線積分

線積分

紐のような曲線の長さを求めるための最も簡単な手法は、曲線自身を伸ばして直線にして測ることであろう。しかし、我々が自由に引き伸ばしたりすることができない曲線に対しては別の手法が必要となる。そこで登場するのが積分の考え方である。すなわち、積分の考え方にしたがって、曲線を、直線に近似できるような非常に細かい線分に分割し、それらの長さを足し合わせることで元の曲線の長さを求めるのである。

下図のように、二次元平面上に始点が \( \vb*{r}_{A} = \qty( x_{A} , y_{A} ) \) で終点が \( \vb*{r}_{B} = \qty( x_{B}, y_{B} ) \) の曲線 \( C \) を細かい \( n \) 個の線分に分割することを考える^[1]ここでは \( n \) 分割と言ったが、最終的には \( n \to \infty \) … Continue reading。そして、分割後の \( i \) 番目の線分 \( \dd{l_{i}} \ \qty( i = 0 \sim n-1 ) \) の始点と終点はそれぞれ、 \( \vb*{r}_{i} = \qty( x_{i} , y_{i} ) \) と \( \vb*{r}_{i+1} = \qty( x_{i+1} , y_{i+1} ) \) とする。

直線に近似できる程微小な線分の長さ \( \dd{l_{i}} \) は、三平方の定理より次式で与えられる。 \[ \dd{l_{i}} = \sqrt{\qty( x_{i+1} – x_{i} )^2 + \qty( y_{i+1} – y_{i} )^2 } \]

積分の考え方にしたがえば、微小な線分の長さの総和 \[ \begin{aligned} & \dd{l_{0}} + \dd{l_{1}} + \cdots + \dd{l_{n-1}} \\ \to \ & \ \sum_{i=0}^{n-1} \dd{l_{i}} = \sum_{i=0}^{n-1} \sqrt{\qty( x_{i+1} – x_{i} )^2 + \qty( y_{i+1} – y_{i} )^2 } \end{aligned} \] に \( n \to \infty \) という極限を行うことで曲線 \( C \) の長さ \( l \) を求めることができる。 \[ l = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=0}^{n-1} \sqrt{\qty( x_{i+1} – x_{i} )^2 + \qty( y_{i+1} – y_{i} )^2 } \]

さらに、 \[ \left\{\begin{aligned} \dd{x_{i}} &= x_{i+1} – x_{i} \\ \dd{y_{i}} &= y_{i+1} – y_{i} \end{aligned} \right. \] と定義すると、曲線の長さを次のように式変形することができる。 \[ \begin{aligned} l &= \lim_{n \to \infty} \sum_{i=0}^{n-1} \sqrt{\dd{x_{i}}^2 + \dd{y_{i}}^2} \\ &= \lim_{n \to \infty} \sum_{i=0}^{n-1} \sqrt{\left\{1 + \qty( \dv{y_{i}}{x_{i}} )^2 \right\} \dd{x_{i}}^2} \\ &= \lim_{n \to \infty} \sum_{i=0}^{n-1} \sqrt{1 + \qty( \dv{y_{i}}{x_{i}} )^2 } \dd{x_{i}} \end{aligned} \] 曲線の長さを表す式に登場する \( \dv{y_{i}}{x_{i}} \) において \( y_{i} = y(x_{i}) \) であることを明確にして書き下すと、 \[ \dv{y_{i}}{x_{i}} = \frac{y(x_{i+1}) – y(x_{i})}{\dd{x_{i}}} \] である。

ここで、 \( \abs{\dd{x_{i}} } \to 0 \) の極限を考えると、微分の定義より \[ \begin{aligned} \lim_{\abs{\dd{x_{i} }} \to 0} \dv{y_{i}}{x_{i}} & = \lim_{\abs{\dd{x_{i} }} \to 0} \frac{y( x_{i+1}) – y( x_{i})}{\dd{x_{i}} } \\ &= \dv{y}{x} \end{aligned} \]である。ところで、 \( \abs{\dd{x_{i}} } \to 0 \) の極限は曲線の分割数 \( n \) を \( n \to \infty \) とする極限と同じことを意味しているので、曲線の長さは積分に置き換えることができ、 \( l \) を次式で表すことができる^[2]ただし、 \( x_{A} \) と \( x_{B} \) の値だけでこの積分値がきまるとは限らないことに注意してほしい。実際、 \( x_{A} \) と \( x_{B} \) … Continue reading。\[ \begin{aligned} l &= \lim_{n \to \infty} \sum_{i=0}^{n-1} \sqrt{1 + \qty( \dv{y_{i}}{x_{i}} )^2 } \dd{x_{i}} \\ &= \int_{x=x_{A}}^{x=x_{B}} \sqrt{1 + \qty( \dv{y}{x} )^2 } \dd{x} \end{aligned} \]

したがって、曲線を表す関数 \( y=f(x) \) が与えられればその導関数 \( \displaystyle{\dv{f(x)}{x}} \) を含んだ関数を積分することで、（原理的には）曲線の長さを計算することができる ^[3]もちろん、解析的に積分できる保証はないのだが。。

この他にも \( x \) や \( y \) が共通する媒介変数（パラメタ）を用いて表される場合について考えておこう。

\( x , y \) が媒介変数 \( t \) を用いて \( x = x(t) \) , \( y = y(t) \) であらわされるとき、微小量 \( \dd{x_{i}}, \dd{y_{i}} \) は媒介変数の微小量 \( \dd{t_{i}} \) で表すと、 \[ \left\{\begin{array}{l} \dd{x_{i}} = \dv{x_{i}}{t_{i}} \dd{t_{i}}\\dd{y_{i}} = \dv{y_{i}}{t_{i}} \dd{t_{i}}\end{array} \right. \]となる。媒介変数 \( t \) を \( t = t_{A} \) から \( t = t_{B} \) まで変化させる間の曲線の長さに対して先程と同様の計算を行うと、次式を得る。 \[ \begin{aligned} l &= \lim_{n \to \infty} \sum_{i=0}^{n-1} \sqrt{{\dd{x_{i}}}^2 + {\dd{y_{i}}}^2} \\ &= \lim_{n \to \infty} \sum_{i=0}^{n-1} \sqrt{\qty( \dv{x_{i}}{t_{i}} )^2 + \qty( \dv{y_{i}}{t_{i}} )^2} \dd{t_{i}} \\ \therefore \ l &= \int_{t=t_{A}}^{t=t_{B}} \sqrt{\qty( \dv{x}{t} )^2 + \qty( \dv{y}{t} )^2} \dd{t} \quad . \end{aligned} \]

簡単な例として、 \( x \) と \( y \) が媒介変数 \( \theta \) を用いて、 \[ \left\{\begin{array}{l} x = \cos{\theta } \\ y = \sin{\theta } \end{array} \right. \]で表されるとする。 この時、 \( \theta \) を変化させていくと、 \( x,y \) は半径が \( 1 \) の円周上の各点を表していることになる。

ここで、媒介変数 \( \theta \) を \( \theta=0 \) から \( \theta = \displaystyle{\frac{\pi}{2}} \) まで変化させる間に \( x, y \) が描く曲線の長さは \[ \left\{\begin{array}{l} \dv{x}{\theta} = – \sin{\theta } \\ \dv{y}{\theta} = \cos{\theta} \end{array} \right. \]を用いて、 \[ \begin{aligned} l &= \int_{\theta = 0 }^{\theta = \frac{\pi}{2}} \sqrt{\qty( \dv{x}{\theta} )^2 + \qty( \dv{y}{\theta} )^2}\dd{\theta}\\ &= \int_{\theta = 0}^{\theta = \frac{\pi}{2}} \sqrt{\qty( – \sin{\theta} )^2 + \qty( \cos{\theta} )^2} \dd{\theta} \\ &= \int_{\theta = 0}^{\theta = \frac{\pi}{2}} \dd{\theta} \\ & = \frac{\pi}{2} \end{aligned} \] である。 これはよく知られた単位円の円周の長さ \( 2\pi \) の \( \frac{1}{4} \) に一致しており、曲線の長さを正しく計算できていることがわかる。^[4]もう少し慣れてくると、「そもそも、単位円の周長 \( 2 \pi \) … Continue reading。

一般的に、曲線 \( C \) に沿った線積分を \[ l = \int_{C} \sqrt{\qty( \dv{x}{t} )^2 + \qty( \dv{y}{t} )^2 } \dd{t}\] で表し、二次元または三次元空間における微小な線分の長さを \[ \begin{aligned} \dd{l} &= \sqrt{\qty( \dv{x}{t} )^2 + \qty( \dv{y}{t} )^2 } \dd{t} \qq{二次元の場合} \\ \dd{l} &= \sqrt{\qty( \dv{x}{t} )^2 + \qty( \dv{y}{t} )^2 + \qty( \dv{z}{t} )^2 } \dd{t} \qq{三次元の場合} \end{aligned} \]として、 \[ l = \int_{C} \dd{l}\] と書くことにする.

スカラー量と線積分

線積分の応用として、曲線上にあるスカラー量が割り当てられているとき、その曲線全体でのスカラー量の総和を計算することができる。

具体例として、線密度が位置の関数で表すことができるような棒状の物体の全質量を計算することを考えてみよう。

物体と \( x \) 軸を一致させて、物体の線密度 \( \rho \) が \( \rho = \rho(x) \) であるとしよう。 この時、ある位置 \( x \) における微小線分 \( \dd{l} \) の質量 \( \dd{m} \) は \( \dd{m} =\rho(x) \dd{l} \) と表すことができる。

物体の全質量 \( m \) はこの物体に沿って微小な質量を足し合わせることで計算できるので、物体に沿った曲線を \( C \) と名付けると \[ m = \int_{C} \dd{m}= \int_{C} \rho (x) \dd{l}\] という計算を行えばよいことがわかる。 例として、物体の長さを \( l \) 、線密度が \[ \rho (x) = \rho_{0} \qty( 1 + a x ) \] とすると、線積分の微小量 \( \dd{l} \) は \( \dd{x} \) と一致するので、 \[ \begin{aligned} m & = \int_{C}\rho (x) \dd{l}\\ & = \int_{x=0}^{x=l} \rho_{0} \qty( 1 + ax ) \dd{x}\\ \therefore \ m &= \rho_{0} \qty( 1 + \frac{al}{2} )l \end{aligned} \]であることがわかる。

単純な例ではあったが、これもある曲線に沿って存在する量について積分を実行していることから線積分の一種である。

一般に、曲線 \( C \) 上の点 \( \vb*{r} \) にスカラー量 \( a(\vb*{r}) \) が割り当てられている場合の線積分は \[ \int_{C} a (\vb*{r}) \dd{l}\] と表すことができる。

ベクトル量と線積分

ベクトル量と線積分

曲線 \( C \) 上の各点にベクトルが割り当てられたような場合、 \( C \) に沿った積分がどのような値になるのかも線積分を用いて計算することができる。

また、曲線に沿ってあるベクトルを加え続けるといった操作を行なったときの曲線に沿った積分値も線積分を用いて計算することができる。

例えば、空間内のあらゆる点にベクトル \( \vb*{g} \) が存在するような空間(ベクトル場)を考えてみよう。 このような空間内のある曲線 \( C \) に沿った \( \vb*{g} \) の成分の総和を求めることが目的となる。

曲線 \( C \) 上のある点 \( \vb*{r}_{P} \) でベクトル \( \vb*{g} \) がどのような寄与を与えるかを考える。 \( \vb*{r}_{P} \) から \( \vb*{r}_{Q} \) への微小なベクトルを \( \dd{\vb*{l}}\) 、単位接ベクトルを \( \vb*{t} \) とし、 \( g \) と \( \vb*{t} \) (もしくは \( \dd{\vb*{l}}\) )の成す角を \( \theta \) とすると、内積 \[ \begin{aligned} \vb*{g} \cdot \dd{\vb*{l}}& = \vb*{g} \cdot \vb*{t} \dd{l} \\ & = g \dd{l} \cos{\theta} \end{aligned} \]は \( \vb*{g} \) の \( \vb*{l} \) 方向の大きさを表しており、目的に合致した量となっている。

二次元空間において \( \vb*{g} = \qty( g_{x} , g_{y} ) \) と表される場合、単位接ベクトルを \( \dd{\vb*{l}}= \qty( \dd{x} , \dd{y} ) \) として線積分を実行すると次式のように、 \( x \) 成分と \( y \) 成分をそれぞれ計算することになる。 \[ \begin{aligned} \int_{C} \vb*{g} \cdot\dd{\vb*{l}}& = \int_{C} \qty( g_{x} \dd{x}+ g_{y} \dd{y}) \\ & = \int_{C} g_{x} \dd{x}+ \int_{C} g_{y} \dd{y}\quad . \end{aligned} \]このような計算は（明言されることはあまりないが）高校物理でも頻繁に登場することになる。 実際、力学などで登場する物理量である仕事は線積分によって定義されるし、位置エネルギーなどの計算も線積分が使われることになる。

一般に、曲線 \( C \) 上の位置 \( \vb*{r} \) におけるベクトル量を \( \vb*{A} = \vb*{A}(\vb*{r}) \) とすると、この曲線に沿った線積分は \( \vb*{r} \) における微小ベクトルを \( \dd{\vb*{l}}\) 、単位接ベクトルを \( \vb*{t} \) として、 \[ \int_{C} \vb*{A} \cdot \dd{ \vb*{l} }= \int_{C} \vb*{A} \cdot \vb*{t} \dd{l}\] と表すことができる。