像関数の微分法則, 積分法則

像関数の微分法則

関数 \( f(t) \) が区間 \( ( 0, \infty) \) で定義され, 区分的に連続な関数であるとしよう. また, 指数 \( \alpha \) 位の関数であるとする. このとき, \( \mathrm{Re}\qty[ s ] > \alpha \) を満たすような \( s \) の領域において次式が成立する. \[\mathcal{L}\left\{t f(t) \right\} = – \dv{s} F(s) \label{Fsdif}\] この式を, 像関数の微分法則という.

以下では像関数の微分法則(式\eqref{Fsdif})の証明を行おう. まず, ラプラス変換の定義より, 像関数 \( F(s) \) を次式で定義する. \[\mathcal{L}\left\{f(t)\right\} = F(s) = \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) \dd{t} \notag\] この両辺を \( s \) で形式的に微分すると, \[\begin{aligned} \dv{s} F(s) & = \dv{s} \qty[ \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) \dd{t} ] \notag \\ & = \int_{0}^{\infty} \dv{s} \qty[ e^{-st} f(t) ] \dd{t} \notag \\ & = – \int_{0}^{\infty} e^{-st} \left\{t f(t) \right\} \dd{t} \notag \\ &= – \mathcal{L}\left\{t f(t) \right\} \end{aligned}\] となり, 式\eqref{Fsdif}を示すことができた^[1]上記の計算の途中, \( s \) の微分と \( t \) の積分の順序を入れ換えた. この操作が正当化されるためには, … Continue reading.

上記の結論より, 関数 \( f(t) \) に \( t \) を乗じてラプラス変換を実行することは, 像関数を微分して符号を反転することに対応していることがわかる

より一般の場合, 式\eqref{Fsdif}を繰り返し適用することで, より高次の場合について次の関係式が得られる. \[\begin{aligned} \mathcal{L} \left\{t^{n} f(t) \right\} &= \mathcal{L} \left\{t \cdot t^{n-1} f(t) \right\} \notag \\ &= \qty( -1 ) \cdot \dv{s}\mathcal{L} \left\{t^{n-1} f(t) \right\} \notag \\ &= \qty( -1 ) \cdot \dv{s} \qty[ \mathcal{L} \left\{t \cdot t^{n-2} f(t) \right\} ] \notag \\ &= \qty( -1 )^{2} \cdot \dv[2]{}{s}\mathcal{L} \left\{t^{n-2} f(t) \right\} \notag \\ &= \cdots \notag \\ &= \qty( -1 )^{n} \dv[n]{}{s} \mathcal{L}\left\{f(t) \right\} \notag \end{aligned}\] \[\therefore \quad \mathcal{L} \left\{t^{n} f(t) \right\} = \qty( -1 )^{n} \dv[n]{}{s} \mathcal{L}\left\{f(t) \right\} \notag\]

像関数の積分法則

像関数の積分法則は, 次式で与えられる. \[\mathcal{L}\left\{\frac{f(t)}{t}\right\} = \int_{s}^{\infty} F(\tau) \dd{\tau}\quad . \label{Fsint}\] 以下では, 式の証明\eqref{Fsint}を行う.

関数 \( F(\tau) \) を \[F(\tau) = \int_{0}^{\infty} e^{ – \tau t} f(t) \dd{t} \notag\] と定義し, この両辺を \( s \) で形式的に積分しよう.(ただし, 積分範囲を \( \tau = s \) から \( \infty \) とする.) \[\begin{aligned} \int_{s}^{\infty} F(\tau) \,d \tau &= \int_{s}^{\infty} \int_{0}^{\infty} e^{ – \tau t} f(t) \dd{t} \dd{\tau}\notag \\ &= \int_{0}^{\infty} \qty( \int_{s}^{\infty} e^{ – \tau t}\,d \tau ) f(t) \dd{t}\notag \\ &= \int_{0}^{\infty} \qty[ \frac{-1}{t}e^{ – \tau t} ]_{s}^{\infty} f(t) \dd{t}\notag \\ &= \int_{0}^{\infty} e^{-st} \frac{f(t)}{t} \dd{t}\notag \\ &= \mathcal{L}\left\{\frac{f(t)}{t}\right\} \notag \end{aligned}\] したがって, 式\eqref{Fsint}を示すことができた.

上記の結論より, 関数 \( f(t) \) を \( t \) で除してラプラス変換を実行することは, 像関数を積分することに対応していることがわかる