数学公式まとめ

加法定理

三角関数の諸公式は全て加法定理から導くことができる. \[ \sin{\qty( \alpha \pm \beta )} = \sin{\alpha}\cos{\beta} \pm \cos{\alpha}\sin{\beta} \] \[ \cos{\qty( \alpha \pm \beta )} = \cos{\alpha}\cos{\beta} \mp \sin{\alpha}\sin{\beta} \] \[ \tan{\qty( \alpha \pm \beta )} =\frac{\tan{\alpha} \pm \tan{\beta}}{1 \mp \tan{\alpha}\tan{\beta}} \]

以下の公式は全て加法定理から導くことができる^[1]ちなみに, 過去の東大入試で加法定理の証明をする問題が出ました.. 各自一度は証明してみること. 数学公式を瞬時に導ける人になろう. \[ \sin{\qty( – \theta )} = – \sin{\theta } \] \[ \cos{\qty( – \theta )} = \cos{\theta } \] \[ \tan{\qty( – \theta )} = – \tan{\theta } \] \[ \sin{\qty( \theta \pm \frac{\pi}{2} )} = \pm \cos{\theta } \] \[ \cos{\qty( \theta \pm \frac{\pi}{2} )} = \mp \sin{\theta } \] \[ \tan{\qty( \theta \pm \frac{\pi}{2} )} = – \frac{1}{\tan{\theta}} \] \[ \sin{\qty( \theta \pm \pi )} = – \sin{\theta } \] \[ \cos{\qty( \theta \pm \pi )} = – \cos{\theta } \] \[ \tan{\qty( \theta \pm \pi )} = \tan{\theta} \]

倍角の公式

\[ \sin{2\alpha} = 2 \sin{\alpha}\cos{\alpha} \] \[ \cos{2\alpha} = \cos[2]{\alpha} – \sin[2]{\alpha} = 1- 2 \sin[\alpha] = 2\cos[2]{\alpha} – 1 \] \[ \tan{2\alpha} = \frac{2 \tan{\alpha}}{1 – \tan[2]{\theta}} \]

半角の公式

\[ \sin[2]{\qty( \frac{\alpha}{2} )} = \frac{1 – \cos{\alpha}}{2} \] \[ \cos[2]{\qty( \frac{\alpha}{2} )} = \frac{1+\cos{\alpha}}{2} \] \[ \tan[2]{\qty( \frac{\alpha}{2} )} = \frac{1 – \cos{\alpha}}{1+\cos{\alpha}} \]

和積の公式

\[ \sin{A}+\sin{B} = 2\sin{\qty( \frac{A+B}2{} )}\cos{\qty( \frac{A-B}2{} )} \] \[ \sin{A} – \sin{B} = 2\cos{\qty( \frac{A+B}2{} )}\sin{\qty( \frac{A-B}2{} )} \] \[ \cos{A}+\cos{B} = 2\cos{\qty( \frac{A+B}2{} )}\cos{\qty( \frac{A-B}2{} )} \] \[ \cos{A}+\cos{B} = 2\sin{\qty( \frac{A+B}2{} )}\sin{\qty( \frac{A-B}2{} )} \]

三角関数の合成

\[ a \sin{\theta} + b \cos{\theta} = \sqrt{a^2 + b^2}\sin{\qty( \theta + \alpha )} \] ただし, \( \alpha \) は次式を満たす. \[ \sin{\alpha} = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \, \quad \cos{\alpha} = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} \]

指数関数に登場する定義

\[ a^0 = 1 \] \[ a^{-n} = \frac{1}{a^n} \]

指数関数の公式

\[ a^r a^s = a^{r+s} \] \[ \qty( a^r )^s = a^{rs} \] \[ \qty( ab )^r = a^r b^r \]

対数関数に登場する定義

\[ a^p = M \iff p = \log_{a}{M} \iff \log_{a}{a^p} = p \] \[ \log_{a}{a} = 1 , \quad \log_{a}{1}=0 , \quad \log_{a}{\frac{1}{a}} = – 1 \]

対数関数の公式

\[ \log_{a}{MN} = \log_{a}{M} + \log_{a}{N} \] \[ \log_{a}{\frac{M}{N}} = \log_{a}{M} – \log_{a}{N} \] \[ \log_{a}{M^{k}} = k \log_{a}{M} \] \[ \log_{a}{b} = \frac{\log_{c}{b} }{\log_{c}{a} } \] \[ \log_{a}{b} = \frac{1}{\log_{b}{a}} \] \[ \qty( \log_{a}{b} ) \qty( \log_{b}{a} ) = 1 \]

ベクトルの大きさ

ベクトル \( \overrightarrow{a} = \qty( a_1 , a_2 ) \) の大きさは次式で表される. \[ \abs{\overrightarrow{a} } = \sqrt{a_1^2 + a_2^2} \] \( O \qty( 0, 0 ) \) , \( A \qty( a_1, a_2 ) \) , \( B \qty( b_1 , b_2 ) \) の時, \[ \begin{gathered} \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} – \overrightarrow{OA} = \qty( b_1-a_1, b_2-a_2 ) \\ \abs{\overrightarrow{AB} } = \sqrt{\qty( b_1-a_1 )^2 + \qty( b_2-a_2 )^2 } \end{gathered} \]

内積

\( \overrightarrow{a} = \qty( a_1 , a_2 ) \neq \overrightarrow{0} \) , \( \overrightarrow{b} = \qty( b_1 , b_2 ) \neq \overrightarrow{0} \) , ベクトル \( \overrightarrow{a} \) と \( \overrightarrow{a} \) のなす角が \( \theta \) の時, 内積を次式で定義する. \[ \begin{gathered} \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \abs{\overrightarrow{a} } \abs{\overrightarrow{b} } \cos{\theta} \\ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 \end{gathered} \]

ベクトルの平行条件

\[ \overrightarrow{a} \parallel \overrightarrow{b} \quad \iff \quad \overrightarrow{b} = k \overrightarrow{a} \quad \iff \quad a_1 b_2 – a_2 b_1 = 0 \]

ベクトルの垂直条件

\[ \overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b} \iff \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0 \iff a_1 b_1 + a_2 b_2 = 0 \]

関数の極限

関数 \( f(x) \) において \( x \) がある値 \( \alpha \) に限りなく近づくとき時, \( f(x) \) がある一定の値 \( \beta \) に限りなく近づくならば, \( f(x) \) は \( \beta \) に収束すると言い次式のように表す. \[ \lim_{x \to \alpha} f(x) = \beta \]

ネイピア数

\[ \begin{align} e^x &= \lim_{n \to \infty} \qty( 1+ \frac{x}{n} ) \\ &= 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \end{align} \] \[ e = 2.71828\cdots \]

導関数

関数 \( f(x) \) の導関数 \( f^{\prime }(x) \) は次式で定義される. \[ f^{\prime }(x) = \dv{ f(x) }{x} = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h) – f(x)}{h} = \lim_{t \to x}\frac{f(t) – f(x)}{t-x} \] 導関数を求める操作を微分するという.

微分の公式

\( k \) , \( l \) を定数とする. \[ \dv{x}f(x) = f^{\prime }(x) \] \[ \dv{x}\qty( k f(x) + l g(x) ) = \qty( k f^{\prime }(x) + l g^{\prime }(x) ) \] \[ \dv{x}\qty( f(x) g(x) ) = f^{\prime }(x)g(x) + f(x) g^{\prime }(x) \] \[ \dv{x}\qty{ \frac{f(x)}{g(x)} } = \frac{f^{\prime }(x)g(x) – f(x) g^{\prime }(x)}{\qty{ g^{2}(x) }} \] \[ \dv{x}(f(g(x)) )= f^{\prime }(g(x)) g^{\prime }(x) \] \[ \dv{x} x^{n} = nx^{n-1} \] \[ \dv{x} \sin{x} = \cos{x} \] \[ \dv{x} \cos{x} = – \sin{x} \] \[ \dv{x} \tan{x} = \frac{1}{\cos[2]{x}} \] \[ \dv{x} \sin{Ax} = A\cos{x} \] \[ \dv{x} \cos{Ax} = – A\sin{x} \] \[ \dv{x} e^{x} = e^{x} \] \[ \dv{x} e^{Ax} = Ae^{Ax} \] \[ \dv{x} a^{x} = a^x \log_e a \] \[ \dv{x} \log_e{\abs{x }} = \frac{1}{x} \] \[ \dv{x} \log_a{\abs{x }} = \frac{1}{x\log_{e}{a}} \]

近似式

\[ f(a + h) = f(a) + f^{\prime }(a) h \] \[ \qty( 1+ x )^n = a + nx \]

不定積分

\( F^{\prime }(x)=f(x) \) の時, 不定積分を次式で定義する. \[ \int f(x) \dd{x}= F(x) + C \] \( C \) は積分定数である.

積分の公式

\[ \int k f(x)\dd{x}= k \int f(x)\dd{x} \] \[ \int \qty{ k f(x) + l g(x) } \dd{x}= k \int f(x) \dd{x}+ l \int g(x) \dd{x} \] \[ \int x^{n} \dd{x}= \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C \] \[ \int \sin(\theta) \dd{\theta}= – \cos{\theta} + C \] \[ \int \cos(\theta) \dd{\theta}= \sin{\theta} + C \] \[ \int \sin(A\theta) \dd{\theta}= – \frac{1}{A} \cos{\theta} + C \] \[ \int \cos(A\theta) \dd{\theta}= \frac{1}{A} \sin{\theta} + C \] \[ \int e^x \dd{x}= e^x + C \] \[ \int e^{Ax} \dd{x}= \frac{1}{A}e^{Ax} + C \] \[ \int a^{x} \dd{x}= \frac{a^{x}}{\log_{e}{a}} + C \] \[ \int \frac{1}{x} \dd{x}= \log_{e}{\abs{x }} + C \]

置換積分

\[ \int f(x) \dd{x}= \int f(g(t))g^{\prime }(t) \dd{t} \] \[ \int \qty{ f(x) }^{\alpha} g^{\prime }(x) \dd{x}= \frac{\qty{ g(x) }^{\alpha+1}}{\alpha+1} + C \] \[ \int \frac{g^{\prime }(x)}{g(x)} \dd{x}= \log_{e}{\left\| g(x) \right\|} + C \]

部分積分

\[ \int f(x) g^{\prime }(x) \dd{x}= f(x)g(x) – \int f^{\prime }(x)g(x) \dd{x} \]