積分法

積分法 = すごい足し算

結論から言えば, 積分法は足し算に極限の要素を加えたものと思ってもらって構わない. 例えば下図のような関数 \( f(x) \) が与えられており, \( f(x) \) と \( x \) 軸, \( x = a \) , \( x = b \) によって囲まれた部分の面積を求めよう. 以下の議論を始めて見る人にとっては敷居が高く感じるかもしれないが, 紙とペンを持って一行一行の意味を確かめつつ読み進めてほしい.

囲まれた部分は長方形や台形などの簡単な図形ではないので工夫が必要となる. どのような工夫を施すのかといえば, 細かい長方形の面積の足しあわせと考えればいいのである. “わからない問題ならば, わかっている問題に置き換えてみよう“ということである.

\( x = a \sim b \) の範囲を \( n \) 分割し, \( \displaystyle{\Delta x = \frac{b – a}{n} } \) の間隔で \( x = a \sim b \) の範囲に点 \( x_{k} \) を取る. \[ x_0 = a < x_1 < \cdots < x_{n-1} < x_{n} = b \] ここで, \[ \begin{aligned} x_0 &= a \\ x_1 &= a + \Delta x = a + \frac{b-a}{n} \\ \cdots &= \cdots \\ x_k &= a + k\Delta x = a + \frac{b-a}{n}k \\ \cdots &= \cdots \\ x_{n-1} &= a + \qty( n-1 ) \Delta x = a + \frac{b-a}{n}\qty( n-1 ) \\ x_n &= a + n \Delta x = a + \frac{b-a}{n}n \\\end{aligned} \] である.

\( x_k \) に対応した高さは \( f(x_k) \) と求めることができるので, 底辺が \( x_k \sim x_{k+1} \) で高さが \( f(x_k) \) の長方形を \( n \) 個考えることができる. そしてこれらの小さな長方形の面積の総和は求めたい面積にほぼ等しくなる. 求めたい面積を \( S \) とすると, \[ \begin{aligned} S & \fallingdotseq f(x_0) \Delta x + f(x_1) \Delta x + \cdots + f(x_{n-1})\Delta x \\ & = \sum_{k = 0}^{n-1} f(x_k) \Delta x \\ & = \sum_{k = 0}^{n-1} f(x_k) \frac{b-a}{n}\end{aligned} \] と表すことができる. この右辺は一見難しく感じるが, これまで述べてきたとおり, 高さ \( f(x_k) \) , 幅 \( \displaystyle{\frac{b-a}{n}} \) の長方形の面積の足し算というだけである. 次に, \( n\to \infty \) という極限を考えよう. 分割数が限りなく多くなるので, 作られる長方形の幅 \( \Delta x \) も \( \Delta x \to 0 \) となり, 長方形の幅が非常に狭くなる極限とおなじことである. この極限では長方形の面積の総和は求めたい面積に限りなく近づくので, \[ S = \lim_{n \to \infty} \sum_{k = 0}^{n-1} f(x_k) \frac{b-a}{n} \] と表すことができ, 関数 \( f(x) \) の \( x = a \) から \( x = b \) までの定積分という. しかし, 毎回このように極限を含んだ式を書くことはせず, \( x = a \) から \( x = b \) までの定積分を次の記号で表す. \[ S = \int_{a}^{b} f(x)\dd{x} \] \( \int \) は”和( Summation )”の頭文字 \( S \) と同じ意味で”インテグラル“と読む. そして記号 \( \int_{a}^{b} \) は”インテグラル \( a \) から \( b \) までの”などと読む.

記号 \( \int_{a}^{b} \) は, \( \int_{a}^{b} \) に続く \( f(x) \) と無限小の幅 \( \dd{x} \) の掛け算について \( x = a \) から \( x = b \) までにわたる和を取ることをする. ここで \( x \) はただの記号であるので, 別の文字に置き換えても定積分の値は変わらないことに注意してほしい. すなわち, \[ \int_{a}^{b} f(x)\dd{x}= \int_{a}^{b} f(t)\dd{t}= \int_{a}^{b} f(\blacksquare)\dd{\blacksquare} \] などが成立する. また, \[ \int_{a}^{b} f(x)\dd{x} \] は慣習的に \( \int_{a}^{b} \) , \( f(x) \) , \( \dd{x} \) の順番で書かれているが, \( f(x) \dd{x} \) は \( f(x) \) と \( \dd{x} \) の掛け算というだけなので, \( \int_{a}^{b} \) , \( \dd{x} \) , \( f(x) \) の順番でよいので, \[ \int_{a}^{b} f(x)\dd{x}= \int_{a}^{b} \dd{x} f(x) \] が成立する.

微分の逆操作と積分法

積分がどんな意味をもっているのかについて述べてきたが, 実際に計算するときにはどうすればいいのかについてはまだ述べていなかった. 結論としては, 積分の計算方法は微分の逆操作なわけだが, ここではその意味を説明する^[1]相当数学に熟練した人はこの手の表現に物申したくなるかもしれないが, 高校物理を学ぶ間はこれでよい. … Continue reading.

下図の斜線部のように \( x = 0 \) から \( x = x_1 \) までの範囲に関数 \( f(x) \) と \( x \) 軸によって囲まれた面積が \( F(x_1) \) と表されるとする. つまり, \[ F(x_1) = \int_{0}^{x_1} f(x) \dd{x} \] という定積分を表している^[2]正確には”符号付き面積”である. また, 確認しておくと \[ F(x_1) = \int_{0}^{x_1} f(x) \dd{x} \] において記号 \( x \) はなんでもよく, \[ F(x_1) = … Continue reading. まずは, \( f(x) \) の積分によって \( F(x_1) \) を求めることができるということだけ頭に入れておいてほしい.

ここで, \( x_1 \) が \( \Delta x \) だけ増加した時の面積は \( F(x_1 + \Delta x) \) である. \( \Delta x \) が十分に小さいならば, 面積の増加量 \( F(x_1 + \Delta x) – F(x) \) は高さ \( f(x_1) \) で底辺が \( \Delta x \) の長方形の面積とほぼ等しく, \[ F(x_1 + \Delta x) – F(x_1) \fallingdotseq f(x_1) \Delta x \] となる. 式変形を行い \( f(x_1) \) について整理すると, \[ f(x_1) \fallingdotseq \frac{F(x_1 + \Delta x) – F(x_1) }{\Delta x } \] である. ここで \( \Delta x \to 0 \) の極限を行い, 微分の定義式を思い出すと, \[ f(x_1) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{F(x_1 + \Delta x) – F(x_1) }{\Delta x } = \dv{F(x_1)}{x} \] となる. これは \( F( x ) \) の \( x_1 \) における微分係数が \( f( x_1 ) \) であり, \( x_1 \to x \) と書きかえれば, \[ f(x) = \dv{F(x)}{x} \] となり, \( F( x ) \) の導関数が \( f( x ) \) であることがわかる. つまり, \( F(x) \) の微分によって \( f(x) \) を求めることができることになる. 冒頭で, \( f(x) \) の積分によって \( F(x) \) を求めることができると述べた内容と比べれば, 積分と微分は逆操作の関係にあることがわかる. したがって, 微分すると \( f(x) \) になるような関数 \( F(x) \) を見つけることが積分の持つ数式的な意味である.

ただし, 以下の不定積分の項目ですぐに議論するように, \[ \dv{F(x)}{x}= f(x) \] を満たす関数 \( F(x) \) を探すだけならばその関数は無数に存在することに注意が必要である.

不定積分

定積分

関数 \( f(x) \) の \( x = a \) から \( x = b \) までの定積分 \( \displaystyle{\int_{a}^{b} f(x) \dd{x}} \) は下図に示すような面積^[3]実際にはのちに議論するように, “符号付き面積”というべきである.を表していたが, 原始関数を用いてこの面積を表す式を考えよう. \( x = 0 \sim b \) までの面積は原始関数 \( F(x) \) を用いて, \( \displaystyle{F(b) = \int_{0}^{b} f(x) \dd{x}} \) . 同様に, \( x = 0 \sim a \) までの面積は \( \displaystyle{F(a) = \int_{0}^{a} f(a) \dd{x}} \) であるので, 求める定積分は原始関数を用いて, \[ \int_{a}^{b} f(x) \dd{x}= F(b) – F(a) \] と表すことができる.

定積分の数式上での理解としては, \( f(x) \) の原始関数の \( F(x) \) を用いて次のように表されることになる. \[ \int_{a}^{b} f(x) \dd{x}= \qty[ F(x) ]_{a}^{b} = F(b) – F(a) \] ここで, 用いた記号 \( \qty[ \ \ \ ]_{a}^{b} \) は, \[ \qty[ F(x) ]_{\blacksquare}^{\square} = F(\square) – F(\blacksquare) \] というふうに大かっこの中の引数に大かっこの上下についた値を代入して差を取る記号を表している.

定積分と面積

既に何度も触れてきたように, 定積分は図形の面積と密接な関係にある. 実際, \[ S = \int_{a}^{b} \left \{ f(x) – g(x)\right \} \dd{x} \] は \( f(x) \) と \( g(x) \) , 及び \( x = a \) と \( x = b \) という4つの曲線に囲まれた領域の面積を表している.

ただし, この計算結果自体は \( S \) は負の値をとることもる”符号付き面積”を表していることに注意してほしい. というのも, \( x = a \) から \( x = b \) の領域にわたって常に \( f(x) < g(x) \) が成り立つ場合や, 領域内で \( f(x) \) と \( g(x) \) が交わる場合なども考えられるからである.