線積分

積分の概念を端的に表すと”微小要素を足し合わせる”ことであった.

高校数学で登場する積分といえば原始関数を求める曲線に囲まれた面積を求めることに使われるのがもっぱらであるが, これらの応用として曲線の長さを求めることにも使われている.

物理学では曲線自身の長さを求めることに加えて, 曲線に沿って存在するようなある物理量を積分することが必要になってくる. このような計算に用いられる積分を線積分という.

線積分の概念は高校数学の区分求積法を理解していれば特別に難しいものではなく, むしろ自然に感じられることであろう. 以下の議論で(つまず)いてしまった人は, 積分法または数学の教科書の区分求積法を確かめた後で再チャレンジしてほしい[1].

スポンサーリンク

線積分
スカラー量と線積分
接ベクトル
ベクトル量と線積分


線積分

曲線の長さを求めるための最も簡単な手法は, 曲線自身を伸ばして直線にして測ることであろう. しかし, 我々が自由に引き伸ばしたりすることができない曲線に対しては別の手法が必要となる.

そこで登場するのが積分の考え方である. 積分の考え方にしたがって, 曲線を非常に細かい(直線に近似できるような)線分に分割後にそれらの長さを足し合わせることで元の曲線の長さを求めるのである.

下図のように, 二次元平面上に始点が \( \boldsymbol{r}_{A} = \left( x_{A} , y_{A} \right) \) で終点が \( \boldsymbol{r}_{B}=\left( x_{B}, y_{B} \right) \) の曲線 \(C \) を細かい \(n \) 個の線分に分割することを考える[2]. 分割後の \(i \) 番目の線分 \(dl_{i} \ \left( i = 0 \sim n-1 \right) \) の始点と終点はそれぞれ, \( \boldsymbol{r}_{i}= \left( x_{i} , y_{i} \right) \)\( \boldsymbol{r}_{i+1}= \left( x_{i+1} , y_{i+1} \right) \) で表すことができる.

微小な線分 \(dl_{i} \) はそれぞれ直線に近似できる程度であるとすると, 三平方の定理を用いて \[ dl_{i} = \sqrt{ \left( x_{i+1} – x_{i} \right)^2 + \left( y_{i+1} – y_{i} \right)^2 } \] と表すことができる. したがって, 曲線の長さ \(l \) は細かな線分の長さとほぼ等しく, \[ \begin{aligned} & dl_{0} + dl_{1} + \cdots + dl_{n-1} \\ \to \ & \ \sum_{i=0}^{n-1} dl_{i} = \sum_{i=0}^{n-1} \sqrt{ \left( x_{i+1} – x_{i} \right)^2 + \left( y_{i+1} – y_{i} \right)^2 } \end{aligned} \] で表すことができる. 最終的に \(n \to \infty \) という極限を行えば \[ l = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=0}^{n-1} \sqrt{ \left( x_{i+1} – x_{i} \right)^2 + \left( y_{i+1} – y_{i} \right)^2 } \] が成立する. さらに, \[ \left\{ \begin{aligned} dx_{ i } &= x_{ i+1 } – x_{ i } \\ dy_{ i } &= y_{ i+1 } – y_{ i } \end{aligned} \right. \] と定義すると, 曲線の長さを次のように式変形することができる. \[ \begin{aligned} l &= \lim_{n \to \infty} \sum_{i=0}^{n-1} \sqrt{ {dx_{i}}^2 + {dy_{i}}^2} \\ &= \lim_{n \to \infty} \sum_{i=0}^{n-1} \sqrt{ \left\{ 1 + \left( \frac{dy_{i}}{dx_{i}} \right)^2 \right\} {dx_{i}}^2 } \\ &= \lim_{n \to \infty} \sum_{i=0}^{n-1} \sqrt{ 1 + \left( \frac{dy_{i}}{dx_{i}} \right)^2 } dx_{i} \end{aligned} \] 曲線の長さを表す式に登場する \( \displaystyle{ \frac{dy_{i}}{dx_{i}}} \) において \(y_{i} = y(x_{i}) \) であることを明確にして書き下すと, \[ \frac{dy_{i}}{dx_{i}} = \frac{ y( x_{i+1}) – y( x_{i})}{ dx_{i} } \] である. ここで, \( \left| dx_{i} \right| \to 0 \) の極限を考えると, 微分の定義より \[ \begin{aligned} \lim_{\left| dx_{i} \right| \to 0} \frac{dy_{i}}{dx_{i}} & = \lim_{\left| dx_{i} \right| \to 0} \frac{ y( x_{i+1}) – y( x_{i})}{ dx_{i} } \\ &= \frac{dy}{dx} \end{aligned} \] である. ところで, \( \left| dx_{i}\right| \to 0 \) の極限は曲線の分割数 \(n \)\(n \to \infty \) とする極限と同じことを意味しているので, 曲線の長さは積分に置き換えることができ, \[ \begin{aligned} l &= \lim_{n \to \infty} \sum_{i=0}^{n-1} \sqrt{ 1 + \left( \frac{dy_{i}}{dx_{i}} \right)^2 } dx_{i} \\ &= \int_{x=x_{A}}^{x=x_{B}} \sqrt{ 1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 } dx \end{aligned} \] と表すことができる[3].

したがって, 曲線を表す関数 \(y=f(x) \) が与えられればその導関数 \( \displaystyle{ \frac{df(x)}{dx}} \) を含んだ関数を積分することで(原理的には)曲線の長さを計算することができる[4].

この他にも \(x \)\(y \) が共通する媒介変数(パラメタ)を用いて表される場合について考えておこう.

\(x , y \) が媒介変数 \(t \) を用いて \(x = x(t) \), \(y = y(t) \) であらわされるとき, 微小量 \(dx_{i},dy_{i} \) は媒介変数の微小量 \(dt_{i} \) で表すと, \[ \left\{ \begin{array}{l} dx_{ i } = \frac{dx_{i}}{dt_{i}} \ dt_{i} \\ dy_{ i } = \frac{dy_{i}}{dt_{i}} \ dt_{i} \end{array} \right. \] となる. 媒介変数 \(t \)\(t=t_{A} \) から \(t=t_{B} \) まで変化させる間の曲線の長さに対して先程と同様の計算を行うと, 次式を得る. \[ \begin{aligned} l &= \lim_{n \to \infty} \sum_{i=0}^{n-1} \sqrt{ {dx_{i}}^2 + {dy_{i}}^2} \\ &= \lim_{n \to \infty} \sum_{i=0}^{n-1} \sqrt{ \left( \frac{dx_{i}}{dt_{i}}\right)^2 + \left( \frac{dy_{i}}{dt_{i}}\right)^2} dt_{i} \\ \therefore \ l &= \int_{t=t_{A}}^{t=t_{B}} \sqrt{ \left( \frac{dx}{dt}\right)^2 + \left( \frac{dy}{dt}\right)^2} dt \quad . \end{aligned} \]

簡単な例として, \(x \)\(y \) が媒介変数 \( \theta \) を用いて, \[ \left\{ \begin{array}{l} x = \cos{ \theta } \\ y = \sin{ \theta } \end{array} \right. \] で表されるとする. この時, \( \theta \) を変化させていくと, \(x,y \) は半径が \(1 \) の円周上の各点を表していることになる.

ここで, 媒介変数 \( \theta \)\( \theta=0 \) から \( \theta = \displaystyle{\frac{\pi}{2}} \) まで変化させる間に \(x,y \) が描く曲線の長さは \[ \left\{ \begin{array}{l} \frac{dx}{d\theta} =- \sin{ \theta } \\ \frac{dy}{d\theta} = \cos{ \theta } \end{array} \right. \] を用いて, \[ \begin{aligned} l &= \int_{\theta = 0 }^{\theta = \frac{\pi}{2}} \sqrt{ \left( \frac{dx}{d\theta}\right)^2 + \left( \frac{dy}{d\theta}\right)^2}\ d\theta \\ &= \int_{\theta = 0 }^{\theta = \frac{\pi}{2}} \sqrt{ \left( – \sin{\theta} \right)^2 + \left( \cos{\theta} \right)^2}\ d\theta \\ &= \int_{\theta = 0 }^{\theta = \frac{\pi}{2}} d\theta \\ &= \frac{\pi}{2} \end{aligned} \] である. これはよく知られた単位円の円周の長さ \(2\pi \)\( \frac{1}{4} \) に一致しており, 曲線の長さを正しく計算できてることがわかる[5].

一般的に, 曲線 \(C \) に沿った線積分\[ l = \int_{C} \sqrt{ \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2 } \ dt \] で表し, 二次元または三次元空間における微小な線分の長さを \[ \begin{aligned} dl &= \sqrt{ \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2 } \ dt \quad \mbox{- 二次元の場合} \\ dl &= \sqrt{ \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dz}{dt} \right)^2 } \ dt \quad \mbox{- 三次元の場合} \end{aligned} \] として, \[ l = \int_{C} \ dl \] と書くことにする.

線積分

二次元平面上に始点が \( \boldsymbol{r}_{A} = \left( x_{A} , y_{A} \right) \) で終点が \( \boldsymbol{r}_{B}=\left( x_{B}, y_{B} \right) \) の曲線 \(C \)\(y = f(x) \) で表されるとする. 曲線 \(C \)を細かい \(n \) 個の線分に分割し, \(i = 0 \sim n-1 \) 番目の曲線の長さ \(dl_{i} = \left( dx_{i} , dy_{i} \right)\) を全て足し合わせることで曲線の長さ \(l \) を求めることができる. \[ \begin{aligned} l &= \lim_{n \to \infty} \sum_{i=0}^{n-1} \sqrt{ 1 + \left( \frac{dy_{i}}{dx_{i}} \right)^2 } dx_{i} \\ &= \int_{x=x_{A}}^{x=x_{B}} \sqrt{ 1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 } dx \quad . \end{aligned} \]

二次元平面上の曲線 \(C \) において媒介変数を \(t \), 微小な線分の長さ \(dl \)\[ dl = \sqrt{ \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2 } \ dt \] として, 曲線の長さ \(l \) を次式の線積分で表す. \[ l = \int_{C} \ dl \quad . \]

スカラー量と線積分

線積分の応用として, 曲線上にあるスカラー量が割り当てられているとき, その曲線全体でのスカラー量の総和を計算することができる.

具体例として, 線密度が位置の関数で表すことができるような棒状の物体の全質量を計算することを考えてみよう.

物体と \(x \) 軸を一致させて, 物体の線密度 \( \rho \)\( \rho = \rho(x) \) であるとしよう. この時, ある位置 \(x \) における微小線分 \(dl \) の質量 \(dm \)\(dm =\rho(x) dl \) と表すことができる.

物体の全質量 \(m \) はこの物体に沿って微小な質量を足し合わせることで計算できるので, 物体に沿った曲線を \(C \) と名付けると \[ m = \int_{C} \ dm = \int_{C} \rho (x) \ dl \] という計算を行えばよいことがわかる. 例として, 物体の長さを \(l \), 線密度が \[ \rho (x) = \rho_{0} \left( 1 + a x \right) \] とすると, 線積分の微小量 \(dl \)\(dx \) と一致するので, \[ \begin{aligned} m & = \int_{C}\rho (x) \ dl \\ & = \int_{x=0}^{x=l} \rho_{0} \left( 1 + ax \right) \ dx \\ \therefore \ m &= \rho_{0} \left( 1 + \frac{al}{2} \right)l \end{aligned} \] であることがわかる.

単純な例ではあったが, これもある曲線に沿って存在する量について積分を実行していることから線積分の一種である.

一般に, 曲線 \(C \) 上の点 \( \boldsymbol{r} \) にスカラー量 \(a(\boldsymbol{r}) \) が割り当てられている場合の線積分は \[ \int_{C} a (\boldsymbol{r}) \ dl \] と表すことができる.

スカラー量と線積分

曲線 \(C \) 上の各点 \( \boldsymbol{r} \) にスカラー量 \(a(\boldsymbol{r}) \) が割り当てられている場合の線積分は次式であらわされる. \[ \int_{C} a (\boldsymbol{r}) \ dl \quad . \]

ベクトル量と線積分

接ベクトル

ある曲線 \(C \) 上のある点の接線方向を表す方法を考えてみよう.

\(P \) を表す位置ベクトルを \( \boldsymbol{r}_{P}(x_{P},y_{P}) \) とし, 点 \(P \) のすぐ近くの点 \(Q \)\( \boldsymbol{r}_{Q}(x_{Q},y_{Q}) \) とする. このとき, \( \boldsymbol{r}_{P} \) での接線方向は \(r_{P} \) から \( \boldsymbol{r}_{Q} \) へ向かうベクトルを考えて, \(Q \) を限りなく \(P \) に近づけた場合のベクトルの向きと一致することが予想される. このようなベクトルを接ベクトルという.

\( \boldsymbol{r}_{P} \)\( \boldsymbol{r}_{Q} \) が共通する媒介変数 \(t \) を用いて表すことができるならば, 接ベクトル \( \displaystyle{ \frac{d \boldsymbol{r}}{dt} } \) を次のようにして計算することができる. \[ \frac{d \boldsymbol{r}}{dt} = \lim_{t_{Q} – t_{P} \to 0} \frac{ \boldsymbol{r}_{Q} – \boldsymbol{r}_{P} }{ t_{Q} – t_{P} } \] また, 接ベクトルと大きさが一致して, 大きさが \(1 \)単位接ベクトル \( \boldsymbol{t} \)\[ \boldsymbol{t} = \frac{d \boldsymbol{r}}{dt} \frac{1}{\left| \frac{d \boldsymbol{r}}{dt} \right|} \] と表すことができる.

このような接ベクトルを用いることで, この曲線が瞬間瞬間にどの向きへ向かっているかを知ることができ, 曲線上に沿ったあるベクトル量を積分することが可能になる.

ベクトル量と線積分

曲線 \(C \) 上の各点にベクトルが割り当てられたような場合, \(C \) に沿った積分がどのような値になるのかも線積分を用いて計算することができる.

また, 曲線に沿ってあるベクトルを加え続けるといった操作を行なったときの曲線に沿った積分値も線積分を用いて計算することができる.

例えば, 空間内のあらゆる点にベクトル \( \boldsymbol{g} \) が存在するような空間(ベクトル場)を考えてみよう. このような空間内のある曲線 \(C \) に沿った \( \boldsymbol{g} \) の成分の総和を求めることが目的となる.

曲線 \(C \) 上のある点 \( \boldsymbol{r}_{P} \) でベクトル \( \boldsymbol{g} \) がどのような寄与を与えるかを考える. \( \boldsymbol{r}_{P} \) から \( \boldsymbol{r}_{Q} \) への微小なベクトルを \(d\boldsymbol{l} \), 単位接ベクトルを \( \boldsymbol{t} \) とし, \(g \)\( \boldsymbol{t} \) (もしくは \(d\boldsymbol{l} \) )の成す角を \( \theta \) とすると, 内積 \[ \begin{aligned} \boldsymbol{g} \cdot d\boldsymbol{l} & = \boldsymbol{g} \cdot \boldsymbol{t} dl \\ & = g dl \cos{\theta} \end{aligned} \]\( \boldsymbol{g} \)\( \boldsymbol{l} \) 方向の大きさを表しており, 目的に合致した量となっている.

二次元空間において \( \boldsymbol{g} = \left( g_{x} , g_{y}\right) \) と表される場合, 単位接ベクトルを \(d\boldsymbol{l} = \left( dx , dy \right) \) として線積分を実行すると次式のように, \(x \) 成分と \(y \) 成分をそれぞれ計算することになる. \[ \begin{aligned} \int_{C} \boldsymbol{g} \cdot d\boldsymbol{l} & = \int_{C} \left( g_{x} \ dx + g_{y} \ dy \right) \\ & = \int_{C} g_{x} \ dx + \int_{C} g_{y} \ dy \quad . \end{aligned} \] このような計算は(明言されることはあまりないが)高校物理でも頻繁に登場することになる. 実際, 力学などで登場する物理量である仕事は線積分によって定義されるし, 位置エネルギーなどの計算も線積分が使われることになる.

一般に, 曲線 \(C \) 上の位置 \( \boldsymbol{r} \) におけるベクトル量を \( \boldsymbol{A} = \boldsymbol{A}(\boldsymbol{r}) \) とすると, この曲線に沿った線積分は \( \boldsymbol{r} \) における微小ベクトルを \(d\boldsymbol{l} \), 単位接ベクトルを \( \boldsymbol{t} \) として, \[ \int_{C} \boldsymbol{A} \cdot d \boldsymbol{l} = \int_{C} \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{t} \ dl \] と表すことができる.

ベクトル量と線積分

曲線上のある点と接するようなベクトル \(d\boldsymbol{l} \)接ベクトルといい, 大きさが \(1 \) の接ベクトル \( \boldsymbol{t} \)単位接ベクトルという.

曲線 \(C \) 上の位置 \( \boldsymbol{r} \) におけるベクトル量を \( \boldsymbol{A} = \boldsymbol{A}(\boldsymbol{r}) \) とすると, この曲線に沿った線積分は \( \boldsymbol{r} \) における微小ベクトル \(d\boldsymbol{l} \), 単位接ベクトル \( \boldsymbol{t} \) を用いて次式であらわされる. \[ \int_{C} \boldsymbol{A} \cdot d \boldsymbol{l} = \int_{C} \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{t} \ dl \]

最終更新日
積分法 複素数



補足    (↵ 本文へ)
  1. “高校物理の備忘録”では, 積分を定義するときにはじめから区分求積法の考え方を用いている.

  2. ここでは \(n \) 分割と言ったが, 最終的には \(n \to \infty \) という極限操作を考えるので分割する間隔が等間隔である必要はないことが直感的には理解できるであろう. これ以上の細かい議論が気になる人は適切な数学を調べてほしい.

  3. ただし, \(x_{A} \)\(x_{B} \) の値だけでこの積分値がきまるとは限らないことに注意してほしい. 実際, \(x_{A} \)\(x_{B} \) が同じでも曲線によってその長さは異なる.

  4. もちろん, 解析的に積分できる保証はないのだが.

  5. もう少し慣れてくると, 「そもそも, 単位円の周長 \(2 \pi \) も(線)積分を使って定義されるのではないか」という発想に至るであろう.

    これを突き詰めていくとかなり深い議論になるのでこれ以上は立ち入らないことにするが, 数学に興味のある人は是非とも情報を集めて思案してほしい.

スポンサーリンク

この記事をシェアする

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です