変数分離形

置換積分を用いた解法

変数分離形の微分方程式 \[\dv{y}{x} = P(x) Q(y) \label{hensu1}\] について考える.

形式的な式変形による解法

変数分離形の微分方程式 \[\dv{y}{x} = P(x) Q(y) \label{hensu2}\] において, 物理屋がよく用いる形式的な解法について紹介しておこう. それは, \( \dv{y}{x} \) を形式的な分数とみなすものである.

\( \dv{y}{x} \) を \( \dd{y} \div \dd{x} \) とみなせば, 微分方程式\eqref{hensu2}は形式的に \[\frac{1}{Q(y)} \dd{y} = P(x) \dd{x} \notag\] と式変形でき, この両辺をそれぞれ積分することで, \[\int \frac{1}{Q(y)} \dd{y} = \int P(x) \dd{x} + C \notag\] となり, 置換積分を用いた場合と同じ結論を手っ取り早く得ることができる.

変数分離形の微分方程式の具体例

例えば, 次の微分方程式の解について考えてみよう. \[\dv{y}{x} = xy \quad . \label{hensugutairei1}\] これは, 微分方程式\eqref{hensu1}において, \( P(x)=x \) , \( Q(y)=y \) としたものであり, 変数分離形の微分方程式の具体例といえる.

上記の微分方程式を見た瞬間に \( y=0 \) という定数関数が解の一つであることはわかる.

\( y\neq 0 \) の場合には, \[\begin{aligned} & \dv{y}{x} = xy \notag \\ \to \ & \frac{1}{y} \dv{y}{x} = x \notag \\ \to \ & \int \frac{1}{y} \dd{y} = \int x \dd{x} \notag \\ \to \ & \log{\abs{y }} = \frac{1}{2}x^{2} + C_{1} \qq{ \( C \) は任意定数} \notag \\ \to \ & \abs{y } = e^{\frac{1}{2}x^{2} + C_{1}} \notag \\ \to \ & y = \pm e^{C_{1}} e^{\frac{1}{2}x^{2}} \notag \end{aligned}\] ここで, \( \pm e^{C_{1}} \) というのは単なる定数であるので, あたらめて定数を \( C \) と置き換えると, \[y = C e^{\frac{1}{2}x^{2}} \label{hensugutaikai1}\] が得られ, \( y=0 \) という定数関数は解(式\eqref{hensugutaikai1})において \( C=0 \) とした特殊解であることがわかる^[2]定数 \( C=\pm e^{C_{1}} \) がゼロであるとは, \[\lim_{C_{1} \to – \infty} \left\{\pm e^{C_{1}} \right\} = 0 \notag \] … Continue reading.

以上より, 微分方程式\eqref{hensugutairei1}の一般解は任意定数を一つ含んだ式\eqref{hensugutaikai1}で与えられることがわかる.

実際, 式\eqref{hensugutaikai1}を \( x \) で微分すると, \[\begin{aligned} \dv{y}{x} &= \dv{x} \left\{C e^{\frac{1}{2} x^{2} } \right\} \notag \\ &= C \dv{x} \qty( \frac{1}{2} x^{2} ) \left\{e^{\frac{1}{2} x^{2} } \right\} \notag \\ &= x C e^{\frac{1}{2} x^{2} } \notag \\ \therefore \ \dv{y}{x} &= x y \notag \end{aligned}\] となり, 微分方程式\eqref{hensugutairei1}が得られることが確認できる.