ここで扱う微分方程式は, \[\dv[2]{y}{x} + \qty( \text{正定数} ) \times y = 0 \label{sho2kai}\] の形で書ける微分方程式であり, 数学的には2階線形同次微分方程式の特別な場合となっている.
便宜上, 式\eqref{sho2kai}の形で書ける微分方程式のことを単振動型の微分方程式と呼ぶことにする. というのも, この微分方程式で記述できる物理現象として, 単振動が知られているからである.
単振動とは, 質量 \( m \) , 位置 \( x(t) \) の物体に働いている合力が平衡点 \( x=x_{0} \) からの変位 \( \qty( x – x_{0} ) \) に比例する復元力であり, 比例係数を \( K(>0) \) , 加速度を \( a \) として運動方程式が \[ma= – K \qty( x – x_{0} ) \ \iff \ m \dv[2]{x}{t}= – K \qty( x – x_{0} ) \notag\] で与えられる現象である(単振動の運動方程式と一般解). この運動方程式は, バネに接続された物体が抵抗力がない状態で運動しているような時に現れるもので, 物体の振動を議論するうえで大変重要, かつ, 基本的な運動方程式である.
単振動の運動方程式は, 変位 \( X \) と角振動数と呼ばれる量 \( \omega \) を \[X \coloneqq x – x_{0} , \quad \omega \coloneqq \sqrt{\frac{K}{m} } \notag\] で定義したうえで整理すると, \[\dv[2]{X}{t} = – \omega^{2} X \quad \iff \quad \dv[2]{X}{t} + \omega^{2} X = 0 \notag\] と書けるので, 冒頭で述べた微分方程式\eqref{sho2kai}に帰着できる( \( y \leftrightarrow X \) , \( x \leftrightarrow t \) に対応).
この微分方程式の一般解は \[X = A \sin{\qty( \omega t )} + B \cos{\qty( \omega t )} \qq{ \( A, B \) は定数} \notag\] もしくは \[X = A \sin{\qty( \omega t + \alpha )} \qq{ \( A, \alpha \)は定数} \notag\] で与えられることが知られている. ここで \( A \) , \( B \) もしくは \( A \) , \( \alpha \) は任意定数である. この(任意定数を含んだ)一般解さえ分かっていれば, 一般解に含まれる任意定数を問題で与えられた初期条件にあわせて決定することで単振動の時間的な変化を完全に記述することができるのである.
ここでは, 単振動型の微分方程式から出発して前述の一般解を求めることを目的とする.
この記事を呼んでいる人の中には, 高校物理の単振動の一般解およびその(あまり天下り的でない)導出が気になる人が多いであろうから, まずはじめに微分方程式の知識を使いすぎに, 高校生でも展開できるような論法で単振動の一般解を導出する.
後半は単振動型の微分方程式を, 基本解やロンスキアンといった微分方程式の概念を用いて再度一般解の導出について議論する. こちらの解説については2階線形同次微分方程式の解の構造について学習したのちに目を通してもらいたい.
単振動型の微分方程式の導出1 – 三角関数篇
関数 \( y=y(x) \) について, 単振動型の微分方程式 \[\dv[2]{y}{x} + \omega^{2} y = 0 \qq{ \( \omega \) は正の定数} \label{shobekkai}\] を満たすような \( y \) がどのような関数であるか, \( y \) の導関数 \( \dv{y}{x} \) や \( \dv[2]{y}{x} \) を含まない形で記述することが目的である. つまり, 与えられた方程式から何とかして導関数の存在を除去する操作( \( \approx \) 積分)につなげなくてはならない.
また, 単振動型の微分方程式は \[\dv[2]{y}{x} = – \omega^{2} y \notag\] と書くことができる. これは求めたい関数 \( y \) の符号と第2次導関数 \( \dv[2]{y}{x} \) とでは符号が反転しているという特徴を持つことを意味している. この性質に関して,
微分操作を2回繰り返すと符号が反転する関数として, 三角関数 \( \sin{x} \) , \( \cos{x} \) を思い浮かべる. \[\begin{aligned} & \dv[2]{}{x} \sin{x} = \dv{x} \cos{x} = – \sin{x} \notag \\ & \dv[2]{}{x} \cos{x} = \dv{x} \qty( – \sin{x} ) = – \cos{x} \notag \end{aligned}\]
2回と符号が反転するというキーワードから, 虚数単位 \( i \) を思い浮かべ, \[\dv[2]{y}{x} = – \omega^{2} y = \qty( i \omega )^{2} y \notag\] と解釈する.
などは自然な発想と言える. (この二つ目の発想を活かす方法は後述する.)
これらの事項を念頭に,式\eqref{shobekkai}の両辺に \( \sin{\qty( \omega x ) } \) を乗じて次のような計算を行う. \[\begin{aligned} & \qty( \dv[2]{y}{x} + \omega^{2} y ) \sin{\qty( \omega x ) }= 0 \notag \\ \to \ & \qty( \dv[2]{y}{x} + \omega^{2} y ) \sin{\qty( \omega x ) } + \left\{\omega \dv{y}{x} \cos{\qty( \omega x )} – \omega \dv{y}{x} \cos{\qty( \omega x )} \right\} = 0 \notag \\ \to \ & \left\{\dv[2]{y}{x} \sin{\qty( \omega x ) } + \omega \dv{y}{x} \cos{\qty( \omega x ) }\right\} + \left\{ – \omega \dv{y}{x} \cos{\qty( \omega x )} + \omega^{2} y \sin{\qty( \omega x ) } \right\} = 0 \notag \\ \to \ & \dv{x}\left\{\dv{y}{x} \sin{\qty( \omega x ) } \right\} + \dv{x} \left\{ – \omega y \cos{\qty( \omega x )} \right\} = 0 \notag \\ \to \ & \dv{x}\left\{\dv{y}{x} \sin{\qty( \omega x ) } – \omega y \cos{\qty( \omega x )} \right\} = 0 \notag \end{aligned}\] ここで両辺を積分することにより, \[\therefore \ \dv{y}{x} \sin{\qty( \omega x ) } – \omega y \cos{\qty( \omega x )} = C_{1} \label{shob1}\] を得る. ここで \( C_{1} \) は任意定数である. この操作によって式\eqref{shobekkai}から第2次導関数 \( \dv[2]{y}{x} \) を消去することができた.
同様の計算を, 式\eqref{shobekkai}の両辺に \( \cos{\qty( \omega x ) } \) を乗じて行うと, \[\begin{align} & \qty( \dv[2]{y}{x} + \omega^{2} y ) \cos{\qty( \omega x ) }= 0 \notag \\ \to \ & \qty( \dv[2]{y}{x} + \omega^{2} y ) \cos{\qty( \omega x ) } + \left\{\omega \dv{y}{x} \sin{\qty( \omega x )} – \omega \dv{y}{x} \sin{\qty( \omega x )} \right\} = 0 \notag \\ \to \ & \left\{\dv[2]{y}{x} \cos{\qty( \omega x ) } – \omega \dv{y}{x} \sin{\qty( \omega x ) }\right\} + \left\{\omega \dv{y}{x} \sin{\qty( \omega x )} + \omega^{2} y \cos{\qty( \omega x ) } \right\} = 0 \notag \\ \to \ & \dv{x}\left\{\dv{y}{x} \cos{\qty( \omega x ) } \right\} + \dv{x} \left\{\omega y \sin{\qty( \omega x )} \right\} = 0 \notag \\ \to \ & \dv{x}\left\{\dv{y}{x} \cos{\qty( \omega x ) } + \omega y \sin{\qty( \omega x )} \right\} = 0 \notag \\ \therefore \ & \dv{y}{x} \cos{\qty( \omega x ) } + \omega y \sin{\qty( \omega x )} = C_{2} \label{shob2} \end{align}\] となる. ここで \( C_{2} \) は任意定数である.
式\eqref{shob1}と式\eqref{shob2}から \( \dv{y}{x} \) を消去するため, 式\eqref{shob1} \( \times \cos{\qty( \omega x )} \) と式\eqref{shob2} \( \times \sin{\qty( \omega x ) } \) の差を計算して整理すると, \[y = \frac{C_{2}}{\omega} \sin{\qty( \omega x )} – \frac{C_{1}}{\omega} \cos{\qty( \omega x )} \quad . \notag\] ここで新しい任意定数をあらためて \[\frac{C_{2}}{\omega} \to C_{1}, \quad – \frac{C_{1}}{\omega} \to C_{2} \notag\] と定義しなおすことで \[y = C_{1} \sin{\qty( \omega x ) } + C_{2} \cos{\qty( \omega x )} \label{shobkai}\] が得られる. この式\eqref{shobkai}は単振動型の微分方程式\eqref{shobekkai}を満たし, かつ, 任意定数 \( 2 \) 個を含んだ解 – 一般解という – となっている.
また, 式\eqref{shobkai}に対して三角関数の合成を用い, 新しい任意定数 \( A \) , \( \alpha \) を \[\begin{aligned} & A \coloneqq \sqrt{C_{1}^{2} + C_{2}^{2} } \notag \\ & \sin{\alpha} \coloneqq \frac{C_{2}}{\sqrt{C_{1}^{2} + C_{2}^{2} }} \ , \quad \cos{\alpha} \coloneqq \frac{C_{1}}{\sqrt{C_{1}^{2} + C_{2}^{2} }} \notag \end{aligned}\] で定義すると, \[y = A \sin{\qty( \omega x + \alpha )} \label{shobkaiv2}\] が得られるので, 式\eqref{shobkai}と式\eqref{shobkaiv2}は見かけ上は異なるが同等な関係式である.
単振動型の微分方程式の導出1 – 指数関数篇
単振動型の運動方程式 \[\begin{aligned} & \dv[2]{y}{x} + \omega^{2} y = 0 \qq{ \( \omega \) は正の定数} \notag \\ & \iff \ \dv[2]{y}{x} = \qty( i \omega )^{2} y \notag \end{aligned}\] の一般解は複素数の任意定数 \( C_{+} \) , \( C_{-} \) を用いて, \[y = C_{+} e^{i\omega x} + C_{-} e^{-i\omega x}\] とも書くことができる.
このことを次の二通りの方法で確かめてもらいたい.
三角関数を含んだ一般解に対してオイラーの公式 \[e^{i\theta} = i\sin{\theta} + \cos{\theta} \notag\] を適用する.
三角関数の一般解が得られたときと同じ論法で導出する.
解答1
三角関数で得られた一般解に対してオイラーの公式を適用し, 指数関数だけを残した形で一般解をあらわそう.
オイラーの公式を用いて \( \sin{\qty( \omega x )} \) , \( \cos{\qty( \omega x )} \) を \[\sin{\qty( \omega x )} = – i\frac{e^{i \omega x} – e^{- i \omega x} }{2}, \quad \cos{\qty( \omega x )} = \frac{e^{i \omega x} + e^{- i \omega x} }{2} \notag\] のように書き換え, \[\begin{aligned} y &= C_{1} \sin{\qty( \omega x )} + C_{2} \cos{\qty( \omega x )} \notag \\ &= \qty( \frac{-iC_{1}+C_{2}}{2} )e^{i\omega x } + \qty( \frac{iC_{1}+C_{2}}{2} )e^{-i\omega x } \notag \end{aligned}\] において \( \qty( \frac{-iC_{1}+C_{2}}{2} ) \) , \( \qty( \frac{iC_{1}+C_{2}}{2} ) \) という複素数の定数をあらためて \( C_{+} \) , \( C_{-} \) と書き換えることで, \[y = C_{+} e^{i\omega x } + C_{-} e^{-i\omega x } \notag\] を得る.
解答2
三角関数を含んだ一般解を得られたときと同じ論法を用いよう.
単振動型の微分方程式 \[\dv[2]{y}{x} + \omega^{2} y = 0 \label{shobbekkai}\] に対して次のような計算を行う. \[\begin{align} & \qty( \dv[2]{y}{x} + \omega^{2} y ) e^{i \omega x }= 0 \notag \\ \to \ & \qty( \dv[2]{y}{x} + \omega^{2} y ) e^{i \omega x } + \left\{i \omega \dv{y}{x} e^{i \omega x } – i \omega \dv{y}{x} e^{i \omega x } \right\} = 0 \notag \\ \to \ & \left\{\dv[2]{y}{x} e^{i \omega x } + i \omega \dv{y}{x} e^{i \omega x }\right\} – \left\{i \omega \dv{y}{x} e^{i \omega x } – \omega^{2} y e^{i \omega x } \right\} = 0 \notag \\ \to \ & \dv{x}\left\{\dv{y}{x} e^{i \omega x } \right\} – \dv{x} \left\{i \omega y e^{i \omega x} \right\} = 0 \notag \\ \to \ & \dv{x}\left\{\qty( \dv{y}{x} – i \omega y ) e^{i \omega x } \right\} = 0 \notag \\ \to \ & \qty( \dv{y}{x} – i \omega y ) e^{i \omega x } = C_{1} \notag \\ \therefore \ & \dv{y}{x} – i \omega y = C_{1} e^{-i \omega x } \label{shobb1} \end{align}\] ここで \( C_{1} \) は任意定数である. \[\begin{align} & \qty( \dv[2]{y}{x} + \omega^{2} y ) e^{-i \omega x }= 0 \notag \\ \to \ & \qty( \dv[2]{y}{x} + \omega^{2} y ) e^{-i \omega x } + \left\{i \omega \dv{y}{x} e^{-i \omega x } – i \omega \dv{y}{x} e^{-i \omega x } \right\} = 0 \notag \\ \to \ & \left\{\dv[2]{y}{x} e^{-i \omega x } – i \omega \dv{y}{x} e^{-i \omega x }\right\} + \left\{i \omega \dv{y}{x} e^{-i \omega x } + \omega^{2} y e^{-i \omega x } \right\} = 0 \notag \\ \to \ & \dv{x}\left\{\dv{y}{x} e^{-i \omega x } \right\} + \dv{x} \left\{i \omega y e^{-i \omega x} \right\} = 0 \notag \\ \to \ & \dv{x}\left\{\qty( \dv{y}{x} + i \omega y ) e^{-i \omega x } \right\} = 0 \notag \\ \to \ & \qty( \dv{y}{x} + i \omega y ) e^{-i \omega x } = C_{2} \notag \\ \therefore \ & \dv{y}{x} + i \omega y = C_{2} e^{i \omega x } \quad .\label{shobb2} \end{align}\] ここで \( C_{2} \) は任意定数である.
式\eqref{shobb1}と式\eqref{shobb2}から \( \dv{y}{x} \) を消去すると, \[y= \frac{C_{2}}{2 i \omega} e^{i \omega x} – \frac{C_{1}}{2 i \omega} e^{-i \omega x} \notag\] ここで新しい任意定数を \[C_{+} \coloneqq \frac{C_{2}}{2 i \omega} , \quad C_{-} \coloneqq – \frac{C_{1}}{2 i \omega} \notag\] と定義することで \[y = C_{+} e^{i \omega x } + C_{-} e^{-i \omega x} \label{shobbkai}\] が得られる. この式\eqref{shobbkai}は微分方程式\eqref{shobbekkai}を満たし, かつ, \( 2 \) 個の任意定数を含んだ一般解となっている.
単振動型の微分方程式の導出2
ここからは, 基本解やロンスキアンといった微分方程式の知識で裏付けを行いながら単振動型の微分方程式の一般解の導出を行う. (以下の議論をスムーズに理解するために2階線形同次微分方程式の解の構造について復習することをおすすめする.)
単振動型の微分方程式 \[\dv[2]{y}{x} + \omega^{2} y = 0 \qq{ \( \omega \) は正の定数} \label{shost}\] の一般解を知るために, まずはこの微分方程式を満たし, かつ, 互いに1次独立な基本解を探そう.
単振動型の微分方程式の特徴は \[\dv[2]{y}{x} = – \omega^{2} y \notag\] と書くことで見通しが良くなる. これは \( y \) の符号と第2次導関数 \( \dv[2]{y}{x} \) の符号が反転していることを意味している.
この性質に関して,
微分操作を2回繰り返すと符号が反転する関数として, 三角関数 \( \sin{x} \) , \( \cos{x} \) を思い浮かべる. \[\begin{aligned} & \dv[2]{}{x} \sin{x} = \dv{x} \cos{x} = – \sin{x} \notag \\ & \dv[2]{}{x} \cos{x} = \dv{x} \qty( – \sin{x} ) = – \cos{x} \notag \end{aligned}\]
2回と符号が反転するというキーワードから, 虚数単位 \( i \) を思い浮かべ, \[\dv[2]{y}{x} = – \omega^{2} y = \qty( i \omega )^{2} y \notag\] と解釈する.
などは自然な発想と言える. そして, 一つ目の発想から, 基本解の候補として \[y_{1} = \sin{\qty( \omega x ) } , \quad y_{2} = \cos{\qty( \omega x ) } \notag\] 二つ目の発想から, 次の指数関数 \[y_{1} = e^{i \omega x } , \quad y_{2} = e^{-i \omega x } \notag\] を思い浮かべることができる.
三角関数を基本解と捉える場合
単振動型の微分方程式 \[\dv[2]{y}{x} + \omega^{2} y = 0 \qq{ \( \omega \) は正の定数} \label{shos}\] の基本解の候補が三角関数 \[y_{1} = \sin{\qty( \omega x ) } , \quad y_{2} = \cos{\qty( \omega x ) } \notag\] であるとして話を進めてみよう.
まずは \( y_{1} \) , \( y_{2} \) が単振動型の微分方程式\eqref{shos}を満たすかを確認しておく. \[\begin{aligned} \dv[2]{y_{1}}{x} + \omega^{2} y_{1} &= \dv[2]{}{x}\left\{\sin{\qty( \omega x )} \right\} + \omega^{2} \sin{\qty( \omega x )} \notag \\ &= – \omega^{2} \sin{\qty( \omega x )} + \omega^{2} \sin{\qty( \omega x )} \notag \\ &=0 \quad . \notag \end{aligned}\] \[\begin{aligned} \dv[2]{y_{2}}{x} + \omega^{2} y_{2} &= \dv[2]{}{x}\left\{\cos{\qty( \omega x )} \right\} + \omega^{2} \cos{\qty( \omega x )} \notag \\ &= – \omega^{2} \cos{\qty( \omega x )} + \omega^{2} \cos{\qty( \omega x )} \notag \\ &=0 \quad . \notag \end{aligned}\] 以上より, \( y_{1} \) , \( y_{2} \) は単振動型の微分方程式\eqref{shos}を満たす解となっている.
つづいては, この二つの解が互いに1次独立な基本解かどうかが問題となるので, ロンスキアン \[W(y_{1}, y_{2}) \coloneqq y_{1}\dv{y_{2}}{x} – y_{2}\dv{y_{1}}{x} \notag\] を計算しておくと, \[\begin{aligned} W(y_{1}, y_{2}) &= y_{1}\dv{y_{2}}{x} – y_{2}\dv{y_{1}}{x} \notag \\ &= \sin{\qty( \omega x )} \cdot \left\{ – \sin{\qty( \omega x )} \right\} – \cos{\qty( \omega x )} \cdot \left\{\cos{\qty( \omega x )} \right\} \notag \\ &= – 1 \notag \\ \therefore \ W(y_{1}, y_{2}) & \neq 0 \notag \end{aligned}\] となり, 2階線形同次微分方程式\eqref{shos}の解 \( y_{1} \) と \( y_{2} \) のロンスキアンが恒等的にゼロでないので, \( y_{1} \) と \( y_{2} \) は式\eqref{shos}の基本解であることがわかる.
2階線形同次微分方程式の一般解は基本解の1次結合で表すことができるので, 単振動型の微分方程式 \[\dv[2]{y}{x} + \omega^{2} y = 0 \qq{ \( \omega \) は正の定数} \notag\] の一般解として, \[\begin{aligned} y &= C_{1} y_{1} + C_{2} y_{2} \notag \\ &= C_{1} \sin{\qty( \omega x ) } + C_{2} \cos{\qty( \omega x ) } \notag \end{aligned}\] が得られることがわかる. ここで, \( C_{1} \) , \( C_{2} \) は初期条件により定まる任意定数である.
指数関数を基本解と捉える場合
単振動型の微分方程式 \[\dv[2]{y}{x} + \omega^{2} y = 0 \qq{ \( \omega \) は正の定数} \label{shoe}\] の基本解の候補が指数関数 \[y_{1} = e^{i \omega x } , \quad y_{2} = e^{-i \omega x } \notag\] であるとして話を進めてみよう.
まずは \( y_{1} \) , \( y_{2} \) が単振動型の微分方程式\eqref{shoe}を満たすことを確認しておこう. \[\begin{aligned} \dv[2]{y_{1}}{x} + \omega^{2} y_{1} &= \dv[2]{}{x}\left\{e^{i \omega x } \right\} + \omega^{2} e^{i \omega x } \notag \\ &= \qty( i\omega )^{2} e^{i \omega x } + \omega^{2} e^{i \omega x } \notag \\ &=0 \quad . \notag \end{aligned}\] \[\begin{aligned} \dv[2]{y_{2}}{x} + \omega^{2} y_{2} &= \dv[2]{}{x}\left\{e^{-i \omega x } \right\} + \omega^{2} e^{-i \omega x } \notag \\ &= \qty( -i\omega )^{2} e^{-i \omega x } + \omega^{2} e^{-i \omega x } \notag \\ &=0 \quad . \notag \end{aligned}\] 以上より, \( y_{1} \) , \( y_{2} \) は単振動型の微分方程式\eqref{shos}を満たす解となっている.
つづいては, この二つの解が互いに1次独立な基本解かどうかが問題となるので, ロンスキアン \[W(y_{1}, y_{2}) \coloneqq y_{1}\dv{y_{2}}{x} – y_{2}\dv{y_{1}}{x} \notag\] を計算しておくと, \[\begin{aligned} W(y_{1}, y_{2}) &= y_{1}\dv{y_{2}}{x} – y_{2}\dv{y_{1}}{x} \notag \\ &= e^{i \omega x } \cdot \left\{- i \omega e^{-i \omega x } \right\} – e^{-i \omega x } \cdot \left\{i\omega e^{i \omega x } \right\} \notag \\ &= – 2 i \omega \notag \\ \therefore \ W(y_{1}, y_{2}) & \neq 0 \notag \end{aligned}\] となり, 2階線形同次微分方程式\eqref{shoe}の解 \( y_{1} \) と \( y_{2} \) のロンスキアンが恒等的にゼロでないので, \( y_{1} \) と \( y_{2} \) は式\eqref{shoe}の基本解であることがわかる.
2階線形同次微分方程式の一般解は基本解の1次結合で表すことができるので, 単振動型の微分方程式 \[\dv[2]{y}{x} + \omega^{2} y = 0 \qq{ \( \omega \) は正の定数} \notag\] の一般解として, \[\begin{aligned} y &= C_{+} y_{1} + C_{+} y_{2} \notag \\ &= C_{-} e^{i \omega x } + C_{-} e^{-i \omega x } \notag \end{aligned}\] が得られることがわかる. ここで, \( C_{1} \) , \( C_{2} \) は初期条件により定まる任意定数である.
結局, 単振動型の微分方程式 \[\dv[2]{y}{x} + \omega^{2} y = 0 \qq{ \( \omega \) は正の定数} \notag \] の一般解として, \[\begin{aligned} y &= C_{1} \sin{\qty( \omega x ) } + C_{2} \cos{\qty( \omega x ) } \qq{ \( C_{1}, C_{2} \) は任意定数} \notag \\ y &= A \sin{\qty( \omega x + \alpha ) } \qq{ \( A, \alpha \) は任意定数} \notag \\ y &= C_{-} e^{i \omega x } + C_{-} e^{-i \omega x } \qq{ \( C_{+}, C_{-} \) は任意定数} )\notag \end{aligned}\] などが得られたが, これらは見かけが異なるだけで, 初期条件を与えて任意定数を固定すれば全て完全に等しい式の式変形となっている.
物理を学ぶにあたってはこの微分方程式には十分に習熟し, 常識としておきたい.