万有引力

質量を持つ万物の間には引き寄せ合う力が働く. この法則を万有引力の法則という. 例えば, 地球と小物体との万有引力を考える. 地球の中心を原点とし, 地球の質量を \( M \) とする. 質量 \( m \) の小物体の位置を \( \boldsymbol{r} \) とすると, 小物体物体が受ける引力は次式で与えられる. \[ \boldsymbol{F}_G =-G \frac{Mm}{r^2}\left(\frac{\boldsymbol{r}}{r}\right) \label{万有引力の運動方程式} \] ここで, \( \frac{\boldsymbol{r}}{r} \) は原点から \( \boldsymbol{r} \) 方向への単位ベクトル, \( G \) は万有引力定数と呼ばれ, \( G = 6.67 \times 10^{-11} \ \mathrm{N \cdot m^2 / kg^2} \) である.

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万有引力の位置エネルギー
万有引力の力学的エネルギー


万有引力の位置エネルギー

万有引力は保存力であるので, ポテンシャルエネルギー(位置エネルギー)を定義することができる. 地表上で重力を受けて運動する物体の位置エネルギーは地表を基準としたが, 万有引力を考える場合, 無限に離れた物体間に働く万有引力が極限値 \( 0 \) になる性質を利用するため, 無限遠点を基準とし, 物体から離れていく方向に \( r \) 軸を取ると, \[ \begin{aligned} U(R) & = \int_{R}^{\infty} \boldsymbol{F}_{G} \cdot d\boldsymbol{r} \\ & = \int_{R}^{\infty} \left(- G \frac{Mm}{r^2} \right)\ dr \\ & = \left[ G \frac{Mm}{r} \right]_{R}^{\infty} \\ & =-G \frac{Mm}{R} \end{aligned} \] となる.

したがって, 距離 \( r \) だけ離れた物体間の万有引力による位置エネルギーは無限遠点を基準として, \[ U(r)=- G \frac{Mm}{r} \]

万有引力の力学的エネルギー

万有引力の運動方程式 \[ m \frac{d^2 \boldsymbol{r} }{ dt^2 } = \boldsymbol{F}_G =- G\frac{Mm}{\boldsymbol{r}^2} \frac{\boldsymbol{r}}{\left|\boldsymbol{r}\right|} \] を微小変位で積分し, 万有引力の位置エネルギーを用いれば, \[ E(t)= \frac{m \boldsymbol{v}^2}{2} – G \frac{Mm}{r(t)} = \mbox{一定} \] となることがすぐに分かる.

最終更新日
角運動量保存則 球対称な物体による万有引力

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