ポアソン分布

ポアソン分布の定義

ポアソン分布とは次式で定義されるような(離散型)確率分布であり, 確率変数 \( X \) が \( X=k \) となる確率 \( P(X=k) \) が定義されるような分布である. \[P (X =k) = \frac{\lambda^k }{k! } \mathrm{e}^{ – \lambda } \label{PoiEq}\quad . \] ここで, 記号 \( \lambda \) はポアソン分布の期待値であり, 期待値が \( \lambda \) のポアソン分布を \( \mathrm{P }\qty( \lambda ) \) と書く.

後に分かるように, １つのパラメタ — 期待値 \( \lambda \) — だけで期待値, 分散, 標準偏差といった統計学的性質が決定されるというのは, ポアソン分布の非常に大きな特徴といえる.

下図には幾つかの \( \lambda \) に対するポアソン分布 \( \mathrm{P}(\lambda) \) を図示しておく. \( \lambda \) の値が小さいうちは左右の非対称性が顕著であるが, \( \lambda \) の値が大きくなっていくと左右の非対称性が小さくなって行く様子が見てとれる^[1]実はこの性質がガウス分布と呼ばれる統計学で最も重要な確率分布の話へと繋がっていくが, それはまた別の機会に取り上げる..

ポアソンの少数の法則

ポアソン分布(式\eqref{PoiEq})は二項分布 \( B(n, p) \) において確率変数の値が \( k \) となる確率 \[P^{\prime}(X=k) = \frac{n ! }{k ! \qty( n – k ) ! }p^{k}q^{n-k } \notag \] において, 期待値 \( \lambda = np \) を一定に保ちつつ, \( n \) を非常に大きく, \( p \) を非常に小さな値と近似することで得ることができる分布である.

まずは二項分布を次のように書き換えておこう. \[\begin{aligned} P^{\prime}( X = k ) &= \frac{n ! }{k ! \qty( n – k ) ! }p^{k}\qty( 1 – p )^{n-k } \\ &= \frac{n\qty( n-1 ) \cdots \qty( n – \qty( k – 1 ) ) p^{k} }{k ! }\qty( 1 – \frac{\lambda}{n} )^{n-k } \\ &= \frac{1}{k !}\cdot 1 \cdot \qty( 1 – \frac{1 }{n } ) \cdots \qty( 1 – \frac{\qty( k – 1 ) }{n } ) n^{k}p^{k} \qty( 1 – \frac{\lambda}{n} )^{n-k } \\ &= \frac{\lambda^{k} }{k! } 1 \cdot \qty( 1 – \frac{1 }{n } ) \cdots \qty( 1 – \frac{\qty( k – 1 ) }{n } ) \frac{\qty( 1 – \frac{\lambda}{n} )^{n } }{\qty( 1 – \frac{\lambda}{n} )^{k} } \end{aligned}\] この \( P^{\prime}(X=k) \) に対して \( \lambda=np \) を固定しつつ, \( n \to \infty \) を適用してみよう. ただし, \[\begin{aligned} & \lim_{n \to \infty} 1 \cdot \qty( 1 – \frac{1 }{n } ) \cdots \qty( 1 – \frac{\qty( k – 1 ) }{n } ) = 1 \\ & \lim_{n \to \infty} \qty( 1 – \frac{\lambda}{n} )^{k} =1 \end{aligned}\] であること, さらにネイピア数の定義 \[e \coloneqq \lim_{x \to \pm \infty} \qty( 1 + \frac{1}{x} )^{x}\notag \] に従うと, \[\begin{aligned} & \lim_{n \to \infty } \qty( 1 – \frac{\lambda}{n} )^{n} =\lim_{n \to \infty } \left\{\qty( 1 – \frac{\lambda}{n} )^{ – \frac{n}{\lambda}} \right\}^{ – \lambda} \\ & \phantom{=} = \lim_{x \to – \infty} \left\{\qty( 1 + \frac{1}{x} )^{x} \right\}^{ – \lambda} \quad \qty( x = – \frac{n}{\lambda} ) \\ & \phantom{=} = e^{ – \lambda} \end{aligned}\] であることを用いると, \[\lim_{n \to \infty } P^{\prime}(X=k) = \frac{\lambda^k}{k!}e^{ – \lambda} \notag \] が得られる.

このような極限において, 二項分布がポアソン分布と一致する定理をポアソンの少数の法則という.

期待値 \( \lambda = np \) の二項分布 \( B(n, p ) \) とポアソン分布 \( \mathrm{P}(\lambda) \) の比較を行おう.

下図には, \( \lambda =3 \) のポアソン分布 \( \mathrm{P}(3) \) の棒グラフと \( \lambda =3 \) を一定に保ったまま, \( n \) を大きく, \( p \) を小さくしていった二項分布 \( B(5, \frac{3}{5} ) \) , \( B(30, \frac{3}{30} ) \) , \( B(5, \frac{3}{100} ) \) を同時に描いた.

\( n = 30 \) の時点でだいぶよく一致しており, \( n =100 \) では二項分布とポアソン分布はほぼ一致しており, ポアソンの少数の法則を実感することができる.

規格化

ポアソン分布 \( P(X=x_{i}) = f(x_{i}) \) はすでに規格化条件の式 \[\sum_{i} f(x_{i}) = 1 \label{pnat}\] を満たしている. ここで \( \sum_{i} \) は確率変数 \( X=x_{i} \) が取り得る全ての値について和をとることを意味している.

ポアソン分布が規格化条件の式\eqref{pnat}を満たしていることは, 二項分布に対する式 \[\sum_{i=1}^{n} f^{\prime}(x_{i}) = \sum_{k=0}^{n} \frac{n ! }{k ! \qty( n – k ) ! } p^{k}\qty( 1-p )^{n-k } \notag \] に対して, \( n \to \infty \) という極限を適用すればわかる. \[\begin{aligned} \sum_{i=1}^{n} f(x_{i}) &= \lim_{n \to \infty } \sum_{i=1}^{n} f^{\prime}(x_{i}) \\ &= \lim_{n \to \infty } \sum_{k=0}^{n} \frac{n ! }{k ! \qty( n – k ) ! } p^{k}\qty( 1-p )^{n-k } \\ &= \lim_{n \to \infty } \qty( p + (1-p) )^{n} \\ &= 1 \quad . \end{aligned}\]

期待値

ポアソン分布の導出にあたり, 二項分布の期待値 \( \lambda = np \) が一定であることを要請していた. したがって, ポアソン分布の期待値は \( \lambda \) に一致している. \[E\qty( X ) = np = \lambda \quad . \]

分散, 標準偏差

ポアソン分布の分散 \( V \) は, 次式で与えられる二項分布の分散 \( V^{\prime} \) \[V^{\prime} = np(1-p) \notag \] に対して, \( \lambda=np=\mathrm{const.} \) , \( n\to\infty \) を適用すれば得られる. \[V\qty( X ) = \lim_{n \to \infty} V^{\prime} = \lambda \quad . \notag \]

標準偏差 \( \sigma \) は分散の平方根で定義されるので, \[\sigma = \sqrt{V} = \sqrt{\lambda} \notag \] となる.

指数関数のマクローリン展開

ポアソン分布の式 \[P (X =k) = \frac{\lambda^k }{k! } \mathrm{e}^{ – \lambda } \notag \] から出発して, ポアソン分布の各性質を証明していこう. これには, 指数関数 \( e^{x} \) をべき級数に書き換えることが出来るという, マクローリン展開を利用する必要がある.

指数関数 \( e^{x} \) はマクローリン展開により次の級数に書き換えることが出来る \[\begin{aligned} e^{x} & = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{k}}{k!} \\ & = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \cdots \quad . \end{aligned}\]

規格化条件の証明

ポアソン分布が規格化条件の式\eqref{pnat}を満たしていることは次のように示すことができる. \[\begin{aligned} &\sum_{k=0}^{\infty}P(X=k) = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{\lambda^{k}}{k!}e^{ – \lambda} \\ &\phantom{=}= \frac{\lambda^{0}}{0!}e^{ – \lambda} + \frac{\lambda^{1}}{1!}e^{ – \lambda} + \frac{\lambda^{2}}{2!}e^{ – \lambda} + \frac{\lambda^{3}}{3!}e^{ – \lambda} + \cdots \\ &\phantom{=}= e^{ – \lambda} \qty( 1 + \lambda + \frac{\lambda^2}{2!} + \frac{\lambda^3}{3!} + \cdots ) \\ &\phantom{=}= e^{ – \lambda} e^{\lambda} \\ &\phantom{=}= 1 \quad . \end{aligned}\]

少し似た手法ではあるが, 覚えやすい証明方法として, 指数関数 \( e^{x} \) のマクローリン展開の両辺に \( e^{ – \lambda} \) を乗じ, \[ \begin{aligned} e^{\lambda} & = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^{k}}{k!} \\ \to \ 1 &= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^{k}}{k!} e^{ – \lambda} \\ \therefore \ 1 &= \sum_{k=0}^{\infty} P(X=k) \quad \qty( \because \ \frac{\lambda^{k}}{k!} e^{ – \lambda} = P(X=k) ) \end{aligned}\] としてもポアソン分布が規格化条件の式\eqref{pnat}を満たしていることを示すことができる.

期待値の導出

ポアソン分布の期待値は, 期待値の定義式および指数関数のマクローリン展開より, 次のように導出することができる. \[\begin{aligned} E(X) &= \sum_{k=0}^{\infty} k P(X=k) \\ &= \sum_{k=0}^{\infty} k \frac{\lambda^{k}}{k!}e^{ – \lambda} \\ &= 0 \cdot \frac{\lambda^{0}}{0!}e^{ – \lambda} + 1 \cdot \frac{\lambda^{1}}{1!}e^{ – \lambda} + 2 \cdot \frac{\lambda^{2}}{2!}e^{ – \lambda} + 3 \cdot \frac{\lambda^{3}}{3!}e^{ – \lambda} + \cdots \\ &= \lambda e^{ – \lambda} \qty( 1 + \lambda + \frac{\lambda^2}{2!} + \frac{\lambda^3}{3!} + \cdots ) \\ &= \lambda e^{ – \lambda} e^{\lambda} \\ & = \lambda \quad . \end{aligned}\]

分散の導出

ポアソン分布の分散を導出するに当たり, 分散の定義式から少し書き換えを行なってみよう. \[\begin{aligned} V\qty( X ) &= E\qty( X^2 ) – \qty( E\qty( X ) )^2 \\ &= E\qty( X(X-1) + X ) – \qty( E\qty( X ) )^2 \\ &= E\qty( X(X-1) ) + E\qty( X ) – \qty( E\qty( X ) )^2 \end{aligned}\] ここで, \( E(X(X-1)) \) について, \[\begin{aligned} &\sum_{k=0}^{\infty} k \qty( k-1 ) \frac{\lambda^{k}}{k!}e^{-k} = \sum_{k=2}^{\infty} k \qty( k-1 ) \frac{\lambda^{k}}{k!}e^{-k} \\ &\phantom{=}= \lambda^2 e^{ – \lambda} \sum_{k=2}^{\infty} \frac{\lambda^{k-2}}{\qty( k-2 )!} \\ &\phantom{=}= \lambda^2 e^{ – \lambda} \qty( 1+ \lambda + \frac{\lambda^2}{2!}+ \cdots ) \\ &\phantom{=}= \lambda^2 e^{ – \lambda} e^{\lambda} \\ &\phantom{=}= \lambda^2 \end{aligned}\] であることを用いると, \[\begin{aligned} V\qty( X ) &= E\qty( X(X-1) ) + E\qty( X ) – \qty( E\qty( X ) )^2 \\ &= \lambda^2 + \lambda – \lambda^2 \\ &= \lambda \quad . \end{aligned}\]