交換関係・反交換関係の公式

交換関係

物理量またはある演算子 \( A \) , \( B \) に対して, \( \qty[ {\textcolor{gray}\cdot }, {\textcolor{gray}\cdot } ] \) という記号を用いて次のような量を定義する. \[ {{ \qty[ {A} , {B} ] } } \coloneqq AB – BA \quad . \] 記号 \( \qty[ {\textcolor{gray}\cdot } , {\textcolor{gray}\cdot } ] \) を交換子という.

同様に, 物理量またはある演算子 \( A \) , \( B \) に対して, \( \left\{{\textcolor{gray}\cdot } , {\textcolor{gray}\cdot } \right\} \) という記号を用いて次のような量を定義する. \[ {{ \left\{{A} , {B} \right\} } } \coloneqq AB + BA \quad . \] 記号 \( \left\{{\textcolor{gray}\cdot } , {\textcolor{gray}\cdot } \right\} \) を反交換子という.

\( A \) , \( B \) がただの数である場合には, \[ AB = BA \ \iff \ \qty[ A, B ] = 0 \label{ok} \] が成立する. この関係を当たり前のように思う人もいるかもしれないが, 実は一般的な, 広い意味での数について考えるとき, 式\eqref{ok}を満たすような数ばかりとは限らない.

式\eqref{ok}を満たすような \( A \) , \( B \) は可換であると言われる.

高校では積の順序関係で値が変わることがないような(可換な)代数ばかりが扱われている^[1]一時期数学Cの範囲に行列という単元が存在した. 一般に, 行列 \( A \) , \( B \) は可換ではない.が, 一般的には数や演算子は可換であるとは限らない. 外積計算を知っているならば想像しやすいと思うが, 計算結果が積の順序に依存する場合もあるのである.

以下では, \( A, B, C, D, E \) などは互いに可換ではない(非可換)とし, \( \lambda \) (ラムダ)をただの数として扱う.

交換関係・反交換関係の基本性質と代表公式

自分自身との交換関係は \( 0 \) である.

\[ {{ \qty[ {A} , {A} ] } } = 0 \]

交換子の順序の入れ替えは符号をかえる.

\[ {{ \qty[ {A} , {B} ] } } = – {{ \qty[ {B} , {A} ] } } \]

交換子は次式の線形関係を満たす.

\[ {{ \qty[ {A} , {B+C} ] } } = {{ \qty[ {A} , {B} ] } } + {{ \qty[ {A} , {C} ] } } \]

交換子は次式のライプニッツ則を満たす.

\[ {{ \qty[ {A} , {BC} ] } } = {B{\qty[ {A} , {C} ] } } + {{ \qty[ {A} , {B} ] } C } \]

交換子について成り立つ次式はヤコビの恒等式と言われる.

\[ {{ \qty[ {A} , {{ {\left[ {B} , {C} ] } }} \right] } } + {{ \qty[ {B} , {{ {\left[ {C} , {A} ] } }} \right] } } + {{ \qty[ {C} , {{ {\left[ {A} , {B} ] } }} \right] } } = 0 \]

数は交換子を通り抜ける.

\[ {{ \qty[ {\lambda A} , {B} ] } } = \lambda{{ \qty[ {A} , {B} ] } } \]

反交換関係は順序の入れ替えで符号をかえない.

\[ {{ \left\{{A} , {B} \right\} } } = {{ \left\{{B} , {A} \right\} } } \]

交換関係・反交換関係の諸公式

\[ {{ \qty[ {A} , {B} ] } } = – {{ \qty[ {B} , {A} ] } } \notag \] \[ {{ \qty[ {A} , {B+C} ] } } = {{ \qty[ {A} , {B} ] } } + {{ \qty[ {A} , {C} ] } } \notag \] \[ {{ \qty[ {A+B} , {C+D} ] } } = {{ \qty[ {A} , {C} ] } } + {{ \qty[ {A} , {D} ] } } + {{ \qty[ {B} , {C} ] } } + {{ \qty[ {B} , {D} ] } } \notag \] \[ {{ \qty[ {A} , {{ {\left[ {B} , {C} ] } }} \right] } } + {{ \qty[ {B} , {{ {\left[ {C} , {A} ] } }} \right] } } + {{ \qty[ {C} , {{ {\left[ {A} , {B} ] } }} \right] } } = 0 \notag \] \[ {{ \qty[ {A} , {BC} ] } } = B {{ \qty[ {A} , {C} ] } } + {{ \qty[ {A} , {B} ] } }C \notag \] \[ {{ \qty[ {AB} , {C} ] } } = A{{ \qty[ {B} , {C} ] } } + {{ \qty[ {A} , {C} ] } }B \notag \] \[ {{ \qty[ {AB} , {C} ] } } + {{ \qty[ {BC} , {A} ] } } + {{ \qty[ {CA} , {B} ] } } = 0 \notag \] \[ {{ \qty[ {AB} , {CD} ] } } = A{{ \qty[ {B} , {C} ] } }D + AC{{ \qty[ {B} , {D} ] } } + {{ \qty[ {A} , {C} ] } }DB + C {{ \qty[ {A} , {D} ] } }B \notag \] \[ {{ \qty[ {ABC} , {D} ] } } = {{ \qty[ {A} , {D} ] } }BC + A{{ \qty[ {B} , {D} ] } }C + AB{{ \qty[ {C} , {D} ] } } \notag \] \[ {{ \qty[ {ABCD} , {E} ] } } = {{ \qty[ {A} , {E} ] } }BCD + A{{ \qty[ {B} , {E} ] } }CD + AB{{ \qty[ {C} , {E} ] } }D + ABC{{ \qty[ {D} , {E} ] } } \notag \] \[ {{ \qty[ {{ {\left[ {{ {\left[ {A} , {B} ] } }} , {C} \right] } }} , {D} \right] } } + {{ \qty[ {{ {\left[ {{ {\left[ {B} , {C} ] } }} , {D} \right] } }} , {A} \right] } } + {{ \qty[ {{ {\left[ {{ {\left[ {C} , {D} ] } }} , {A} \right] } }} , {B} \right] } } + {{ \qty[ {{ {\left[ {{ {\left[ {D} , {A} ] } }} , {B} \right] } }} , {C} \right] } } = {{ \qty[ {{ {\left[ {A} , {C} ] } }} , {{ {\qty[ {B} , {D} ] } }} \right] } } \notag \] \[ \begin{aligned} {{ \qty[ {A^n} , {B} ] } } &= A^{n-1}{{ \qty[ {A} , {B} ] } } + A^{n-2}{{ \qty[ {A} , {B} ] } }A + A^{n-3}{{ \qty[ {A} , {B} ] } }A^{2} + \cdots \\ & \phantom{{ {\qty[ {A^n} , {B} ] } } } = \sum_{k=1}^{n-1} A^{n-k}{{ \qty[ {A} , {B} ] } }A^{k-1} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} {{ \qty[ {A} , {B^n} ] } } &= B^{n-1}{{ \qty[ {A} , {B} ] } } + B^{n-2}{{ \qty[ {A} , {B} ] } }B + B^{n-3}{{ \qty[ {A} , {B} ] } }B^{2} + \cdots \\ & \phantom{{ {\qty[ {A^n} , {B} ] } } } = \sum_{k=1}^{n-1} B^{n-k}{{ \qty[ {A} , {B} ] } }B^{k-1} \end{aligned} \] \[ {{ \left\{{A} , {B} \right\} } } = {{ \left\{{B} , {A} \right\} } } \notag \] \[ {{ \left\{{A} , {B+C} \right\} } } = {{ \left\{{A} , {B} \right\} } } + {{ \left\{{A} , {C} \right\} } } \notag \] \[ {{ \qty[ {A} , {BC} ] } } = {{ \left\{{A} , {B} \right\} } } C – B {{ \left\{{A} , {C} \right\} } } \notag \] \[ {{ \qty[ {AB} , {C} ] } } = A {{ \left\{{B} , {C} \right\} } } – {{ \left\{{A} , {C} \right\} } } B \notag \] \[ {{ \qty[ {A} , {{ {\left\{{B} , {C} \right\} } }} ] } } + {{ \qty[ {B} , {{ {\left\{{C} , {A} \right\} } }} ] } } + {{ \qty[ {C} , {{ {\left\{{A} , {B} \right\} } }} ] } } = 0 \notag \] \[ AB = \frac{{ {\qty[ {A} , {B} ] } } + {{ \left\{{A} , {B} \right\} } } }{2} \notag \]