誤差

物理学は測定を行うことで様々な物理量の値を決定していく.

しかし, 測定に使う道具や測定される対象によって, どれだけ正確な値を測ることができるのかには制限がつき, 測定値真の値(真値)との間にはズレが生じるのが一般的である.

もっといえば, しょせん我々には真の値を知ることは叶わないので, 真の値と期待される推定値を実験から見出し, 推定値とその推定値を得るために行なった各測定結果のズレのことを誤差と呼んでいる.

まっとうな測定(実験)を行うことで, 誤差を持つ測定結果が得られるが, この誤差というのにどんな種類や表し方があるかを簡単に紹介する

測定精度と誤差の議論はつきつめていくと大変奥深いものであるせいか, 高校物理では十分に紹介されずにせいぜい巻末付録に載っている程度であり, 測定には測定にまつわる誤差が必ずつきまとうという感覚があまり身につかない状況である[1].

それでも心に留めておいて欲しいのは, 測定値には誤差があるという感覚がないと, 「物理学を使えばどこまでも正確な値を知ることができる」という過信を生んでしまうので注意して欲しいということである[2]. 実際に値が厳密に決まるのは定義量か純粋に数学的な量くらいのものであり, 測定結果には誤差が必ず含まれている.

なお, 実際に誤差付きの量の計算をするにあたっての誤差の伝播などは別ページ(四則演算の誤差伝播)で取り扱う.

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誤差の原因の種類
誤差の表しかたの種類


誤差の原因の種類

まっとうな測定において誤差を生む原因について大別すると, 系統誤差偶然誤差の2種類を考える.

系統誤差

系統誤差とは, 測定機器の不備(たとえば高温で歪んだ定規など)によって起こるもの, 目盛りを読む人のクセで毎回値を大きめに見積もるなど, 主に偏りをもった誤差をもたらす.

人間も一つの計測機器としてみれば, 計測機器に固有の誤差と表現することもできる.

系統誤差はその原因がわかればある程度修正することもできるし測定結果に対して補正(キャリブレーション)を行うこともできるが, そもそも原因を見つけるのが難しいなどの困難がつきまとう.

偶然誤差

偶然誤差とは, 名前の通り偶然に起こってしまったことが原因で生じるもので, 測定者に制御できないような出来事などによって引き起こされる誤差である. 普通, 偶然誤差の原因を突き止めることはできないので, 偶然誤差が測定値に与える影響を減らすための手段としてはなんども測定を行うことである.

測定の回数が増えれば増えるほど, 統計学という分野の力を借りることでもっともらしい測定値を割り出すことが可能になる. その結論は, 測定の平均値を最もらしい測定値として採用することである. そのもっともらしい値もやはり真値とは異なるのが普通であるので測定の平均値から求めたもっともらしい値を真値とは区別して最良推定値最確値というが, 教科書でバラつきがあるので適宜確認していただきたい.

偶然誤差は統計的な操作で扱える誤差であるので統計誤差ともいう[3].

この他にも測定以外で決まる数字による誤差もある. たとえば計算結果に無理数などが含まれていればどこかで四捨五入するなり切り捨てするなりの操作を行うことになるが, これらによる誤差は有効数字の考え方を導入してルールを共有することでその影響を抑えることができる.

誤差の表しかたの種類

誤差の表しかたには絶対誤差相対誤差の2種類がある.

絶対誤差は, 測定値と真値(推定値)との残差の絶対値のことである. \[ \text{絶対誤差} = \left| \text{測定値} – \text{真値} \right| \]

一方, 相対誤差は真値(推定値)に対する絶対誤差の割合で表され, こちらも正の値になように次式で定義される. \[ \text{相対誤差} = \frac{ \text{絶対誤差} }{ \left| \text{真値} \right| } \times 100 \ [\mathrm{\%}] \] 相対誤差を用いることで, 真値(推定値)が異なる測定においてどちらがより高い測定精度を持っているのかなどを議論することができる.

最終更新日
物理定数 有効数字



補足    (↵ 本文へ)
  1. しかし, これは致し方ないことでもある. 誤差の議論を大まじめに行おうと思えば, 大学程度の専門書を一冊まるまる書き上げることができるほど富んだ内容を含んでいる. そこで使われている数学自体は極端に難しくはないが, 少なくとも高校数学III程度は自由に使えないと議論が展開しにくいという事情もある.

  2. 実際, 理系学部へ進学した学生さんたちのほとんどは, 大学初年度程度で行われている簡単な実験においても誤差の扱いに苦しめられるし, 教える側も「誤差をどう扱うのか」の指導には一苦労している.

  3. 余談であるが, 素粒子の世界では反応が確率によって支配されていて, 人間にはどうやっても制御できない反応ばかりである. そこで, とにかく何度も素粒子反応を起こすことで統計誤差を減らすために大型装置を用いるなどの工夫がなされている.

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