| \( f(t) \) | \( F(s) = \mathcal{L} \qty[ f(t) ] \) | 収束領域 |
|---|---|---|
| \( t^{n} \) | \( \displaystyle{\frac{n!}{s^{n+1}} } \) | \( \mathrm{Re} \qty[ s ] > 0 \ , \ n = 0, 1, 2, \cdots \) |
| \( \sin{\omega t } \) | \( \displaystyle{\frac{\omega}{s^{2} + \omega^{2}} } \) | \( \mathrm{Re} \qty[ s ] > 0 \) |
| \( \cos{\omega t } \) | \( \displaystyle{\frac{s}{s^{2} + \omega^{2}} } \) | \( \mathrm{Re} \qty[ s ] > 0 \) |
| \( e^{at} \ \qty( a > 0 ) \) | \( \displaystyle{\frac{1}{s – a } } \) | \( \mathrm{Re} \qty[ s ] > a \) |
| \( e^{-at} \ \qty( a > 0 ) \) | \( \displaystyle{\frac{1}{s + a } } \) | \( \mathrm{Re} \qty[ s ] > -a \) |
| \( \sinh{\omega t } \) | \( \displaystyle{\frac{\omega}{s^{2} – \omega^{2}} } \) | \( \mathrm{Re} \qty[ s ] > \abs{a } \) |
| \( \cosh{\omega t } \) | \( \displaystyle{\frac{s}{s^{2} – \omega^{2}} } \) | \( \mathrm{Re} \qty[ s ] > \abs{a } \) |
| \( \log{t } \) | \( \displaystyle{ – \frac{1}{s} \left\{\gamma + 1 \right\} } \) | \( \mathrm{Re} \qty[ s ] > 0 \) |
ここで, \( \gamma \) はオイラーの定数である.
関数 \( f(t) \) のラプラス変換 \( F(s) = \mathcal{L}\left\{f(t)\right\} \) の定義
\[F(s) = \mathcal{L}\left\{f(t) \right\} \coloneqq \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) \dd{t}\label{LapDefF}\]
にしたがって, 代表的な初等関数のラプラス変換を求めよう.
\( 1 \) のラプラス変換
定関数 \( f(t)=1 \) のラプラス変換を求めよう. ただし, \( \mathrm{Re} \qty[ s ] > 0 \) とする. \[\begin{aligned} \mathcal{L}\left\{f(t) \right\} &= \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) \dd{t} \notag \\ &= \int_{0}^{\infty} e^{-st} \cdot 1 \dd{t} \notag \\ &= \qty[ – \frac{1}{s} e^{-st} ] _{0}^{\infty} \notag \\ &= 0 – \qty( – \frac{1}{s} ) = \frac{1}{s} \notag \end{aligned}\] \[\therefore \quad \mathcal{L}(1) = \frac{1}{s} \quad \qty( \mathrm{Re} \qty[ s ] > 0 ) \label{LapDefF1}\]
つづいて, \( a \) を定数として, 定関数 \( f(t)=a \) のラプラス変換を求めよう. ただし, \( \mathrm{Re} \qty[ s ] > 0 \) とする. \[\begin{aligned} \mathcal{L}\left\{f(t) \right\} &= \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) \dd{t} \notag \\ &= \int_{0}^{\infty} e^{-st} \cdot a \dd{t} \notag \\ &= a \int_{0}^{\infty} e^{-st} \dd{t} \notag \\ &= \frac{a}{s} \notag \end{aligned}\] ここで, 最後の等式には式\eqref{LapDefF1}を用いた. \[\therefore \quad \mathcal{L}(a) = \frac{a}{s} \quad \qty( \mathrm{Re} \qty[ s ] > 0 ) \label{LapDefFa}\]
\( t \) のラプラス変換
関数 \( f(t)=t \) のラプラス変換を求めよう. ただし, \( \mathrm{Re} \qty[ s ] > 0 \) とする. \[\begin{aligned} \mathcal{L}\left\{f(t) \right\} &= \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) \dd{t} \notag \\ &= \int_{0}^{\infty} e^{-st} \cdot t \dd{t} \notag \end{aligned}\] 上式に部分積分の公式[1]\( t \) の関数 \( g(t) \) と \( h(t) \) について成立する部分積分の公式とは, \[\int_{a}^{b} g(t) \cdot \dv{h(t)}{t} \dd{t}= \qty[ g(t) \cdot h(t) ] _{a}^{b} – \int_{a}^{b} … Continue readingを適用すると, \[\begin{aligned} \mathcal{L}\qty( t ) &= \qty[ – \frac{1}{s} e^{-st} t ] _{0}^{\infty} + \frac{1}{s} \int_{0}^{\infty} e^{-st} \dd{t} \notag \\ &= \qty[ – \frac{1}{s} e^{-st} t ] _{0}^{\infty} + \frac{1}{s} \qty[ – \frac{1}{s} \cdot e^{-st} ] _{0}^{\infty} \notag \\ &= \qty[ – e^{-st} \qty( \frac{1}{s} t + \frac{1}{s^{2} } ) ] _{0}^{\infty} = \frac{1}{s^{2}} \notag \end{aligned}\] \[\therefore \quad \mathcal{L}(t) = \frac{1}{s^{2}} \quad \qty( \mathrm{Re} \qty[ s ] > 0 ) \label{LapDefFt}\]
\( t^{n} \) のラプラス変換
\( t \) のベキ乗の関数 \( f(t)=t^{n} \quad (n = 0, 1, 2, \cdots ) \) のラプラス変換を求めよう. ただし, \( \mathrm{Re} \qty[ s ] > 0 \) とする. \[\begin{align} \mathcal{L}\left\{f(t) \right\} &= \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) \dd{t} \notag \\ &= \int_{0}^{\infty} e^{-st} \cdot t^{n} \dd{t} \notag \\ &= \underbrace{\qty[ – \frac{1}{s} \cdot e^{-st} t^{n} ] _{0}^{\infty} }_{= 0} – \int_{0}^{\infty} \qty( – \frac{n}{s} \cdot e^{-st} t^{n-1} ) \dd{t} \notag \\ &= \frac{n}{s} \int_{0}^{\infty} e^{-st} t^{n-1} \dd{t} \label{LapDeftnsub1} \end{align}\] ここで, \[I_{n} \coloneqq \int_{0}^{\infty} e^{-st}t^{n} \dd{t} \notag\] と定義すれば, 式\eqref{LapDeftnsub1}より, \( I_{n} \) と \( I_{n-1} \) との間に次式が成立していることがわかる. \[ \mathcal{L}\left\{f(t)\right\} = I_{n} = \frac{n}{s} I_{n-1} \quad . \label{LapDeftnsub2} \] また, \( I_{0} \) については式\eqref{LapDefF1}より, \[I_{0} =\int_{0}^{\infty} e^{-st}t^{0} \dd{t} = \mathcal{L}(1) = \frac{1}{s} \label{LapDeftnsub3}\] となるので, 式\eqref{LapDeftnsub2}及び式\eqref{LapDeftnsub3}より, 次式が成立していることがわかる. \[\begin{aligned} \mathcal{L}\left\{f(t)\right\} &= I_{n} \notag \\ &= \frac{n}{s} I_{n-1} \notag \\ &= \frac{n}{s} \cdot \frac{\qty( n-1 )}{s} I_{n-2} \notag \\ &\vdots \notag \\ &= \frac{n!}{s^{n}}I_{0} \notag \\ &= \frac{n!}{s^{n+1}} \quad . \notag \end{aligned}\] \[\therefore \quad \mathcal{L}\qty( t^{n} ) = \frac{n!}{s^{n+1}} \quad \qty( \mathrm{Re} \qty[ s ] > 0 \ , \ n = 0, 1, 2, \cdots ) \label{LapDefFtn}\]
\( \sin{\qty( \omega t )} \) のラプラス変換
関数 \( f(t)=\sin{\qty( \omega )} \) のラプラス変換を求めよう. ただし, \( \mathrm{Re} \qty[ s ] > 0 \) とする. \[\begin{aligned} \mathcal{L}\left\{f(t) \right\} &= \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) \dd{t} \notag \\ &= \int_{0}^{\infty} e^{-st} \cdot \sin{\qty( \omega t )} \dd{t} \quad . \notag \end{aligned}\]
ラプラス変換の計算を実行するために, 事前に不定積分 \[\int e^{-st} \cdot \sin{\qty( \omega t )} \dd{t} \notag\] について考えよう. 部分積分をくり返し用いると, \[\begin{aligned} \int e^{-st} \cdot \sin{\qty( \omega t )} \dd{t}&= – \frac{1}{s} e^{-st} \sin{\qty( \omega t )} + \int \frac{\omega}{s} e^{-st} \cos{\qty( \omega t )} \dd{t}\notag \\ &= – \frac{1}{s} e^{-st} \sin{\qty( \omega t )} + \frac{\omega}{s} \left\{\int e^{-st} \cos{\qty( \omega t )} \dd{t}\right\} \notag \\ &= – \frac{1}{s} e^{-st} \sin{\qty( \omega t )} + \frac{\omega}{s} \left\{ – \frac{1}{s} e^{-st} \cos{\qty( \omega t )} – \int \frac{\omega}{s} e^{-st} \sin{\qty( \omega t )} \dd{t}\right\} \notag \\ &= – \frac{e^{-st}}{s^{2}} \left\{s \sin{\qty( \omega t )} + \omega \cos{\qty( \omega t )} \right\} – \frac{\omega^{2}}{s^{2}}\int e^{-st}\sin{\qty( \omega t )} \dd{t}\notag \end{aligned}\] \[\begin{aligned} & \to \ \qty( 1 + \frac{\omega^{2}}{s^{2}} ) \int e^{-st} \sin{\qty( \omega t )} \dd{t}= – \frac{e^{-st}}{s^{2}} \left\{s \sin{\qty( \omega t )} + \omega \cos{\qty( \omega t )} \right\} \notag \\ & \to \ \int e^{-st} \sin{\qty( \omega t )} \dd{t}= – \frac{e^{-st}}{s^{2}+\omega^{2}} \left\{s \sin{\qty( \omega t )} + \omega \cos{\qty( \omega t )} \right\} \quad . \notag \end{aligned}\] したがって, \[\begin{aligned} \mathcal{L}\left\{\sin{\qty( \omega t )} \right\} &= \int_{0}^{\infty} e^{-st} \sin{\qty( \omega t )} \dd{t}\notag \\ &= \qty[ – \frac{e^{-st}}{s^{2}+\omega^{2}} \left\{s \sin{\qty( \omega t )} + \omega \cos{\qty( \omega t )} \right\} ] _{0}^{\infty} \notag \\ &= \frac{\omega}{s^{2}+ \omega^{2}} \notag \end{aligned}\] \[\therefore \quad \mathcal{L}\left\{\sin{\qty( \omega t )} \right\} = \frac{\omega}{s^{2} + \omega^{2}} \quad \qty( \mathrm{Re} \qty[ s ] > 0 ) \label{LapDefFsin}\]
別解
\( \mathcal{L}\left\{\sin{\qty( \omega t )} \right\} \) が収束値を持つことが事前にわかっているならば, 次のように \( \mathcal{L}\left\{\sin{\qty( \omega t )} \right\} \) を求めることもできる. \[\begin{aligned} \mathcal{L}\left\{\sin{\qty( \omega t )}\right\} &= \int_{0}^{\infty} e^{-st} \sin{\qty( \omega t )} \dd{t}\notag \\ &= \qty[ – \frac{1}{s} e^{-st} \sin{\qty( \omega t )} ] _{0}^{\infty} – \int_{0}^{\infty} \qty( – \frac{\omega}{s} e^{-st} \cos{\qty( \omega t )} ) \dd{t}\notag \\ &= \frac{\omega}{s} \int_{0}^{\infty} e^{-st} \cos{\qty( \omega t )} \dd{t}\notag \\ &= \frac{\omega}{s} \left\{\qty[ – \frac{1}{s} e^{-st} \cos{\qty( \omega t )} ] _{0}^{\infty} – \int_{0}^{\infty} \frac{\omega}{s}e^{-st} \sin{\qty( \omega t )} \dd{t}\right\} \notag \\ &= \frac{\omega}{s^{2}} – \frac{\omega^{2}}{s^{2}} \mathcal{L}\left\{\sin{\qty( \omega t )}\right\} \notag \end{aligned}\] \[\therefore \quad \mathcal{L}\left\{\sin{\qty( \omega t )}\right\} = \frac{\omega}{s^{2}+\omega^{2}} \notag\]
\( \cos{\qty( \omega t )} \) のラプラス変換
関数 \( f(t)=\cos{\qty( \omega )} \) のラプラス変換を求めよう. ただし, \( \mathrm{Re} \qty[ s ] > 0 \) とする. \[\begin{aligned} \mathcal{L}\left\{f(t)\right\} &= \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) \dd{t} \notag \\ &= \int_{0}^{\infty} e^{-st} \cdot \cos{\qty( \omega t )} \dd{t} \quad . \notag \end{aligned}\]
ラプラス変換の計算を実行するために, 事前に不定積分 \[\int e^{-st} \cdot \cos{\qty( \omega t )} \dd{t} \notag\] について考えよう. 部分積分をくり返し用いると, \[\begin{aligned} \int e^{-st} \cdot \cos{\qty( \omega t )} \dd{t}&= – \frac{1}{s} e^{-st} \cos{\qty( \omega t )} – \int \frac{\omega}{s} e^{-st} \sin{\qty( \omega t )} \dd{t}\notag \\ &= – \frac{1}{s} e^{-st} \cos{\qty( \omega t )} – \frac{\omega}{s} \left\{\int e^{-st} \sin{\qty( \omega t )} \dd{t}\right\} \notag \\ &= – \frac{1}{s} e^{-st} \cos{\qty( \omega t )} – \frac{\omega}{s} \left\{ – \frac{1}{s} e^{-st} \sin{\qty( \omega t )} + \int \frac{\omega}{s} e^{-st} \cos{\qty( \omega t )} \dd{t}\right\} \notag \\ &= \frac{e^{-st}}{s^{2}} \left\{- s \cos{\qty( \omega t )} + \omega \sin{\qty( \omega t )} \right\} – \frac{\omega^{2}}{s^{2}}\int e^{-st}\cos{\qty( \omega t )} \dd{t}\notag \end{aligned}\] \[\begin{aligned} & \to \ \qty( 1 + \frac{\omega^{2}}{s^{2}} ) \int e^{-st} \cos{\qty( \omega t )} \dd{t}= \frac{e^{-st}}{s^{2}} \left\{- s \cos{\qty( \omega t )} + \omega \sin{\qty( \omega t )} \right\} \notag \\ & \to \ \int e^{-st} \cos{\qty( \omega t )} \dd{t}= \frac{e^{-st}}{s^{2}+\omega^{2}} \left\{- s \cos{\qty( \omega t )} + \omega \sin{\qty( \omega t )} \right\} \quad . \notag \end{aligned}\] したがって, \[\begin{aligned} \mathcal{L}\left\{\cos{\qty( \omega t )} \right\} &= \int_{0}^{\infty} e^{-st} \cos{\qty( \omega t )} \dd{t}\notag \\ &= \qty[ \frac{e^{-st}}{s^{2}+\omega^{2}} \left\{- s \cos{\qty( \omega t )} + \omega \sin{\qty( \omega t )} \right\} ] _{0}^{\infty} \notag \\ &= \frac{s}{s^{2}+ \omega^{2}} \notag \end{aligned}\] \[\therefore \quad \mathcal{L}\left\{\cos{\qty( \omega t )} \right\} = \frac{s}{s^{2} + \omega^{2}} \quad \qty( \mathrm{Re} \qty[ s ] > 0 ) \label{LapDefFcos}\]
別解
\( \mathcal{L}\left\{\cos{\left\{\omega t\right\}}\right\} \) が収束値を持つことが事前にわかっているならば, 次のように \( \mathcal{L}\left\{\cos{\left\{\omega t\right\}}\right\} \) を求めることもできる. \[\begin{aligned} \mathcal{L}\left\{\cos{\qty( \omega t )}\right\} &= \int_{0}^{\infty} e^{-st} \cos{\qty( \omega t )} \dd{t}\notag \\ &= \qty[ – \frac{1}{s} e^{-st} \cos{\qty( \omega t )} ] _{0}^{\infty} – \int_{0}^{\infty} \frac{\omega}{s} e^{-st} \sin{\qty( \omega t )} \dd{t}\notag \\ &= \frac{1}{s} – \frac{\omega}{s} \int_{0}^{\infty} e^{-st} \sin{\qty( \omega t )} \dd{t}\notag \\ &= \frac{1}{s} – \frac{\omega}{s} \left\{\qty[ – \frac{1}{s} e^{-st} \sin{\qty( \omega t )} ] _{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty} \frac{\omega}{s}e^{-st} \cos{\qty( \omega t )} \dd{t}\right\} \notag \\ &= \frac{1}{s} – \frac{\omega^{2}}{s^{2}} \mathcal{L}\left\{\cos{\qty( \omega t )}\right\} \notag \end{aligned}\] \[\begin{aligned} &\to \ \qty( 1 + \frac{\omega^{2}}{s^{2}} ) \mathcal{L}\left\{\cos{\qty( \omega t )}\right\} = \frac{1}{s} \notag \\ &\to \ \mathcal{L}\left\{\cos{\qty( \omega t )}\right\} = \frac{s}{s^{2}+\omega^{2}} \notag \end{aligned}\]
三角関数のラプラス変換とオイラーの公式
\( \mathcal{L}\left\{\sin{\qty( \omega t ) }\right\} \) 及び \( \mathcal{L}\left\{\cos{\qty( \omega t ) }\right\} \) を求めるにあたって, オイラーの公式 \[e^{i \omega t } = i \sin{\qty( \omega t ) } + \cos{\qty( \omega t ) } \notag\] を用いる方法もあるので紹介しておこう.
ラプラス変換の定義より, \[\begin{align} \mathcal{L}\qty( e^{i \omega t} ) &= \mathcal{L}\left\{i \sin{\qty( \omega t )} + \cos{\qty( \omega t )} \right\} \notag \\ &= \int_{0}^{\infty} e^{-st} \left\{i \sin{\qty( \omega t )} + \cos{\qty( \omega t )} \right\} \dd{t} \notag \\ &= i \int_{0}^{\infty} e^{-st} \sin{\qty( \omega t )} \dd{t} + \int_{0}^{\infty} e^{-st} \cos{\qty( \omega t )} \dd{t} \notag \\ &= i \mathcal{L}\left\{\sin{\qty( \omega t )} \right\} + \mathcal{L}\left\{\cos{\qty( \omega t )} \right\} \quad . \label{LapSinCosEusub1} \end{align}\] 一方, ラプラス変換の定義より, \[\begin{align} \mathcal{L}\qty( e^{i \omega t } ) &= \int_{0}^{\infty} e^{-st} e^{i \omega t } \dd{t}\notag \\ &= \int_{0}^{\infty} e^{ – (s – i \omega ) t } \dd{t}\notag \\ &= \qty[ \frac{-1}{(s – i \omega )} e^{ – (s – i \omega ) t } ] _{0}^{\infty} \notag \\ &= \frac{1}{(s – i \omega )} \notag \\ &= \frac{s + i \omega }{s^{2} + \omega^{2} } \label{LapSinCosEusub2} \end{align}\] であるので, 式\eqref{LapSinCosEusub1}及び式\eqref{LapSinCosEusub2}より, \[\begin{aligned} \mathcal{L}\left\{e^{i \omega t }\right\} &= i \mathcal{L}\left\{\sin{\qty( \omega t )} \right\} + \mathcal{L}\left\{\cos{\qty( \omega t )} \right\} \notag \\ &= i \frac{\omega }{s^{2} + \omega^{2} } + \frac{s }{s^{2} + \omega^{2} } \notag \end{aligned}\] であり, 実部と虚部とをそれぞれ比較することで次の結論が得られる. \[\begin{aligned} \mathcal{L} \left\{\sin{\qty( \omega t ) }\right\} = \mathrm{Im} \qty[ \mathcal{L}\left\{e^{i \omega t }\right\} ] = \frac{\omega}{s^{2}+\omega^{2}} \notag \\ \mathcal{L} \left\{\cos{\qty( \omega t ) }\right\} = \mathrm{Re} \qty[ \mathcal{L}\left\{e^{i \omega t }\right\} ] = \frac{s}{s^{2}+\omega^{2}} \notag \end{aligned}\]
\( e^{at} \) のラプラス変換
\( a \) を正の実数として, 関数 \( f(t)=e^{at} \) のラプラス変換を求めよう. \[\begin{aligned} \mathcal{L}\left\{f(t) \right\} &= \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) \dd{t}\notag \\ &= \int_{0}^{\infty} e^{-st} e^{at} \dd{t}\notag \\ &= \int_{0}^{\infty} e^{ – (s-a)t} \dd{t}\notag \end{aligned}\] ここで, \( \mathrm{Re} \qty[ s ] > a \) の場合には \( \mathcal{L}\qty( e^{at} ) \) は収束値を持ち, \[\begin{aligned} \mathcal{L}\qty( e^{at} ) &= \int_{0}^{\infty} e^{ – \qty( s-a ) t} \dd{t}\notag \\ &= \qty[ \frac{-1}{\qty( s-a )} e^{ – \qty( s – a ) t } ] _{0}^{\infty} \notag \\ &= \frac{1}{s – a } \notag \end{aligned}\] \[\therefore \quad \mathcal{L}\qty( e^{at} ) = \frac{1}{s – a }\quad \qty( \mathrm{Re} \qty[ s ] > a ) \label{LapDefFeatp}\]
\( e^{-at} \) のラプラス変換
\( a \) を正の実数として, 関数 \( f(t)=e^{-at} \) のラプラス変換を求めよう. \[\begin{aligned} \mathcal{L}\left\{f(t) \right\} &= \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) \dd{t}\notag \\ &= \int_{0}^{\infty} e^{-st} e^{-at} \dd{t}\notag \\ &= \int_{0}^{\infty} e^{ – (s+a)t} \dd{t}\notag \end{aligned}\] ここで, \( \mathrm{Re} \qty[ s ] > -a \) の場合には \( \mathcal{L}\qty( e^{-at} ) \) は収束値を持ち, \[\begin{aligned} \mathcal{L}\qty( e^{at} ) &= \int_{0}^{\infty} e^{ – \qty( s+a )t} \dd{t}\notag \\ &= \qty[ \frac{-1}{\qty( s+a )} e^{ – \qty( s+a ) t } ] _{0}^{\infty} \notag \\ &= \frac{1}{s+a } \notag \end{aligned}\] \[\mathcal{L}\qty( e^{at} ) = \frac{1}{s+a } \quad \qty( \mathrm{Re} \qty[ s ] > -a ) \label{LapDefFeatm}\]
\( \sinh{\qty( \omega t )} \) のラプラス変換
\( \omega \) を正の実数として, 双曲線関数 \[\sinh{\qty( \omega t ) } = \frac{e^{\omega t } – e^{ – \omega t } }{2} \notag\] のラプラス変換を求めよう.
ラプラス変換の定義より, \[\begin{aligned} \mathcal{L}\left\{\sinh{\qty( \omega t ) }\right\} &= \mathcal{L}\qty( \frac{e^{\omega t } – e^{ – \omega t } }{2} ) \notag \\ &= \int_{0}^{\infty} e^{-st} \qty( \frac{e^{\omega t } – e^{ – \omega t } }{2} ) \dd{t}\notag \\ &= \frac{1}{2} \left\{\int_{0}^{\infty} e^{-st} e^{\omega t } \dd{t} – \int_{0}^{\infty} e^{-st} e^{ – \omega t } \dd{t}\right\} \notag \\ &= \frac{1}{2} \left\{\mathcal{L}\qty( e^{\omega t } ) – \mathcal{L}\qty( e^{ – \omega t } ) \right\} \notag \end{aligned}\] ここで, \( \mathrm{Re} \qty[ s ] > \omega \) の場合は式\eqref{LapDefFeatp}より \( \mathcal{L}\qty( e^{\omega t } )=\frac{1}{s – \omega} \) であり, \( \mathrm{Re} \qty[ s ] > – \omega \) の場合は式\eqref{LapDefFeatm}より \( \mathcal{L}\qty( e^{ – \omega t } )=\frac{1}{s+\omega} \) であり, この両方の条件を満たさなければラプラス変換が収束値を持たない. 結局, \( \mathrm{Re} \qty[ s ] > \abs{\omega } \) の場合に \[\begin{aligned} \mathcal{L}\left\{\sinh{\qty( \omega t ) }\right\} &= \frac{1}{2} \left\{\mathcal{L}\qty( e^{\omega t } ) – \mathcal{L}\qty( e^{ – \omega t } ) \right\} \notag \\ &= \frac{1}{2} \qty( \frac{1}{s – \omega} – \frac{1}{s+\omega} ) \notag \\ &= \frac{\omega}{s^{2} – \omega^{2}} \notag \end{aligned}\] \[\therefore \quad \mathcal{L}\left\{\sinh{\qty( \omega t ) }\right\} = \frac{\omega}{s^{2} – \omega^{2}} \quad \qty( \mathrm{Re} \qty[ s ] > \abs{\omega } ) \notag\]
\( \cosh{\qty( \omega t )} \) のラプラス変換
\( \omega \) を正の実数として, 双曲線関数 \[\cosh{\qty( \omega t ) } = \frac{e^{\omega t } + e^{ – \omega t } }{2} \notag\] のラプラス変換を求めよう.
ラプラス変換の定義より, \[\begin{aligned} \mathcal{L}\left\{\cosh{\qty( \omega t ) }\right\} &= \mathcal{L}\qty( \frac{e^{\omega t } + e^{ – \omega t } }{2} ) \notag \\ &= \int_{0}^{\infty} e^{-st} \qty( \frac{e^{\omega t } + e^{ – \omega t } }{2} ) \dd{t}\notag \\ &= \frac{1}{2} \left\{\int_{0}^{\infty} e^{-st} e^{\omega t } \dd{t}+ \int_{0}^{\infty} e^{-st} e^{ – \omega t } \dd{t}\right\} \notag \\ &= \frac{1}{2} \left\{\mathcal{L}\qty( e^{\omega t } ) + \mathcal{L}\qty( e^{ – \omega t } ) \right\} \notag \end{aligned}\] ここで, \( \mathrm{Re} \qty[ s ] > \omega \) の場合は式\eqref{LapDefFeatp}より \( \mathcal{L}\qty( e^{\omega t } )=\frac{1}{s – \omega} \) であり, \( \mathrm{Re} \qty[ s ] > – \omega \) の場合は式\eqref{LapDefFeatm}より \( \mathcal{L}\qty( e^{ – \omega t } )=\frac{1}{s+\omega} \) であり, この両方の条件を満たさなければラプラス変換が収束値を持たない. 結局, \( \mathrm{Re} \qty[ s ] > \abs{\omega } \) の場合に \[\begin{aligned} \mathcal{L}\left\{\cosh{\qty( \omega t ) }\right\} &= \frac{1}{2} \left\{\mathcal{L}\qty( e^{\omega t } ) + \mathcal{L}\qty( e^{ – \omega t } ) \right\} \notag \\ &= \frac{1}{2} \qty( \frac{1}{s – \omega} + \frac{1}{s+\omega} ) \notag \\ &= \frac{s}{s^{2} – \omega^{2}} \notag \end{aligned}\] \[\therefore \quad \mathcal{L}\left\{\cosh{\qty( \omega t ) }\right\} = \frac{s}{s^{2} – \omega^{2}} \quad \qty( \mathrm{Re} \qty[ s ] > \abs{\omega } ) \notag\]
\( \log{t} \) のラプラス変換
対数関数 \( f(t)=\log{t} \) のラプラス変換について考えよう. ただし, \( \mathrm{Re} \qty[ s ] > 0 \) とする. \[\begin{aligned} \mathcal{L} \left\{f(t)\right\} &= \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) \dd{t} \notag \\ &= \int_{0}^{\infty} e^{-st} \log{t} \dd{t} \notag \end{aligned}\] \( x = st \) として置換積分を実行すると, \(\dd{x}= s \dd{t} \) より, \[\begin{align} \mathcal{L} \qty( \log{t} ) &= \int_{0}^{\infty} e^{-x} \log{\qty( \frac{x}{s} )} \frac{1}{s} \dd{x} \notag \\ &= \frac{1}{s} \left\{\int_{0}^{\infty} e^{-x} \log{x} \dd{x} – \log{s} \int_{0}^{\infty} e^{-x} \dd{x} \right\} \quad .\label{LapDefFlogsub1} \end{align}\] ここで, 式\eqref{LapDefFlogsub1}の第1項に関する次の事実を証明なく用いることにする. いま, オイラーの定数 \( \gamma \) を次式で定義する[2]このオイラーの定数はその定義が簡単そうに視えるにも関わらず, 未だに無理数なのかどうかの判定がついていない数である. . \[\begin{aligned} \gamma \coloneqq & \lim_{t \to \infty} \qty( 1 + \frac{1}{2}+ \cdots + \frac{1}{n} – \log{n} ) \notag \\ =& 0.57721\cdots \quad . \notag \end{aligned}\] そして, オイラーの定数は次式を満たすことが知られている. \[\gamma = – \int_{0}^{\infty} e^{-x} \log{x} \dd{t} \notag\] また, 式\eqref{LapDefFlogsub1}の第 \( 2 \) 項について, \[\int_{0}^{\infty} e^{-x} \dd{x}= \qty[ – e^{-x } ] _{0}^{\infty} = 1 \notag\]
が成立するので, 対数関数 \( \log{t} \) のラプラス変換として次式を得る. \[\mathcal{L} \qty( \log{t} ) = – \frac{1}{s} \left\{\gamma + 1 \right\} \quad . \label{LapDefFlog}\]