\( y=y(x) \) についての微分方程式が, \( x \) のみの関数 \( P(x) \) , \( Q(x) \) , \( R(x) \) をもちいて, \[y^{\prime \prime} + P(x) y^{\prime} + Q(x) y = R(x) \notag\] と書けるものを2階線形(非同次)微分方程式という.
ここでは2階線形非同次微分方程式の同伴方程式である次の2階線形同次微分方程式 \[y^{\prime \prime} + P(x) y^{\prime} + Q(x) y = 0 \notag\] の一般解をヒントに2階線形非同次微分方程式の解の構造を議論しよう. すぐにわかるようにこの構造は2階線形同次微分方程式の一般解の構造がわかっているとあっけないものである.
2階線形同次微分方程式の一般解の復習
2階線形同次微分方程式 \[y^{\prime \prime} + P(x) y^{\prime} + Q(x) y = 0 \notag \] の一般解は, ロンスキアン \[W(y_{1}, y_{2}) \coloneqq y_{1} y_{2}^{\prime} – y_{2} y_{1}^{\prime} \notag \] がゼロでないような2階線形同次微分方程式の基本解 \( y_{1} \) , \( y_{2} \) の1次結合 \[y = C_{1} y_{1} + C_{2} y_{2} \qq{ \( C_{1}, C_{2} \) は任意定数} \notag \] であらわされるのであった.
詳しくは2階線形同次微分方程式の解の構造を参照してほしい.
2階線形非同次微分方程式の解の構造
2階線形非同次微分方程式 \[y^{\prime \prime} + P(x) y^{\prime} + Q(x) y = R(x) \label{nikaisenkeihidouji}\] を満たす特殊解が \( y=Y \) であったとしよう. このとき, \[Y^{\prime \prime} + P(x) Y^{\prime} + Q(x) Y = R(x) \label{nikaisenkeihidoujisp1}\] が成立するので, 式\eqref{nikaisenkeihidouji}と式\eqref{nikaisenkeihidoujisp1}の辺々を引くと, \[\qty( y^{\prime \prime} – Y^{\prime \prime} ) + P(x) \qty( y^{\prime} – Y^{\prime} ) + Q(x) \qty( y – Y ) = 0 \label{nikaisenkeihidoujisp2}\] が得られる. \( \qty( y – Y ) \) についての微分方程式\eqref{nikaisenkeihidoujisp2}の一般解は基本解 \( y_{1} \) , \( y_{2} \) を用いて, \[y – Y = C_{1} y_{1} + C_{2} y_{2} \qq{ \( C_{1}, C_{2} \) は任意定数}\] と表すことができるので,
2階線形非同次微分方程式\eqref{nikaisenkeihidouji}の一般解は \[y = C_{1} y_{1} + C_{2} y_{2} + Y \qq{ \( C_{1}, C_{2} \) は任意定数} \] と書くことができ, 線形非同次微分方程式の一般解は非同次方程式の特殊解と同伴方程式の一般解の和となる.
このイメージは, 2階線形同次方程式の一般解がある平面に対応する構造であったことを思い出すと, 同次方程式の作る平面から \( Y \) だけずれた平面が非同次方程式の一般解が作る平面に対応しているとして理解できる.
