ラプラス変換を定義するために, 定積分の定義を拡張した広義積分というものを紹介しておこう.
高校数学で登場する定積分というのは, 閉区間で定義された連続関数について定義されたものであった. 広義積分とは, 前述の定義を拡張し, 積分区間が(半)開区間である場合や, 一部の不連続関数について積分を定義しなおしたものということができる.
(半)開区間に対する広義積分
ここでは, 積分範囲が(半)開区間の場合にどのように積分値を定義するのかについて議論する. なお, 以下の議論は, 積分区間の端点が不連続な関数について議論することになるが, その点における値が発散するかどうかに関わらず適用可能なものとする.
ある関数 \( f(t) \) が半開区間 \( ( a , b ] \) で連続であり, 極限 \[\lim_{\epsilon \to +0} \int_{a+\epsilon}^{b} f(t) \dd{t} \notag \] が有限な極限値 \( S \) を持つ場合, \[S = \int_{a}^{b} f(t) \dd{t}\coloneqq \lim_{\epsilon \to +0} \int_{a+\epsilon}^{b} f(t) \dd{t} \notag \] で積分量を定義し, これを広義積分という.
同様に, 関数 \( f(t) \) が半開区間 \( [ a , b ) \) で連続であり, \[\lim_{\epsilon \to +0} \int_{a}^{b – \epsilon} f(t) \dd{t} \notag \] が有限な極限値 \( S \) を持つ場合, 次式で広義積分を定義する. \[S =\int_{a}^{b} f(t) \dd{t}\coloneqq \lim_{\epsilon \to +0} \int_{a}^{b – \epsilon} f(t) \dd{t} \quad . \notag \] また, 関数 \( f(t) \) が開区間 \( ( a , b ) \) で連続であり, \( \epsilon_{1} \to +0 \) という極限と \( \epsilon_{2} \to +0 \) という2つの極限を適用することを \( \displaystyle{\lim_{\substack{\epsilon_{1} \to +0 \\ \epsilon_{2} \to +0} } } \) と書き, \[\lim_{\substack{\epsilon_{1} \to +0 \\ \epsilon_{2} \to +0} } \int_{a+\epsilon_{1}}^{b – \epsilon_{2}} f(t) \dd{t} \notag \] が有限な極限値 \( S \) を持つ場合も, 次式で広義積分を定義する. \[S = \int_{a}^{b} f(t) \dd{t}\coloneqq \lim_{\substack{\epsilon_{1} \to +0 \\ \epsilon_{2} \to +0} } \int_{a+\epsilon_{1}}^{b – \epsilon_{2}} f(t) \dd{t} \quad . \notag \]
無限区間に対する広義積分
半開区間のときと同じように, 積分範囲に \( +\infty \) もしくは \( – \infty \) , もしくはその両方が登場する場合についても広義積分を定義しておこう.
ある関数 \( f(t) \) が区間 \( ( – \infty , b ] \) で連続であり, 極限 \[\lim_{a \to – \infty} \int_{a}^{b} f(t) \dd{t} \notag \] が有限な極限値 \( S \) を持つ場合, 次式で広義積分を定義する. \[S = \int_{ – \infty}^{b} f(t) \dd{t}\coloneqq \lim_{a \to – \infty} \int_{a}^{b} f(t) \dd{t} \quad . \notag \] 同様に, ある関数 \( f(t) \) が区間 \( [ a, +\infty ) \) で連続であり, 極限 \[\lim_{b \to +\infty} \int_{a}^{b} f(t) \dd{t} \notag \] が有限な極限値 \( S \) を持つ場合, 次式で広義積分を定義する. \[S = \int_{a}^{\infty} f(t) \dd{t}\coloneqq \lim_{b \to +\infty} \int_{a}^{b} f(t) \dd{t} \quad . \notag \] また, 関数 \( f(t) \) が区間 \( ( – \infty , +\infty ) \) で連続であり, 極限 \[\lim_{\substack{a \to – \infty \\ b \to +\infty} } \int_{a}^{b} f(t) \dd{t} \notag \] が有限な極限値 \( S \) を持つ場合も, 次式で広義積分を定義する. \[S = \int_{ – \infty}^{+\infty} f(t) \dd{t}\coloneqq \lim_{\substack{a \to – \infty \\ b \to +\infty} } \int_{a}^{b} f(t) \dd{t} \quad . \notag \]
不連続関数に対する広義積分
最後に, 積分区間で不連続な関数に対する広義積分を定義しておこう.
関数 \( f(t) \) が点 \( c_{1}, c_{2}, \cdots , c_{n} \) という高々有限個の不連続点を持ち, \( a=c_{0} < c_{1} < c_{2} < \cdots < c_{n} < b=c_{n+1} \) であるとする. このとき, \( i = 1, 2, \cdots , n+1 \) の全てについて, \[\int_{c_{i-1} }^{c_{i}} f(t) \dd{t}\notag \] が存在するとき, \[\int_{a}^{b} f(t) \dd{t} \coloneqq \sum_{i=1}^{n+1} \int_{c_{i-1} }^{c_{i}} f(t) \dd{t}\notag \] で広義積分を定義する.