四則演算の誤差伝播

加法

まず, 量 \( C \) が \( \qty( A+B ) \) で定義されている場合について考える.

量 \( C \) の実験値として最良な推定値は明らかに \( A \) と \( B \) の実験値の和 \[ c = a + b \notag\] となる. これは素朴に考えても妥当であるし, 繰り返し測定で得られた \( a \) , \( b \) の場合には数学的に正しいことを示すことができる.

\( \qty( A + B ) \) を最も大きく見積もった場合の値, \[ \qty( a + \delta a ) + \qty( b + \delta b ) = \qty( a + b ) + \qty( \delta a + \delta b ) \notag\] と,量 \( C \) を最も大きく見積もった場合の値 \[ c + \delta c_{\mathrm{max}} \notag\] とを見比べると, \[ \delta c_{\mathrm{max}} = \delta a + \delta b \label{ae1}\] と見積もることができる.

次に, \( \qty( A + B ) \) を最も小さく見積もった場合の値, \[ \qty( a – \delta a ) + \qty( b – \delta b ) = \qty( a + b ) – \qty( \delta a + \delta b ) \notag\] と,量 \( C \) を最も小さく見積もった場合の値 \[ c – \delta c_{\mathrm{min}} \notag\] とを見比べると, \[ \delta c_{\mathrm{min}} = \delta a + \delta b \label{ae2}\] と見積もることができる.

減法

次に, 量 \( C \) が \( \qty( A-B ) \) で定義されている場合について考える.

\( C \) の実験値として最良な推定値は明らかに \( A \) と \( B \) の実験値の差 \[ c = a – b \notag\] となる.

量 \( \qty( A-B ) \) を最も大きく見積もった場合, \( A \) は \( \qty( a + \delta a ) \) , \( B \) は \( \qty( b – \delta b ) \) である. また, 量 \( \qty( A-B ) \) を最も小さく見積もった場合というのは, \( A \) は \( \qty( a – \delta a ) \) , \( B \) は \( \qty( b + \delta b ) \) である.

このことに注意すれば, 加法のときと同じ議論を適用することで, \[ \begin{equation} \left\{\begin{aligned} & c = a – b \ & \delta c_{\mathrm{min}} = \delta c_{\mathrm{max}} = \delta a + \delta b \end{aligned} \right. \label{adsum} \end{equation} \] と見積もることができ, \( c \pm \delta c_{\mathrm{max}} \) ということができる.

乗法

量 \( C \) が \( A \cdot B \) で定義されている場合について考える.

量 \( C \) の実験値として最良な推定値は \( A \) と \( B \) の実験値同士の積 \[ c = a \cdot b \notag\] で与えられる.

\( A \cdot B \) を最も大きく見積もった場合の値, \[ \qty( a + \delta a ) \cdot \qty( b + \delta b ) = a \qty( 1 + \frac{\delta a}{a} ) \cdot b \qty( 1 + \frac{\delta b}{b} ) \notag\] を計算するわけだが, \( \delta a \) , \( \delta b \) というのはそれぞれ \( a \) , \( b \) に対しては小さな値を持っており, 相対誤差の2次式に対して \[ \qty( \frac{\delta a}{a} )^2 , \qty( \frac{\delta b}{b} )^2 , \frac{\delta a}{a} \frac{\delta b}{b} \ll 1 \label{neg}\] という近似が成立するという仮定をしくと, \[ \begin{aligned} & a \qty( 1 + \frac{\delta a}{a} ) \cdot b \qty( 1 + \frac{\delta b}{b} ) = ab \qty( 1 + \frac{\delta a}{a} + \frac{\delta b}{b} + \frac{\delta a}{a} \cdot \frac{\delta b}{b} ) \notag \ & \phantom{=} \approx ab \qty{ 1 + \qty( \frac{\delta a}{a} + \frac{\delta b}{b} ) } \notag \end{aligned}\] となる.

この式と量 \( C \) を最も大きく見積もった場合の値 \[ c + \delta c_{\mathrm{max}} = c \qty( 1 + \frac{\delta c_{\mathrm{max}}}{c } ) \notag\] と見比べると, \( A \) , \( B \) , \( C \) の相対誤差について次の関係式が得られる. \[ \frac{\delta c_{\mathrm{max}}}{c } = \frac{\delta a}{a} + \frac{\delta b}{b} \quad . \label{pe1}\] 同様に, 積 \( A\cdot B \) を最も小さく見積もった場合, \[ \begin{aligned} & a \qty( 1 – \frac{\delta a}{a} ) \cdot b \qty( 1 – \frac{\delta b}{b} ) = ab \qty( 1 – \frac{\delta a}{a} – \frac{\delta b}{b} + \frac{\delta a}{a} \cdot \frac{\delta b}{b} ) \notag \ & \phantom{=} \approx ab \qty{ 1 – \qty( \frac{\delta a}{a} + \frac{\delta b}{b} ) } \notag \end{aligned}\] となる.

この式と量 \( C \) を最も小さく見積もった場合の値 \[ c – \delta c_{\mathrm{min}} = c \qty( 1 – \frac{\delta c_{\mathrm{min}}}{c } ) \notag\] と見比べることで, 次式が得られる. \[ \frac{\delta c_{\mathrm{min}}}{c } = \frac{\delta a}{a} + \frac{\delta b}{b} \quad . \label{pe2}\]

除法

除法の場合にも乗法と同じ議論によって誤差の計算が可能となる.

このとき, 微小量 \( x, y \ll 1 \) について成り立つ近似公式 \[ \begin{align} & \begin{aligned} \frac{1}{1-x} &= 1 + x + x^2 + \cdots \ &\approx 1 + x \end{aligned} \label{apdiv1} \\ & \begin{aligned} \frac{1}{1+x} &= 1 – x + x^2 – \cdots \ &\approx 1 – x \end{aligned} \label{apdiv2} \end{align}\] を適宜用いることになる.

量 \( C \) が \( A \cdot B^{-1} \) で定義されている場合について考える.

\( C \) の実験値として最良な推定値は量 \( A \) と \( B \) の実験値の商 \[ c = a \cdot b^{-1} \notag\] で与えられる.

\( A \cdot B^{-1} \) を最も大きく見積もった場合の値 \[ \frac{a \qty( 1 + \frac{\delta a }{a} ) }{b\qty( 1 – \frac{\delta b}{b} )} \notag\] に対して, 式\eqref{apdiv1}及び式\eqref{neg}の近似公式を用いると, \[ \begin{aligned} \frac{a \qty( 1 + \frac{\delta a}{a} ) }{b \qty( 1 – \frac{\delta b}{b} ) } &= \frac{a}{b} \qty( 1 + \frac{\delta a}{a} ) \qty( 1 – \frac{\delta b}{b} )^{-1} \notag \ &\approx \frac{a}{b} \qty( 1 + \frac{\delta a}{a} ) \qty( 1 + \frac{\delta b}{b} ) \notag \ &= \frac{a}{b} \qty( 1 + \frac{\delta a}{a} + \frac{\delta b}{b} + \frac{\delta a}{a} \cdot \frac{\delta b}{b} ) \notag \ &\approx ab \qty{ 1 + \qty( \frac{\delta a}{a} + \frac{\delta b}{b} ) } \notag \end{aligned}\] が成立し, \[ c + \delta c_{\mathrm{max}} = c \qty( 1 + \frac{\delta c_{\mathrm{max}}}{c } ) \notag\] と見比べると, \( A \) , \( B \) , \( C \) の相対誤差について次の関係式が得られる. \[ \frac{\delta c_{\mathrm{max}}}{c } = \frac{\delta a}{a} + \frac{\delta b}{b} \quad . \label{de1}\] \( A \cdot B^{-1} \) を最も小さく見積もってしまう場合も同じく, \[ \frac{a \qty( 1 – \frac{\delta a }{a} ) }{b\qty( 1 + \frac{\delta b}{b} )} \notag\] であり, 式\eqref{apdiv2}及び式\eqref{neg}の近似公式を用いると, \[ \begin{aligned} \frac{a \qty( 1 – \frac{\delta a}{a} ) }{b \qty( 1 + \frac{\delta b}{b} ) } &= \frac{a}{b} \qty( 1 – \frac{\delta a}{a} ) \qty( 1 + \frac{\delta b}{b} )^{-1} \notag \ &\approx \frac{a}{b} \qty( 1 – \frac{\delta a}{a} ) \qty( 1 – \frac{\delta b}{b} ) \notag \ &= \frac{a}{b} \qty( 1 – \frac{\delta a}{a} – \frac{\delta b}{b} + \frac{\delta a}{a} \cdot \frac{\delta b}{b} ) \notag \ &\approx ab \qty{ 1 – \qty( \frac{\delta a}{a} + \frac{\delta b}{b} ) } \notag \end{aligned}\] が成立し, \[ c – \delta c_{\mathrm{min}} = c \qty( 1 – \frac{\delta c_{\mathrm{min}}}{c } ) \notag\] と見比べると, \( A \) , \( B \) , \( C \) の相対誤差について次の関係式が得られる. \[ \frac{\delta c_{\mathrm{min}}}{c } = \frac{\delta a}{a} + \frac{\delta b}{b} \quad . \label{de2}\]