角運動量保存則

モーメント

回転を引き起こす能力をモーメントベクトルまたは単にモーメント(または, トルク)という.

位置 \( \vb*{r} \) の物体に力 \( \vb*{F} \) が働いている時, 力のモーメントベクトル \( \vb*{N} \) は外積を用いて次式のように定義される. \[ \vb*{N} = \vb*{r} \times \vb*{F} \] このベクトルは外積の定義により \( \vb*{r} \) から \( \vb*{F} \) の方向へ回転する右ネジの方向を向いており, 回転軸の方向と一致している. 大きさ \( N \) は外積の定義より, \[ \begin{aligned} N &= \abs{\vb*{r} \times \vb*{F} } \\ & = \abs{\vb*{r} } \abs{\vb*{F} } \sin{\theta} \\ &= r F \sin{\theta } \end{aligned} \] と表され, 回転を引き起こす能力の大きさを表している.

高校物理の教科書ではモーメントをベクトルで表さない代わりに, (反)時計回りという向きを指定して初めて意味のある物理量としてモーメントが紹介されている.

しかし, 「向きを指定する必要がある量なのだからベクトルの一種なのだろう」という発想は今後も持っておいて損はない^[2]さらに補足しておくと, モーメントと力を混同してしまっていると, … Continue reading.

下図には \( \vb*{r} \) と \( \vb*{F} \) の両方が \( x \) – \( y \) 平面上のベクトルである場合を描いた.

この場合は \( \vb*{r} \) から \( \vb*{F} \) の方向へ回転する右ネジの方向は \( z \) 軸方向を向いているので, \( \vb*{N} \) も \( z \) 軸方向を向いている.

ここで一度, モーメントの単位(次元)について確認しておこう.

モーメントの大きさの式を見ればわかるように, その次元は \( \mathrm{N} \cdot \mathrm{m} = \mathrm{kg \cdot m^2 /s^2} \) であり, エネルギーと同じ次元を持っていることがわかる.

ただし, 位置(ベクトル)と力(ベクトル)の内積(スカラー)であるエネルギーと外積(ベクトル)であるモーメントという違いがあるので, 和差計算などはできないので注意してほしい.

角運動量

回転の勢いを表す量を角運動量ベクトルまたは単に角運動量という.

位置 \( \vb*{r} \) の物体が運動量 \( \displaystyle{\vb*{p} = m \dv{ \vb*{r}}{t}} \) で運動しているとき, 角運動量 \( \vb*{L} \) は外積を用いて次式のように定義される. \[ \vb*{L} = \vb*{r} \times \vb*{p} \] 角運動量は \( \vb*{r} \) から \( \vb*{p} \) の方向へ回転する右ネジの方向を向いており, 回転軸の方向と一致している. また, その大きさ \[ \begin{aligned} L &= \abs{\vb*{r} \times \vb*{p} }\\ & = \abs{\vb*{r} } \abs{\vb*{p} } \sin{\theta} \\ & = r p \sin{\theta } \end{aligned} \] は回転の勢いと考えてよい.

下図には \( \vb*{r} \) と \( \vb*{p} \) の両方が \( x \) – \( y \) 平面上のベクトルである場合を描いた.

モーメントの時と同様に \( \vb*{L} \) は \( z \) 軸方向を向いている.

角運動量保存則

角運動量保存則

下図のように, 物体に作用する力 \( \vb*{F} \) が位置ベクトル \( \vb*{r} \) と平行な力のみであった場合を考えよう. このような力を中心力という.

位置ベクトル \( \vb*{r} \) と同じ方向で大きさが \( \vb*{1} \) の単位ベクトル \( \vb*{e}_{r} \) は \[ \displaystyle{\vb*{e}_{r} = \frac{\vb*{r}}{\abs{\vb*{r} }} } \] と表すことができるので, 中心力は \( \vb*{F} = F \vb*{e}_r \) と表すことができる.

以上の議論より, 位置 \( \vb*{r} \) の物体に働く合力 \( \vb*{F} \) が中心力である場合, モーメント \( \vb*{N} \) は \[ \begin{aligned} \vb*{N} &= \vb*{r} \times \vb*{F} \\ & = \vb*{r} \times F\vb*{e}_r \\ & = F \qty( \vb*{r} \times \frac{\vb*{r}}{\abs{\vb*{r} }} ) \\ & = \vb*{0} \quad . \end{aligned} \] ここで, \( \displaystyle{\dv{ \vb*{L} }{t} = \vb*{N} } \) より, \[ \dv{ \vb*{L} }{t} = \vb*{0} \] となり, 角運動量が時間的に変化しない(保存する)ということがわかる.

以上の結果をまとめると, 物体に働く合力 \( \vb*{F} \) が中心力の場合, 角運動量 \( \vb*{L} \) は時間によらず一定である. このことを角運動量保存則という

面積速度一定の法則

下図に示すように, 時刻 \( t \) に位置 \( \vb*{r}(t) \) にいた物体が微小時間 \( \dd{t} \) の間に \(\dd{\vb*{r}}= \vb*{v} \dd{t}\) だけ移動して位置 \( \vb*{r}(t+ \dd{t}) \) へ移動したとする.

ここで, 位置 \( \vb*{r}(t) \) が \( \vb*{r}(t+\dd{t}) \) へ変化する間に描いた微小な三角形の面積(図中の網掛け部) \( \dd{S}\) を求めてみよう.

上図より \( \dd{S} \) は, \( \vb*{r}(t) \) と \( \vb*{r}(t+\dd{t})=\vb*{r} + \dd{ \vb*{r}} \) の2組を使ってつくられた平行四辺形(図中の緑色の領域)の面積の半分に等しいので, \[ \begin{aligned} \dd{S} & = \frac{1}{2} \underbrace{\abs{\vb*{r} \times \qty( \vb*{r} +\dd{\vb*{r}}) }}_{平行四辺形の面積} \\ & = \frac{1}{2} \abs{\vb*{r} \times\dd{\vb*{r}}} \\ & = \frac{1}{2} \abs{\vb*{r} \times \vb*{v} \dd{t}} \\ & = \frac{1}{2} r v \sin{\theta} \dd{t}\\ & \underbrace{=}_{L = mrv\sin{\theta}} \frac{L}{2m} \dd{t}\end{aligned} \] となる. したがって, 物体に中心力しか働いておらず角運動量保存則が成立する場合, 角運動量 \( L \) は一定の値となるので, \[ \dv{S}{t} = \frac{L}{2m} = \text{一定} \] となる. これは面積速度一定の法則と言われる.