{A}) \) の位置から \( x(t_{B}) \) へと移動するある経路を \( \mathrm{C}_{A \to B} \) と名付けて, 経路 \( \mathrm{C}_{A \to B} \) に沿った経路で積分を実行することを \[\int_{\mathrm{C}_{A \to B}}F_{x} \dd{x} \label{WxAtoxB}\] と書くことにしよう. 先の問題においてこの式\eqref{WxAtoxB}があらわしている内容を具体的に書いたのが式\eqref{WxAxBxC}ということである. このように, 物体の移動経路に応じて積分計算をおこなうようなものを線積分という.(線積分)

以上より, 式\eqref{subWdef}を拡張した仕事の定義を次のように与えておこう.

位置 \( x(t_{A}) \) から位置 \( x(t_{B}) \) へ経路 \( \mathrm{C}_{A \to B} \) を通って移動する間に力 \( F_{x} \) がする仕事は線積分を用いて \[W \coloneqq \int_{\mathrm{C}_{A \to B}}F_{x} \dd{x} \label{WxAtoxBline}\] と定義する.

下準備 : 合成関数の微分の公式

関数 \( f=f(x) \) , \( x=x(t) \) がそれぞれ \( x \) , \( t \) で微分可能であるとき, 合成関数 \( f=f(x(t)) \) の微分について次の公式 \[\dv{f(x(t))}{t}= \dv{f(x)}{x} \dv{x(t)}{t} \notag\] が成立する. この合成関数の微分をもちいると, 次のように定義される \[\left\{\begin{aligned} f(x) &= x^{2} \notag \\ x &= x(t) \notag \end{aligned} \right. \notag\] の合成関数 \( {x(t)}^{2} \) の微分について \[\dv{t} \left\{x(t) \right\}^{2} = \underbrace{2 x }_{= \dv{f(x)}{x} }\cdot \underbrace{\dv{x(t)}{t} }_{= \dv{x}{t}} \notag\] が成立する.

関数 \( f=f(x) \) , \( x=x(t) \) がそれぞれ \( x \) , \( t \) で微分可能であるとき, 合成関数 \( f={x(t)}^{2} \) の微分について次式が成立する. \[\dv{t} \left\{x(t) \right\}^{2} = 2 x\cdot \dv{x(t)}{t} \notag\]

運動方程式の変形

質量 \( m \) の質点が \( x \) 軸上のみを運動する1次元運動を行っているとしよう. このとき, 物体が受けている( \( x \) 軸に沿った)力を \( F_{x} \) , 加速度を \( a_{x} = \dv{v_{x}}{t} = \dv[2]{x}{t} \) とすると, 運動方程式は \[m a_{x} = F_{x} \ \iff \ m \dv{v_{x}}{t} = F_{x} \notag\] で与えられる. この両辺に速度 \( v_{x}=\dv{x}{t} \) を乗じると, \[m \dv{v_{x}}{t} v_{x} = F_{x} \dv{x}{t} \notag\] となる. この左辺は合成関数の微分を用いて \[m \dv{v_{x}}{t} v_{x} = \dv{t} \left\{\frac{1}{2} m {v_{x}(t)}^{2} \right\} \notag\] と変形できることに気づけば, 運動方程式は次のように書き換えることができる. \[\dv{t} \left\{\frac{1}{2} m {v_{x}}^{2} \right\}= F_{x} \dv{x}{t} \notag\] すぐあとで議論するが言葉だけを紹介しておくと, 上式の左辺の \( \frac{1}{2} m {v_{x}}^{2} \) を運動エネルギーと呼ぶ. また右辺の \( F_{x} v_{x} \) を仕事率と呼ぶ.

運動エネルギーの定義

運動方程式を変形して得られた式 \[\dv{t} \left\{\frac{1}{2} m {v_{x}}^{2} \right\}= F_{x} \dv{x}{t} \label{maFeneK}\] の左辺に注目して, \[K(t) \coloneqq \frac{1}{2}m{v(t)}^{2} \notag\] という量を定義し, \( K \) を運動エネルギーと呼ぼう^[3]日頃から, エネルギーという用語を耳にする機会が多いからか, 「なぜ \( \frac{1}{2}mv_{x}^{2} \) … Continue reading.

このような, 運動エネルギーと呼ばれる量を定義しておくと, 式\eqref{maFeneK}は運動エネルギー \( K(t) \) の時間変化 \( \dv{K(t)}{t} \) を表す式 と解釈できる. そして, 式\eqref{maFeneK}は運動方程式を式変形しただけであるので, この式から得られる情報は運動方程式から得られる情報と矛盾することはない.

ここで, 時刻 \( t_{A} \) から \( t_{B} \) までの間の時間積分は, 置換積分を用いて \[\begin{aligned} & \int_{t_{A}}^{t_{B}} \dv{K(t)}{t} \dd{t} = \int_{K(t_{A})}^{K(t_{B})} \dd{K} = K(t_{B}) – K(t_{A}) \notag \\ & \therefore \ \int_{t_{A}}^{t_{B}} \dv{t}\left\{\frac{1}{2}m{v(t)}^{2} \right\} \dd{t} = K(t_{B}) – K(t_{A}) \notag \end{aligned}\] と書くことができる. したがって, \[\begin{aligned} & \int_{t_{A}}^{t_{B}} \dv{t}\left\{\frac{1}{2}m{v(t)}^{2} \right\} \dd{t} = \int_{t_{A}}^{t_{B}} F_{x} v_{x} \dd{t} \notag \\ & \to \ K(t_{B}) – K(t_{A}) = \int_{t_{A}}^{t_{B}} F_{x} v_{x} \dd{t} \notag \end{aligned}\] となり, 運動エネルギーの変化 \( K(t_{B}) – K(t_{A}) \) は仕事率の積分 \( \int_{t_{A}}^{t_{B}} F_{x} v_{x} \dd{t} \) によって引き起こされることがわかる. そして実はこの量が仕事に等しいことを後に議論する.

仕事の定義 : 其の弐

運動方程式を変形して得られた式 \[\dv{t} \left\{\frac{1}{2} m {v_{x}}^{2} \right\}= F_{x} v_{x} \notag\] の右辺に注目して, 量 \[P \coloneqq F_{x}v_{x} \notag\] を仕事率と定義する.

運動エネルギーの項で紹介したように, 時刻 \( t_{A} \) と \( t_{B} \) の間の運動エネルギーの変化 \( K(t_{B}) – K(t_{A}) \) はその間の仕事率の時間積分で与えられるのであった. そこで, 仕事率を時間積分することで得られる量 \( W \) を仕事と定義する. \[W \coloneqq \int_{t_{A}}^{t_{B}} P \dd{t} = \int_{t_{A}}^{t_{B}} F_{x} v_{x} \dd{t} \quad . \label{WxAtoxBline2}\] また, 仕事と仕事率との間には, 微分積分学の基本定理をもちいることで次のような関係にあることがわかる. \[\begin{aligned} \dv{W}{t} = \dv{t} \int P \dd{t} = P \quad . \notag \end{aligned}\] ここで, 式\eqref{WxAtoxBline}で定義した仕事と, 式\eqref{WxAtoxBline}で定義した仕事とが同じであることを補足しておこう.

微小時間 \(\dd{t}\) の間の微小変位 \(\dd{x}\) は速度 \( v_{x}=\dv{x}{t} \) を用いて \(\dd{x}= v_{x} \dd{t} \) と書くことができる. これを式\eqref{WxAtoxBline2}に適用すると, \( t \) の積分を \( x \) での積分に書き換えることができることになる. したがって, \( x(t_{A}) \) から \( x(t_{B}) \) までの移動経路を \( \mathrm{C}_{A\to B} \) とすると, 線積分を用いた仕事 \[\int_{t_{A}}^{t_{B}}F_{x}\dv{x}{t} \dd{t} \ \xrightarrow{\dd{x} = v \dd{t} } \ \int_{\mathrm{C}_{A \to B}}F_{x} \dd{x} \notag\] に等しいことがわかる.

再度注意をしておくが, 上式において \[\int_{t_{A}}^{t_{B}}F_{x}\dv{x}{t} \dd{t} \ \xrightarrow{\dd{x} = v \dd{t} } \ \int_{x(t_{A})}^{x(t_{B})} F_{x} \dd{x} \notag\] と安易に変形しないようにしてほしい. このような書き換えが直接成立するためには \( F_{x} \) がとある条件を満たしている必要があることを後に議論する^[4]結論だけ述べると, \( F_{x} \) が位置 \( x \) のみに依存した力であれば, この式変形は直接的に行なってもよい.