\( y=y(x) \) についての微分方程式が, \( x \) のみの関数 \( P(x) \) , \( Q(x) \) , \( R(x) \) をもちいて, \[y^{\prime \prime} + P(x) y^{\prime} + Q(x) y = R(x) \notag\] と書けるものを2階線形(非同次)微分方程式という.
2階線形微分方程式は1階線形微分方程式のときのような解の公式は知られておらず, 問題毎に考えなければならない.
しかし, 微分方程式の解が満たすべきいくつかの性質については事前に知ることができるので, それらについて議論する.
解の存在と一意性
証明は行わないが, 線形微分方程式の解に関する重要な定理を示しておく.
2階線形微分方程式 \[y^{\prime \prime} + P(x) y^{\prime} + Q(x) y = R(x) \notag\] において, \( P(x) \) , \( Q(x) \) , \( R(x) \) がある区間内で連続関数であるとする. この区間内のある一点, \( x=x_{0} \) における初期条件を与え, \( y(x_{0}) \) , \( y^{\prime}(x_{0}) \) , \( y^{\prime \prime}(x_{0}) \) の値を固定すると, 微分方程式の解は区間内でただ一つだけ必ず存在することが知られている.
この定理は線形微分方程式の解の存在, さらにその一意性を保証するものであり, より一般に, \( n \) 階線形微分方程式でも成立することが示されている.
2階線形同次微分方程式の解の線形性
2階線形同次微分方程式 \[y^{\prime \prime} + P(x) y^{\prime} + Q(x) y = 0 \label{nikaisenkeisei}\] を満たすような解として \( y_{1} \) , \( y_{2} \) が得られたしよう. すなわち, \[\begin{cases} y_{1}^{\prime \prime} + P(x) y_{1}^{\prime} + Q(x) y_{1} = 0 \\ y_{2}^{\prime \prime} + P(x) y_{2}^{\prime} + Q(x) y_{2} = 0 \end{cases} \notag\] が成り立つとする. このとき, \( C_{1} \times y_{1} \) と \( C_{2} \times y_{2} \) の1次結合で表された量 \[y_{3} = C_{1} y_{1} + C_{2} y_{2} \qq{ \( C_{1}, C_{2} \) は定数} \notag\] も2階線形同次微分方程式の解となることを示そう.
証明は容易で, \( y_{3} \) を式\eqref{nikaisenkeisei}に代入すると, \[\begin{aligned} & y_{3}^{\prime \prime} + P(x) y_{3}^{\prime} + Q(x) y_{3} \notag \\ & = \qty( C_{1}y_{1}^{\prime \prime} + C_{2}y_{2}^{\prime \prime} ) + P(x) \qty( C_{1}y_{1}^{\prime} + C_{2}y_{2}^{\prime} ) + Q(x) \qty( C_{1}y_{1} + C_{2}y_{2} ) \notag \\ & = C_{1} \left\{y_{1}^{\prime \prime} + P(x) y_{1}^{\prime} + Q(x) y_{1} \right\} + C_{2} \left\{y_{2}^{\prime \prime} + P(x) y_{2}^{\prime} + Q(x) y_{2} \right\} \notag \\ & = 0 \notag \end{aligned}\] が成立するので, \( y_{3}=C_{1} y_{1} + C_{2} y_{2} \) もまた2階線形同次微分方程式の解となっていることがわかる.
1次独立と1次従属
ある二つの関数 \( y_{1} \) と \( y_{2} \) の関係性を表す用語として, 1次独立および1次従属というものがある. 以下では二つの関数について1次独立と1次従属とがどのように定義されるのかを説明する.
なお, これらの定義は \( n \) 個の関数についても素直に拡張することができる.
1次独立
二つの関数 \( y_{1} \) と \( y_{2} \) が比例関係になく, \[C_{1} y_{1} + C_{2} y_{2} = 0 \notag\] が恒等的に満たす条件が \( C_{1} = C_{2} = 0 \) に限られるとき, \( y_{1} \) と \( y_{2} \) は1次独立であるという.
1次従属
二つの関数 \( y_{1} \) と \( y_{2} \) が比例関係にあり, \[C_{1} y_{1} + C_{2} y_{2} = 0 \notag\] を恒等的に満たす条件が \( C_{1} = C_{2} = 0 \) 以外に存在するとき, \( y_{1} \) と \( y_{2} \) は1次従属であるという. 簡単にいえば, 1次独立でないものを1次従属という.
1次独立な関数の例
1次独立な二つの関数の組 \( \left\{y_{1} , y_{2} \right\} \) は無数に存在するが, いくつかの例を挙げておこう. \[\left\{y_{1} , y_{2} \right\} = \begin{cases} \left\{x^{m}, x^{n} \right\} \quad \qty( m \neq n ) \\ \left\{\sin{x}, \cos{x} \right\} \\ \left\{e^{x}, e^{-x} \right\} \\ \left\{e^{\alpha_{1}x}, e^{\alpha_{2}x} \right\} \quad \qty( \alpha_{1} \neq \alpha_{2} ) \\ \left\{x^{m} e^{\alpha x}, x^{n}e^{\alpha x} \right\} \qq{ \( \alpha \) は定数, \( m \neq n \) } \end{cases} \notag\]
2階線形同次微分方程式の解の構造
これまでに, 2階線形同次微分方程式の線形性や, 二つの関数の1次独立について議論を行なってきた. これらの性質が平面ベクトルの性質と似通っていると気づいた高校生諸君がいたとしたら大変するどいと言う他なかろう[1]線形代数をかじった大学生が読者であったのであれば, 気づかなくてはいけなかった..
実際, 以下では2階線形同次微分方程式の解と平面ベクトルとが同じ構造を持つことを議論する.
まず, 二つの(ゼロベクトルでない)平面ベクトル \( \vb*{a}_{1} \) , \( \vb*{a}_{2} \) の1次結合 \( \qty( C_{1} \vb*{a}_{1} +C_{2} \vb*{a}_{2} ) \) もまた平面ベクトルとなることはよいであろう.
一方,2階線形同次微分方程式の解の線形性とは, 2階線形同次微分方程式の解 \( y_{1} \) , \( y_{2} \) の1次結合 \( \qty( C_{1}y_{1}+C_{2}y_{2} ) \) もまた2階線形同次微分方程式の解となるということであった.
上記の文章を, 2階線形同次微分方程式の解を平面ベクトルに, \( y_{1} \) , \( y_{2} \) を \( \vb*{a}_{1} \) , \( \vb*{a}_{2} \) に読み換えれば, (関数とベクトルという点を除いては)全く同じ主張であり, 2階線形同次微分方程式の解は平面ベクトルと同じ構造を持っていることがわかる[2]このことを, 2階線形同次微分方程式の解全体(解空間)はベクトル空間である, などという. … Continue reading.
また, 二つの平面ベクトル \( \vb*{a}_{1} \) , \( \vb*{a}_{2} \) について \[C_{1} \vb*{a}_{1} + C_{2} \vb*{a}_{2} = \vb*{0} \notag\] を恒等的に満たす条件が \( C_{1}=C_{2}=0 \) に限られるとき, 二つのベクトル \( \vb*{a}_{1} \) , \( \vb*{a}_{2} \) は1次独立であるという. そして, 平面ベクトルの場合, 二つのベクトルが1次独立であることとは二つのベクトルが平行でないことは同値関係にある. また, 1次独立な[平行でない]二つの平面ベクトル \( \vb*{a}_{1} \) , \( \vb*{a}_{2} \) を用いれば, すなわち, \( C_{1}\vb*{a}_{1}+C_{2}\vb*{a}_{2} \) の \( C_{1} \) と \( C_{2} \) を適切に選ぶことで2次元平面上のどの点も指定できることを知っているであろう.
1次独立なベクトルの例
1次独立な二つの平面ベクトルの組 \( \left\{\vb*{a}_{1} , \vb*{a}_{2} \right\} \) は無数に存在するが, いくつかの例を挙げておこう. \[\left\{\vb*{a}_{1} , \vb*{a}_{2} \right\} = \begin{cases} \left\{\qty( 1, 0 ), \qty( 0, 1 ) \right\} \\ \left\{\qty( 1, 0 ), \qty( 1, 1 ) \right\} \\ \left\{\qty( \cos{\theta} , \sin{\theta} ), \qty( – \sin{\theta} , \cos{\theta} ) \right\} \end{cases} \notag\]
このことを平面ベクトルと同じ構造を持っている2階線形同次微分方程式の解に適用しよう. すると, 1次独立な二つの2階線形同次微分方程式の解 \( y_{1} \) , \( y_{2} \) を用いれば, すなわち, \( C_{1} y_{1}+C_{2} y_{2} \) の \( C_{1} \) と \( C_{2} \) を適切に選ぶことで2階線形同次微分方程式のどの解も指定できることがわかる. このような, 2階線形同次微分方程式の1次独立な解 \( y_{1} \) , \( y_{2} \) を基本解という.
結局, 1次独立な2階線形同次微分方程式の基本解 \( y_{1} \) , \( y_{2} \) を見つけることができれば, 2個の任意定数 \( C_{1} \) , \( C_{2} \) を持った一般解は \[y = C_{1} y_{1} + C_{2} y_{2}\] で与えられることがわかる. また, \( y \) に対してある点 \( x=x_{0} \) での初期条件を与えることで, \( y(x_{0}) \) , \( y^{\prime}(x_{0}) \) を確定させれば, 解の一意性により \( C_{1} \) と \( C_{2} \) は一意的に定まることになる.
ロンスキアン
ある二つの関数 \( y_{1} \) と \( y_{2} \) が2階線形同次微分方程式の1次独立な基本解であるかどうかを容易に判定できる量として, ロンスキアンと呼ばれる量がある.
二つの関数 \( y_{1} \) と \( y_{2} \) のロンスキアン \( W(y_{1}, y_{2}) \) とは, \[W \coloneqq y_{1} y_{2}^{\prime} – y_{2} y_{1}^{\prime}\] で定義される量である[3]ロンスキアンはロンスキー行列式とも呼ばれる. 行列についての知識がある人はロンスキアンが次の行列式で定義されていると理解できるであろう. … Continue reading.
2階線形同次微分方程式とロンスキアンとの間には,関数 \( y_{1} \) , \( y_{2} \) が2階線形同次微分方程式の解であるとき, \( y_{1} \) , \( y_{2} \) が1次独立な基本解であることはロンスキアン \( W(y_{1}, y_{2}) \) がゼロでないことの必要十分条件である.を示すことができる.
以下では, 二つの関数 \( y_{1} \) と \( y_{2} \) が2階線形同次微分方程式 \[y^{\prime \prime} + P(x) y^{\prime} + Q(x) y = 0 \notag\] の解であるとする.
ロンスキアンの性質
関数 \( y_{1} \) と \( y_{2} \) について, \[\begin{cases} y_{1}^{\prime \prime} = – P(x) y_{1}^{\prime} – Q(x) y_{1} \\ y_{2}^{\prime \prime} = – P(x) y_{2}^{\prime} – Q(x) y_{2} \end{cases}\] が成立することに注意すると, ロンスキアン \[W(y_{1}, y_{2}) = y_{1} y_{2}^{\prime} – y_{2} y_{1}^{\prime}\] の導関数は \[\begin{aligned} \dv{x} W(y_{1}, y_{2}) &= \dv{x} \qty( y_{1} y_{2}^{\prime} – y_{2} y_{1}^{\prime} ) \notag \\ &= y_{1}^{\prime} y_{2}^{\prime} + y_{1} y_{2}^{\prime \prime} – y_{2}^{\prime} y_{1}^{\prime} – y_{2} y_{1}^{\prime \prime} \notag \\ &= y_{1} y_{2}^{\prime \prime} – y_{2} y_{1}^{\prime \prime} \notag \\ &= y_{1} \left\{- P(x) y_{2}^{\prime} – Q(x) y_{2} \right\} – y_{2} \left\{- P(x) y_{1}^{\prime} – Q(x) y_{1} \right\} \notag \\ &= – P(x) W(y_{1}, y_{2}) \end{aligned}\] であるので, ロンスキアン \( W(y_{1},y_{2}) \) は1階線形微分方程式 \[\dv{y}{x} + P(x) y = 0 \notag\] の解 \( y=W(y_{1}, y_{2}) \) ということになる.
1階線形微分方程式 \[y^{\prime} + P(x) y = Q(x) \notag\] の一般解は任意定数 \( C \) を用いて, \[y = e^{ – \int P(x) \dd{x} } \left\{\int \qty( Q(x) e^{\int P(x) \dd{x} } ) \dd{x} + C\right\} \notag\] で書けることを思い出すと, \[W(y_{1}, y_{2}) = C e^{ – \int P(x) \dd{x} }\] と書くことができる. \( e^{ – \int P(x) \dd{x} } \neq 0 \) より, 区間内のある一点 \( x=x_{0} \) で \( W(y_{1}(x_{0}), y_{2}(x_{0})) \neq 0 \) を満たすのであれば, \( C \neq 0 \) であり, 区間内のあらゆる点で \( W(y_{1}, y_{2}) \neq 0 \) を満たすことがわかる.
一方, 区間内のある一点 \( x=x_{0} \) で \( W(y_{1}(x_{0}), y_{2}(x_{0})) = 0 \) を満たすのであれば, \( C=0 \) であるので, 区間内のあらゆる点で \( W(y_{1}, y_{2})=0 \) を満たすことがわかる.
したがって, 線形同次微分方程式の解が存在する区間内のある一点 \( x=x_{0} \) のロンスキアンの値 \( W(y_{1}(x_{0}),y_{2}(x_{0})) \) がゼロか非ゼロかは, 区間内全てのロンスキアン \( W(y_{1}(x),y_{2}(x)) \) がゼロか非ゼロかと一致していることになる.
\( y_{1} \) , \( y_{2} \) が1次独立であるならば, \( W(y_{1}, y_{2})\neq0 \) の証明
\( y_{1} \) , \( y_{2} \) が1次独立であるならば, ロンスキアン \( W(y_{1}, y_{2}) \) がゼロでないという定理を証明しよう. この定理を証明するために, 対偶命題 ロンスキアン \( W(y_{1}, y_{2}) \) がゼロならば, \( y_{1} \) , \( y_{2} \) が1次従属であるを証明する.
商の微分法より, \[\begin{aligned} \dv{x} \qty( \frac{y_{2}}{y_{1}} ) &= \frac{y_{2}^{\prime}y_{1} – y_{2}y_{1}^{\prime} }{y_{1}^{2}} \notag \\ &= \frac{W(y_{1}, y_{2}) }{y_{1}^{2}} \notag \end{aligned}\] であり, \( W(y_{1}, y_{2}) \) がゼロならば, 定数 \( C \) を用いて \[\dv{x} \qty( \frac{y_{2}}{y_{1}} ) = 0 \ \iff \ y_{2} = C y_{1} \notag\] が成立することになり, \( y_{1} \) と \( y_{2} \) が比例関係にあるので1次従属であることが示される.
以上より, 命題 ロンスキアン \( W(y_{1}, y_{2}) \) がゼロならば, \( y_{1} \) , \( y_{2} \) が1次従属であるが示されたので, \( y_{1} \) , \( y_{2} \) が1次独立であるならば, ロンスキアン \( W(y_{1}, y_{2}) \) がゼロでないという命題が示されたことになる.
\( W(y_{1}, y_{2})\neq0 \) ならば, \( y_{1} \) , \( y_{2} \) が1次独立であることの証明
ロンスキアン \( W(y_{1}, y_{2}) \) がゼロでないならば, \( y_{1} \) , \( y_{2} \) は1次独立であるという定理を証明する.
次の方程式 \[C_{1} y_{1} + C_{2} y_{2} = 0 \label{Wj1}\] の成立条件について考えよう. この両辺を \( x \) で微分すると, \[C_{1} y_{1}^{\prime} + C_{2} y_{2}^{\prime} = 0 \label{Wj2}\] が得られる.
式\eqref{Wj1}と式\eqref{Wj2}を \( C_{1} \) と \( C_{2} \) についての連立方程式とみなし, \( C_{1} \) と \( C_{2} \) を \( y_{1} \) , \( y_{2} \) , \( y_{1}^{\prime} \) , \( y_{2}^{\prime} \) を用いてあらわそう.
\( C_{1} \) を求めるために式\eqref{Wj1} \( \times y_{2}^{\prime} \) と式\eqref{Wj2} \( \times \qty( – y_{2} ) \) の和を計算し, \( C_{2} \) を求めるために式\eqref{Wj1} \( \times y_{1}^{\prime} \) と式\eqref{Wj2} \( \times \qty( – y_{1} ) \) の和を計算すると, \[\begin{align} & C_{1} W(y_{1}, y_{2}) = 0 \label{Wj1a} \\ & C_{2} W(y_{1}, y_{2}) = 0 \label{Wj1b} \end{align}\] となることがわかる.(各自確認されたし.)
式\eqref{Wj1a}と式\eqref{Wj1b}において, ロンスキアン \( W(y_{1}, y_{2})\neq 0 \) ならば, 式\eqref{Wj1}をみたす \( C_{1} \) , \( C_{2} \) は \( C_{1}=C_{2}=0 \) となるので, \( y_{1} \) と \( y_{2} \) は1次独立であることがわかる.
したがって, 定理ロンスキアン \( W(y_{1}, y_{2}) \) がゼロでないならば, \( y_{1} \) , \( y_{2} \) は1次独立であるが示された.
このことと, 1次独立な \( y_{1} \) と \( y_{2} \) が2階線形同次微分方程式の基本解であることをあわせると, \( y_{1} \) , \( y_{2} \) が2階線形同次微分方程式の基本解であることは, ロンスキアン \( W(y_{1}, y_{2}) \) が非ゼロであることと同値であることがわかる.
脚注
| ⇡1 | 線形代数をかじった大学生が読者であったのであれば, 気づかなくてはいけなかった. |
|---|---|
| ⇡2 | このことを, 2階線形同次微分方程式の解全体(解空間)はベクトル空間である, などという. 本来はベクトル空間の定義を述べるときにはもう少し補足が必要なのだが, ほぼ自明であるのでここでは割愛する. |
| ⇡3 | ロンスキアンはロンスキー行列式とも呼ばれる. 行列についての知識がある人はロンスキアンが次の行列式で定義されていると理解できるであろう. \[W(y_{1}, y_{2}) \coloneqq \begin{vmatrix} y_{1} & y_{2} \\ y_{1}^{\prime} & y_{2}^{\prime} \end{vmatrix} \quad . \notag\] これは後にわかるように, ロンスキアンが方程式 \[\begin{pmatrix} y_{1} & y_{2} \\ y_{1}^{\prime} & y_{2}^{\prime} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} C_{1} \\ C_{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \notag\] が \( C_{1}=C_{2}=0 \) 以外の解を持つかどうかの判定に使われることになる. |