定数係数1階線形微分方程式

1階線形(非同次)微分方程式 \[\dv{y}{x} + P(x) y = Q(x) \notag\] のうち, 定数 \( a \) , \( b \) を用いて \[\dv{y}{x} + a y = b \notag\] と書けるものを, 定数係数1階線形微分方程式という. この一般解について考えよう.

物理でも頻出のこの微分方程式は \[\dv{y}{x} = – a \qty( y – \frac{b}{a} ) \label{teisu1kai1}\] と書き換えることができるので, 変数分離形の微分方程式であることがわかる^[1]変数分離形の方程式とは, 微分方程式が \[\dv{y}{x} = P(x) Q(y) \notag\] の形にかけるものをいい, 確立された計算手法が存在する..

まず, 式\eqref{teisu1kai1}において, \[\qty( y – \frac{b}{a} ) = 0 \notag\] のとき, すなわち, \( y \) が \[y = \frac{b}{a} \label{teisu1kai1kai1}\] という定数関数のときには \( y^{\prime}=0 \) となるので, 式\eqref{teisu1kai1kai1}は微分方程式\eqref{teisu1kai1}の解の一つである.

次に, \[\qty( y – \frac{b}{a} ) \neq 0 \notag\] のとき, 両辺を \( \qty( y – \frac{b}{a} ) \) でわると, \[\frac{1}{\qty( y – \frac{b}{a} )}\dv{y}{x} = – a \notag\] であり, 両辺を \( x \) で積分すると, \[\begin{aligned} & \frac{1}{\qty( y – \frac{b}{a} )}\dv{y}{x} = – a \notag \\ \to \ & \int \frac{1}{\qty( y – \frac{b}{a} )}\dv{y}{x} \dd{x} = – \int a \dd{x} \notag \\ \to \ & \int \frac{1}{\qty( y – \frac{b}{a} )} \dd{y} = – \int a \dd{x} \notag \\ \to \ & \log_{e}{\left\{\abs{y – \frac{b}{a} }\right\}} = – ax + C_{1} \qq{ \( C_{1} \) は任意定数} \notag \\ \to \ & \abs{y – \frac{b}{a} } = e^{\qty( – ax + C_{1} )} \notag \\ \to \ & y – \frac{b}{a} = \pm e^{C_{1} } e^{- ax } \notag \\ \to \ & y = \pm e^{C_{1} } e^{- ax } + \frac{b}{a} \notag \end{aligned}\] ここで, \( \pm e^{C_{1} } \) をあらためて定数 \( C \) とおくと, \[y = C e^{- ax } + \frac{b}{a} \label{teisu1kai1kai2}\] が得られる.

以上より, 定数係数1階線形微分方程式 \[y^{\prime} + a y = b \notag\] の解として, 式\eqref{teisu1kai1kai1}と式\eqref{teisu1kai1kai2}がえられたが, 式\eqref{teisu1kai1kai1}は式\eqref{teisu1kai1kai2}の特別な場合( \( C=0 \) のとき^[2]定数 \( C=\pm e^{C_{1}} \) がゼロであるとは, \[\lim_{C_{1} \to – \infty} \left\{\pm e^{C_{1}} \right\} = 0 \notag \] という極限を意味していることに注意してほしい.)の値とみなすことができるので, 最終的にはこれらをまとめてあらわした \[y = C e^{- ax } + \frac{b}{a} \notag\] が一般解であることがわかる.