オイラーの微分方程式 | 高校物理の備忘録

2階線形微分方程式のうち, 定数 $a$ , $b$ と $x$ の関数 $R (x)$ を用いて $\begin{matrix} x^{2} y^{''} + a x y^{'} + b y = R (x) \end{matrix}$ と書けるもの, またはこの同伴方程式である $\begin{matrix} x^{2} y^{''} + a x y^{'} + b y = 0 \end{matrix}$ のことを(2階の)オイラーの微分方程式という.

変数係数を持つ2階線形微分方程式の一般的な解法は知られていないが, オイラーの微分方程式は変数変換を行うことで定数係数2階線形微分方程式へと変形できることを議論しよう.
定数係数2階線形同次微分方程式の一般解,
定数係数2階線形非同次微分方程式の一般解

以下では対数関数が頻繁に登場するので, 物理分野で用いられる記法を一つ紹介しておこう. ネイピア数 $e$ を底に持つような対数関数 $\log_{e} x$ のことを $\ln x$ と書くことにする. $\begin{matrix} \ln x : = \log_{e} x . \end{matrix}$

オイラーの微分方程式の変数変換

オイラーの微分方程式 $\begin{matrix} (1) & x^{2} y^{''} + a x y^{'} + b y = R (x) \end{matrix}$ において, $\begin{matrix} x = e^{t} ⟺ t = \ln x \end{matrix}$ という変数変換を行おう. このとき, $y^{'}$ および $y^{''}$ は $\frac{d t}{d x} = \frac{1}{x}$ に注意すると, $\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} y^{'} & = \frac{d y}{d x} = \frac{d t}{d x} \frac{d y}{d t} \\ = \frac{1}{x} \frac{d y}{d t} \\ y^{''} & = \frac{d}{d x} (\frac{1}{x} \frac{d y}{d t}) \\ = \frac{d}{d x} (\frac{1}{x}) \frac{d y}{d t} + \frac{1}{x} \frac{d t}{d x} \frac{d}{d t} (\frac{d y}{d t}) \\ = \frac{1}{x^{2}} (\frac{d^{2} y}{d t^{2}} - \frac{d y}{d t}) \end{aligned} \end{matrix}$ と表すことができるので, 式 $(1)$ は $t$ を独立変数に持つ関数 $y (t)$ の微分方程式 $\begin{matrix} \frac{d^{2} y}{d t^{2}} + (a - 1) \frac{d y}{d t} + b y = R (t) \end{matrix}$ と書き換えることができる.

同次方程式の一般解

同次方程式であるオイラーの微分方程式 $\begin{matrix} (3) & x^{2} y^{''} + a x y^{'} + b y = 0 \end{matrix}$ に対して変数変換 $t = \ln x$ を行なった式 $\begin{matrix} (4) & \frac{d^{2} y}{d t^{2}} + (a - 1) \frac{d y}{d t} + b y = 0 \end{matrix}$ は定数係数2階線形同次微分方程式となっているので, この一般解は機械的に知ることができる. すなわち, 式 $(4)$ に対応する特性方程式 $\begin{matrix} (5) & λ^{2} + (a - 1) λ + b = 0 \end{matrix}$ が(i)二つの異なる実数解 $λ_{1}$ , $λ_{2}$ を持つとき, (ii)二つの異なる虚数解 $λ_{1} = p + i q$ , $λ_{2} = p - i q$ を持つとき, (iii)重解 $λ_{0}$ を持つとき, のそれぞれに応じて基本解が決定される.(定数係数2階線形同次微分方程式の一般解)

二つの異なる実数解 $λ_{1}$ , $λ_{2}$ を持つとき

特性方程式 $(5)$ が二つの異なる実数解 $λ_{1}$ , $λ_{2}$ を持つとき, (変数変換後の)オイラーの微分方程式の基本解の組は ${e^{λ_{1} t}, e^{λ_{2} t}}$ で与えられる. ただし, $\begin{matrix} e^{λ t} = e^{λ \ln x} = {(e^{\log_{e} x})}^{λ} = x^{λ} \end{matrix}$ と書けることに注意すると, 基本解の組は ${x^{λ_{1}}, x^{λ_{2}}}$ と書き換えることができるので, オイラーの微分方程式(式 $(3)$ )の一般解は次式で与えられる. $\begin{matrix} y = C_{1} x^{λ_{1}} + C_{2} x^{λ_{2}} C_{1}, C_{2} は任意定数 . \end{matrix}$

二つの異なる虚数解 $λ_{1} = p + i q$ , $λ_{2} = p - i q$ を持つとき

特性方程式 $(5)$ が二つの異なる虚数解 $λ_{1} = p + i q$ , $λ_{2} = p - i q$ を持つとき, (変数変換後の)オイラーの微分方程式の基本解の組は $\begin{matrix} (6) & \begin{aligned} {e^{p t} \sin (q t), e^{p t} \cos (q t)} \\ = {x^{p} \sin (q \ln x), x^{p} \cos (q \ln x)} \end{aligned} \end{matrix}$ で与えられるので, オイラーの微分方程式(式 $(3)$ )の一般解は次式で与えられる. $\begin{matrix} y = x^{p} {C_{1} \sin (q \ln x) + C_{2} \cos (q \ln x)} C_{1}, C_{2} は任意定数 . \end{matrix}$

重解 $λ_{0}$ を持つとき

特性方程式 $(5)$ が重解 $λ_{0}$ を持つとき, (変数変換後の)オイラーの微分方程式の基本解の組は $\begin{matrix} {e^{λ_{0} t}, t e^{λ_{0} t}} = {x^{λ_{0}}, \ln x e^{λ_{0}}} \end{matrix}$ で与えられるので, オイラーの微分方程式(式 $(3)$ )の一般解は次式で与えられる. $\begin{matrix} y = C_{1} x^{λ_{0}} + C_{2} \ln x x^{λ_{0}} C_{1}, C_{2} は任意定数 . \end{matrix}$

非同次方程式の一般解

非同次方程式であるオイラーの微分方程式 $\begin{matrix} (7) & x^{2} y^{''} + a x y^{'} + b y = R (x) \end{matrix}$ に対して変数変換 $t = \ln x$ を行なった式 $\begin{matrix} (8) & \frac{d^{2} y}{d t^{2}} + (a - 1) \frac{d y}{d t} + b y = R (t) \end{matrix}$ は定数係数2階線形非同次微分方程式となっているので, この一般解は式 $(8)$ の同伴方程式の二つの基本解 $y_{1}$ , $y_{2}$ と式 $(7)$ の特殊解 $Y$ を用いて $\begin{matrix} y = Y + C_{1} y_{1} + C_{2} y_{2} C_{1}, C_{2} は任意定数 \end{matrix}$ で与えられる. または, まったく同値の次式で与えられる.(定数係数2階線形非同次微分方程式の一般解) $\begin{matrix} y = C_{1} y_{1} + C_{2} y_{2} + {- \int \frac{y_{2}}{W (y_{1}, y_{2})} R (x) d x} y_{1} + {\int \frac{y_{1}}{W (y_{1}, y_{2})} R (x) d x} y_{2} . \end{matrix}$

オイラーの微分方程式の変数変換

同次方程式の一般解

二つの異なる実数解 λ1 , λ2 を持つとき

二つの異なる虚数解 λ1=p+iq , λ2=p−iq を持つとき

重解 λ0 を持つとき

非同次方程式の一般解

二つの異なる実数解 $λ_{1}$ , $λ_{2}$ を持つとき

二つの異なる虚数解 $λ_{1} = p + i q$ , $λ_{2} = p - i q$ を持つとき

重解 $λ_{0}$ を持つとき