関数 \( y=y(x) \) についてのリッカチの微分方程式とは, \( x \) の関数である \( P(x) \) , \( Q(x) \) , \( R(x) \) を用いて次のように書くことが出来る微分方程式のことである. \[\dv{y}{x} + P(x)y = Q(x) y^{2} + R(x) \notag \quad .\] このリッカチの微分方程式の一般解は, 四則演算や有限回の微分・積分操作[1]正確には求積法という.によっては得られないことが知られている[2]これだけ単純な方程式でも一般解がスパっと求められないあたりに微分方程式の難しさを感じる..
しかし, 与えられたリッカチの微分方程式を満たすような特殊解が一つでも見つかれば, 単純な変数変換によってベルヌーイの微分方程式 \[\dv{y}{x} + P(x)y = Q(x) y^{n} \quad . \notag\] の形に変換でき, 特殊解をもちいて一般解が構築できることを議論しよう.
リッカチの微分方程式 \[\dv{y}{x} + P(x)y = Q(x) y^{2} + R(x) \label{RicEq}\] を満たす特殊解を \( y=y_{1}(x) \) としよう. つまり, \( y_{1} \) は \[\dv{y_{1}}{x} + P(x)y_{1} = Q(x) y_{1}^{2} + R(x) \label{RicEqTokushu}\] を満たす関数である.
ここで, 特殊解 \( y_{1} \) と新しい関数 \( z \) を用いて \[y = y_{1} + z \label{Ricz}\] という関数を考え, リッカチの微分方程式\eqref{RicEq}に代入すると, \[\begin{aligned} & \dv{x} \qty( y_{1} + z ) + P(x)\qty( y_{1} + z ) = Q(x) \qty( y_{1} + z )^{2} + R(x) \notag \\ &\left\{\dv{y_{1}}{x}+ P(x)y_{1} \right\} + \dv{z}{x} + P(x)z = \left\{Q(x) y_{1}^{2} + R(x) \right\} + 2Q(x)y_{1}z + Q(x) z^{2} \quad . \notag\end{aligned}\] ここで左辺と右辺の \( \left\{\cdots \right\} \) 部は \( y_{1} \) がリッカチの微分方程式\eqref{RicEq}を満たすことからゼロとなり, 結局 \[\begin{aligned} & \dv{z}{x} + P(x)z = 2Q(x)y_{1}z + Q(x) z^{2} \notag \\ \therefore \ &\dv{z}{x} + \left\{P(x) – 2 Q(x) y_{1} \right\} z = Q(x) z^{2} \notag\end{aligned}\] と整理することが出来る. ここで左辺第2項の \( z \) の係数部の変数をまとめて \[p(x) \coloneqq P(x) – 2 Q(x) y_{1}\] と定義すれば, \[\dv{z}{x} + p(x) z = Q(x) z^{2}\] であり, 関数 \( z \) に関して ( \( n=2 \) の)ベルヌーイの微分方程式となっていることがわかる.
したがって, あとは特殊解 \( y_{1} \) とベルヌーイの微分方程式の一般解の公式を用いることでリッカチの微分方程式の一般解を構築することができる.
ここから先は完全におまけの議論である.
ベルヌーイの微分方程式とは, \[\dv{y}{x} + P(x)y = Q(x) y^{n} \quad . \notag\] の形の微分方程式でありこの一般解は \[y^{1-n} = e^{ – \int \qty( 1-n )P(x) \dd{x} } \left\{\int \qty( \qty( 1-n ) Q(x) e^{\int \qty( 1-n )P(x) \dd{x} } ) \dd{x}+ C_{1} \right\} \notag\] で与えられるものであった.(ベルヌーイの微分方程式)
したがって, \( z \) の一般解はベルヌーイの微分方程式の \( n=2 \) のときの解の公式を用いて, \[\begin{aligned} z^{1-2} &= e^{ – \int \qty( 1-2 )p(x) \dd{x} } \left\{\int \qty( \qty( 1-2 ) Q(x) e^{\int \qty( 1-2 )p(x) \dd{x} } ) \dd{x}+ C_{1} \right\} \notag \\ \to \ z^{-1} &= – e^{\int p(x) \dd{x} } \left\{\int \qty( Q(x) e^{ – \int p(x) \dd{x} } ) \dd{x}+ C \right\} \notag\end{aligned}\] ここで \( C \) は \( -C_{1} \) の定数である. この(任意定数を一つ含んだ) \( z \) を式\eqref{Ricz}に代入することでリッカチの微分方程式の一般解 \[\begin{aligned} y &= y_{1} – \qty[ e^{\int p(x) \dd{x} } \left\{\int \qty( Q(x) e^{ – \int p(x) \dd{x} } ) \dd{x}+ C \right\} ]^{-1} \notag \\ &= y_{1} – \qty[ e^{\int \qty( P(x) – 2 Q(x) y_{1} ) \dd{x} } \left\{\int \qty( Q(x) e^{ – \int \qty( P(x) – 2 Q(x) y_{1} ) \dd{x} } ) \dd{x}+ C \right\} ]^{-1} \notag \end{aligned}\] が得られた.